4 Werkzeuge der Wirtschaftsanalyse (mit Diagramm)

Wirtschaftswachstum eines Landes ist möglich, wenn der genaue Zustand der Wirtschaft bestimmt wird.

Die ökonomische Analyse ist ein Prozess, bei dem die Stärken und Schwächen einer Volkswirtschaft ermittelt werden.

Es ist ein systematischer Ansatz, den optimalen Einsatz knapper Ressourcen zu bestimmen, verfügbare Alternativen zu vergleichen und die beste Alternative auszuwählen, um ein bestimmtes Ziel zu erreichen. Darüber hinaus hilft die Wirtschaftsanalyse bei der Ermittlung der Ursachen verschiedener wirtschaftlicher Probleme wie Inflation, Depression und wirtschaftlicher Instabilität.

Die wirtschaftliche Analyse wird mit Hilfe verschiedener Tools durchgeführt, die in Abbildung 1 dargestellt sind:

Die verschiedenen Werkzeuge der Wirtschaftsanalyse (wie in Abbildung 1 dargestellt) werden nachstehend ausführlich erläutert.

Wirtschaftliche Variablen :

Das Hauptziel der Wirtschaftsanalyse besteht darin, die Art der Wirtschaftsvariablen zu identifizieren und den Grad der Beziehung zwischen zwei oder mehr verwandten Wirtschaftsvariablen zu bestimmen. Eine ökonomische Variable bezieht sich auf jede ökonomische Größe, deren Wert sich mit einer Änderung ihrer Determinanten oder einer Änderung der ökonomischen Aktivitäten ändert.

Zum Beispiel sind Nachfrage, Angebot, Preise, Produktionskosten, Löhne, Arbeitskräfte und Kapital die wirtschaftlichen Variablen, deren Wert sich mit Änderung ihrer Determinanten oder in verschiedenen Handelszyklen ändert. Die meisten ökonomischen Variablen hängen sowohl zusammen als auch voneinander ab. Eine Änderung einer Wirtschaftsvariablen führt daher zu Änderungen des Werts anderer Wirtschaftsvariablen.

Wirtschaftliche Variablen können wie folgt klassifiziert werden:

(a) Abhängige Variablen:

Beziehen Sie diejenigen Variablen ein, deren Werte von den Werten anderer Variablen abhängen. Darüber hinaus werden die Werte dieser Variablen durch Änderungen des Werts anderer miteinander verbundener Variablen beeinflusst.

Beispielsweise ist die Nachfrage nach einem Produkt vom Preis abhängig. Dies impliziert, dass die Nachfrage nach einem Produkt mit steigenden Preisen sinkt und umgekehrt. Daher ist die Nachfrage eines Produkts eine abhängige Variable.

(b) Unabhängige Variablen:

Verweisen Sie auf Variablen, die unabhängig sind und nicht von einer Änderung einer anderen Variablen betroffen sind. Im vorhergehenden Beispiel der Nachfrage eines Produkts und seines Preises ist die Nachfrage des Produkts eine abhängige Variable, während der Preis des Produkts eine unabhängige Variable ist.

(c) Endogene Variablen:

Beziehen Sie sich auf Variablen, deren Wert innerhalb des betrachteten Modells erhalten werden kann. Beispielsweise ist der Preis eines Produkts im Angebots- und Nachfragemodell endogen. Dies liegt daran, dass der Preis des Produkts als Reaktion auf die Verbrauchernachfrage festgelegt wird.

(d) Exogene Variablen:

Beziehen Sie sich auf Variablen, deren Wert außerhalb des betrachteten Modells erhalten wird. Zum Beispiel ist im Falle eines Anstiegs des inländischen Benzinpreises aufgrund eines Anstiegs des internationalen Benzinpreises der internationale Benzinpreis die exogene Variable.

Hang :

Die Steigung ist eines der wichtigsten Instrumente für die wirtschaftliche Analyse. Es hilft bei der Bestimmung der Änderungen, die in einer Variablen mit einer Änderung in einer anderen Variablen erzeugt werden. Daher kann die Steigung definiert werden, wenn die Änderung der abhängigen Variablen aufgrund der Änderung der unabhängigen Variablen auftritt. Die Beziehung zwischen einer abhängigen und einer unabhängigen Variablen kann in einem Diagramm als gerade Linie dargestellt werden.

Die Linienform bestimmt die Art der Beziehung zwischen den beiden Variablen. Diese Linie wird als Steigung der Linie bezeichnet. Wenn die Steigung steiler ist, ist die Beziehung zwischen den beiden Variablen schwach und umgekehrt. Angenommen, eine Änderung der Einheit in der unabhängigen Variablen x bringt Änderungen in der abhängigen Variablen y.

In einem solchen Fall wäre die Steigung:

Steigung = Änderung in y / Änderung in x

Wenn die Steigung einer Linie positiv ist, bewegt sich die Linie von links nach rechts nach oben. Wenn andererseits die Steigung negativ ist, bewegt sich die Linie von links nach rechts nach unten.

Lassen Sie uns das Konzept der Neigung anhand eines Beispiels verstehen. In der Nachfragekurve repräsentiert die Steigung das Verhältnis der Änderung des Preises der unabhängigen Variablen (P) zur Änderung der abhängigen Variablen, die die Nachfrage (D) ist. Wenn der Preis eines Produkts sinkt (- AP), steigt die Nachfrage nach diesem Produkt (AD).

In einem solchen Fall wäre die Steigung der Nachfragekurve wie folgt:

Steilheit = -∆P / ∆D

Wobei -∆P = Preisänderung (unabhängige Variable)

∆D = Änderung der Bedarfsvariablen (abhängige Variable)

Die Steigung unterscheidet sich für lineare und nichtlineare Variablen.

Lineare Funktion :

Lassen Sie uns die lineare Funktion mit Hilfe der linearen Anforderungsfunktion verstehen.

Angenommen, die lineare Anforderungsfunktion lautet wie folgt:

D x = 20 - 2P x

Die Nachfragekurve für die vorhergehende Nachfragefunktion ist in Abbildung 2 dargestellt:

In Abbildung 2 ist zu erkennen, dass sich die Steigung der Kurve ändert. Wenn beispielsweise der Preis (P x ) = 3 ist, dann ist die Nachfrage (D x ) = 14. Danach steigt der Preis auf 5 und die nachgefragte Menge sinkt auf 10. In einem solchen Fall ist -∆P = 3-5 = -2 und ∆D = 14-10 = 4. Das negative Vorzeichen gibt die umgekehrte Beziehung zwischen Nachfrage und Preis eines Produkts an.

Daher ist die Steigung der Nachfragekurve gleich:

Steilheit = ∆P / ∆D

Steigung = 2/4

Steigung = 0, 5

Daher beträgt die Steigung zwischen den Punkten M und K 0, 5. In ähnlicher Weise können wir die Steigung zwischen den Punkten J und K herausfinden. Bei Punkt K ist der Preis (P x ) = 5 und die Nachfrage (D x ) = 10. Danach steigt der Preis auf 6 und die Menge sinkt auf 8. In einem solchen Fall ist -∆P = 5-6 = -1 und ∆D = 10-8 = 2.

Daher ist die Steigung der Nachfragekurve gleich:

Steigungen = ∆P / ∆D

Steigung = 1/2

Steigung = 0, 5

Die Steigung zwischen den Punkten J und K beträgt 0, 5. Nun kann gesagt werden, dass die Steigung an allen Punkten in der linearen Anforderungsfunktion gleich ist.

Nichtlineare Funktion :

Lassen Sie uns das Beispiel der Nachfragefunktion fortsetzen. In der nichtlinearen Anforderungsfunktion ändert sich die Steigung der Anforderungskurve an jedem Punkt. Daher kann die Bestimmung der Steigung in der nichtlinearen Anforderungsfunktion durch Vergleichen der Steigung innerhalb und an einem Punkt auf der Anforderungskurve durchgeführt werden.

Die nichtlineare Anforderungsfunktion kann wie folgt angegeben werden:

D x = 32 P x –2 = 32 / P x 2

Die Nachfragekurve für die nichtlineare Nachfragefunktion ist in Abbildung 3 dargestellt:

Bestimmen wir aus Abbildung 3 die Steigung zwischen A und B sowie C und D.

Die Steigung zwischen A- und B-Punkt ist gleich:

Steilheit = ∆P / ∆D

Steigung = 4-5 / 2-1, 3

Steigung = -1, 43

Die Steigung zwischen C- und D-Punkt ist gleich:

Steilheit = ∆P / ∆D

Steigung = 2-3 / 8-3.5

Steigung = -0, 23

Die Steigungen zwischen den beiden Sätzen A und B sowie C und D sind unterschiedlich. Dies impliziert, dass die Steigung der nichtlinearen Anforderungsfunktion zwischen zwei verschiedenen Punktmengen unterschiedlich ist.

In einer nichtlinearen Nachfragekurve ist die Steigung nicht nur zwischen den Punkten unterschiedlich, sondern auch an jedem Punkt. Zum Beispiel kann die Steigung an Punkt B und D bei Bedarf durch Zeichnen einer Tangente von Punkt B berechnet werden. Die Steigung von Tangente und Bedarfskurve ist in der Messung gleich.

Die Neigung der Tangente oder der Neigung am Punkt B ist gleich:

Steilheit = ∆P / ∆D

Steigung = 0-6 / 6-0

Hang = -

Daher beträgt die Steigung am Punkt B 1. In ähnlicher Weise können wir eine Tangente vom Punkt C aus zeichnen und die Steigung der Tangente oder die Steigung am Punkt C der Nachfragekurve berechnen.

Die Steigung am Punkt C der Nachfragekurve kann wie folgt bestimmt werden:

Steilheit = ∆P / ∆D

Steigung = 0-4, 5 / 10-0

Steigung = -4, 5 / 10

Daher ist die Steigung am Punkt C der Nachfragekurve gleich -4, 5 / 10.

Diese Methode zur Neigungsbestimmung unterliegt bestimmten Einschränkungen:

ein. Mangelt es an Zuverlässigkeit, da Unterschiede in der Steigung einer Nachfragekurve zu einer größeren Änderung der unabhängigen Variablen führen können. Beispielsweise ist die Steigung zwischen zwei Punkten A und D -0, 44, aber die Steigung zwischen den Punkten, die zwischen diesen beiden Punkten liegen, ist groß, B und C ist -0, 66. Daher ist es keine geeignete Methode zur Bestimmung der Steigung.

b. Die Lösung für ein Optimierungsproblem kann nicht ermittelt werden, da es sich um Polynomfunktionen handelt.

Aufgrund vorgenannter Einschränkungen des Verfahrens wird eine andere Methode, die Differentialrechnung, zur Bestimmung der Steigung an einem Punkt in der Bedarfskurve verwendet.

Die Anforderungsfunktion zur Bestimmung der Steigung an einem Punkt mit Hilfe der Differentialrechnung lautet wie folgt:

D x = 32 P x –2

Für die Berechnung der Steigung durch Differentialrechnung müssen wir zunächst die erste Ableitung der Nachfragefunktion wie folgt durchführen:

∂D / ∂P = (-2) 32P × -3 = -64 / P × 3

Nehmen wir den Kehrwert der vorhergehenden Gleichung, so erhalten wir

∂P / ∂D = -P x 3/64

Mit Hilfe der vorstehenden Gleichung können wir die Steigung eines beliebigen Punktes in der Nachfragekurve bestimmen.

Beispielsweise kann am Punkt B die Steigung der Nachfragekurve wie folgt berechnet werden:

∂P / ∂D = - (4) 3/64

∂P / ∂D = -

Daher ist die Steigung am Punkt B der Nachfragekurve -1, wie sie mit der Tangentenmethode berechnet wurde.

Differentialrechnung :

Oben haben wir die Differentialberechnungsmethode zum Messen der Steigung einer Nachfragekurve verwendet. Die Differentialrechnung bietet eine optimale Lösung für wirtschaftliche Probleme und unterstützt die Entscheidungsfindung. Um das Konzept der Differentialrechnung zu verstehen, müssen wir uns zunächst mit den Grundregeln der Differentialrechnung vertraut machen. Lassen Sie uns zuerst den Begriff der Ableitung verstehen. Das Derivat kann mit Hilfe der Grenzkosten (MC) erklärt werden, die sich auf eine Änderung der Gesamtkosten (TC) aufgrund einer Änderung der Gesamtleistung in Einheiten (Q) beziehen.

Die für die Berechnung von MC verwendete Formel lautet wie folgt:

MC = Änderung in TC / Änderung in Q

Oder MC = ∆TC / ∆Q

Der Wert von ∆Q wird als eins angenommen. Die vorgenannte Gleichung kann nicht verwendet werden, wenn der Wert von ∆Q sehr klein ist, da er dazu neigt, Null zu sein. Dieses Problem kann durch Verwendung der Differentialrechnungstechnik überwunden werden.

Die Differentialrechnung stellt eine als Ableitung bezeichnete Technik bereit, die bei der Bestimmung der Grenzänderung hilft, die in der abhängigen Variablen (X) aufgrund der Änderung der unabhängigen Variablen (Y) erzeugt wird, während X bis Null reicht.

Die zur Berechnung der Ableitung verwendete Formel lautet wie folgt:

∂Y / ∂X = Grenze ∆x → 0 (∆Y / ∆X)

Die Ableitung in der vorhergehenden Gleichung ist die Ableitung von Y zu X, die gleich der Grenze des Verhältnisses der Änderung von Y ist, die aufgrund der Änderung von X erzeugt wird, während sich X Null nähert.

Lassen Sie uns die Verwendung von Derivaten anhand eines Beispiels verstehen.

Angenommen, eine Funktion lautet wie folgt:

Y = f (X)

Das für diese Funktion erstellte Diagramm zeigt eine nichtlineare Nachfragekurve, wie in Abbildung 4 dargestellt:

In 4 ist am Punkt A der Wert von X = XI und Y = Y1. Mit dem Anstieg von XI auf X2 steigt auch Y1 auf Y2. In einem solchen Fall kommen wir von Punkt A zu Punkt B.

Daher würde die Änderung in X wie folgt dargestellt:

∆X = X 2 -X 1

∆X = X 2 X 1

In ähnlicher Weise kann die Änderung in Y wie folgt dargestellt werden:

∆Y = Y 2 - Y 1

∆Y = Y 2 Y 1

Daher kann die Steigung der Funktion wie folgt ausgedrückt werden:

Steigung = ∆Y / ∆X

Steigung = Y 2 Y 1 / X 2 X 1

Abbildung-4 zeigt eine stärkere Änderung von X und Y, was auch zu großen Abweichungen in den Steigungen von X und Y führt. Für die Funktion ist jedoch Y = f (X), wobei ∆X gegen Null geht. In einer solchen Situation nähert sich Punkt B dem Punkt A. Die Technik zum Berechnen des Steigungswerts, bei dem die Fluktuation in der unabhängigen und abhängigen Variablen unendlich klein ist, wird als Ableitung bezeichnet. Derivate können mit Hilfe der Differenzierungsmethode berechnet werden.

Die verschiedenen Funktionen von Führungsentscheidungen, bei denen die Differenzierungsmethode angewendet wird, sind folgende:

ich. Konstante Funktion

ii. Power-Funktion

iii. Summe oder Differenz zweier Funktionen

iv. Produkt zweier Funktionen

v. Quotientenfunktion

vi. Funktion der Funktion

In den vorhergehenden Funktionen möchten wir nur die Differenzierungsregeln erläutern, die die Regeln für die Bestimmung von Funktionsableitungen sind. In diesen Funktionen repräsentiert Y eine abhängige Variable, X als unabhängige Variable und a, b und c sind Konstanten.

Lassen Sie uns die Ableitungen dieser Funktionen im Detail verstehen.

Konstante Funktion:

Die Ableitung der konstanten Funktion ist gleich Null. Wenn zum Beispiel die Funktion Y = f (X) = a ist, dann

δY / δX = 0

Dies liegt daran, dass sich der Wert von Y nicht mit dem Wert von X ändert, was impliziert, dass der Wert von Y konstant ist. Im Falle des Verhältnisses von Arbeitskapital ist das Kapital beispielsweise konstant, und die Produktionsfunktion würde dann wie folgt dargestellt:

Y = f (X) = 400

In einem solchen Zustand bleibt die Ausgabe (Y) selbst dann gleich, wenn die Arbeit (X) zunimmt. Diese Produktionsfunktion wird in einem Diagramm als horizontale Linie dargestellt. Das Beispiel einer solchen Produktionsfunktion ist die Landwirtschaft in Indien.

Power-Funktion :

Die Ableitung der Potenzfunktion kann wie folgt ausgedrückt werden:

Y = f (X) = a Xb

Wobei a und b konstant sind

a = Koeffizient von X

b = Potenz von X

Die erste Ableitung der Potenzfunktion wäre wie folgt:

δY / δX = baXb-

Lassen Sie uns die Ableitung der Potenzfunktion anhand der folgenden Beispiele verstehen:

ich. Wenn die Produktionsfunktion Y = 4X3 ist, dann

δY / δX = 3 * 4 * X3-

δY / δX = 12X2

ii. Wenn die Produktionsfunktion Y = 3X2 ist, dann

δY / δX = 2 * 3 * X2-

δY / δX = 6X

Summe oder Differenz zweier Funktionen :

Eine abhängige Variable (Y) kann eine Funktion einer Summe oder Differenz der zwei verschiedenen Funktionen sein, die dieselbe unabhängige Variable (X) haben, oder zwei andere Variablen, die Funktionen von X sind.

Wenn die Funktionen der unabhängigen Variablen eine Summe der beiden verschiedenen Funktionen mit derselben unabhängigen Variablen sind, kann die Funktion wie folgt ausgedrückt werden:

Y = f (X) + g (X)

Wobei f (X) und g (X) die zwei verschiedenen Funktionen sind, die unterschiedliche Beziehungen zwischen der abhängigen und der unabhängigen Variablen darstellen. Für die vorhergehende Funktion kann die Ableitung wie folgt beschrieben werden:

δY / δX = δf (X) / δX + δg (X) / δX

In diesem Fall wird die Produktionsfunktion wie folgt dargestellt:

Y = f (X) - g (X)

Die Ableitung kann dann wie folgt ausgedrückt werden:

δY / δX = δf (X) / δX + δg (X) / δX

Lassen Sie uns die Anwendung der Ableitung der Funktion von Summe oder Differenz zweier verschiedener Funktionen anhand der folgenden Beispiele verstehen:

(a) Falls die Produktionsfunktion Y = 5X + 2X3 ist, dann

δY / δX = 5X1-1 + 2 · 3X3-1 = 5 + 6X2

(b) Falls die Produktionsfunktion Y = 5X2 - 2X4 ist, dann

δY / δX = 2 × 5 × 2-1 - 4 × 2 × 4-1 = 10–8 × 3

Produkt von zwei Funktionen:

Das Produkt zweier verschiedener Funktionen kann wie folgt ausgedrückt werden:

Y = f (X) * g (X)

Die Ableitung solcher Funktionen kann wie folgt dargestellt werden:

δY / δX = f (X) δg (x) / δx + g (X) δf (x) / δx

Daher kann die Ableitung des Produkts zweier verschiedener Funktionen als das Produkt der ersten Funktion und die Ableitung der zweiten Funktion plus das Produkt der zweiten Funktion und die Ableitung der ersten Funktion ausgedrückt werden.

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels die Ableitung von Produktfunktionen zweier verschiedener Funktionen verstehen.

Angenommen, die Produktionsfunktion ist Y = 5X2 (4X + 3), dann kann die Ableitung der Produktionsfunktion wie folgt berechnet werden:

Funktion der Funktion :

Es gibt bestimmte Funktionen, bei denen eine Variable eine Funktion einer anderen Variablen ist. Beispielsweise ist die Funktion von Y Y = f (U) und die Funktion von U = f (X). Wenn wir die Ableitung von Y in Bezug auf X bestimmen wollen, dann wäre sie gleich dem Produkt der Ableitung von Y in Bezug auf U und der Ableitung von U in Bezug auf X, das wie folgt beschrieben wird:

δY / δX = δY / δU * δU / δX

Lassen Sie uns die Anwendung der Ableitung einer Funktionsfunktion anhand eines Beispiels verstehen.

Angenommen, die beiden Funktionen lauten wie folgt:

Y = U3 + 5U und U = 2X2

Die Ableitung von Y in Bezug auf U kann wie folgt ausgedrückt werden:

δY / δU = 3U3-1 + 5

δY / δU = 3U2 + 5

Wenn wir den Wert von U in die vorhergehende Gleichung einsetzen, erhalten wir

δY / δU 3 (2X2) 2 + 5

δY / δU = 12X4 + 5

Die Ableitung von U in Bezug auf X kann wie folgt ausgedrückt werden:

δU / δX = 2 * 2X2-

δU / δX = 4X

Die Ableitung der Funktion einer Funktion kann wie folgt dargestellt werden:

δY / δX = (12X4 + 5) (4X)

δY / δX = 48X5 + 20X

Teilweise Ableitung :

In einer Funktion kann es mehr als eine unabhängige Variable geben, z. B. Bedarfsfunktion, Produktionsfunktion und Kostenfunktion.

In einem solchen Fall kann die Nachfragefunktion wie folgt ausgedrückt werden:

Dx = f (Px, M, Py, PC, T, A)

Wobei Px = Preis

M = Konsumenteneinkommen

Py = Preis der Ersatzware

PC = Preis der Ergänzungsware

T = Verbrauchergeschmack

A = Werbeausgaben

Produktionsfunktion kann wie folgt ausgedrückt werden:

Q = f (L, K)

Wobei L = Arbeit

K = Kapital

Die Kostenfunktion kann wie folgt ausgedrückt werden:

C = f (K, r, L, w)

Wobei L = Arbeit

K = Kapital

r = Mietpreis

w = Lohnsatz

Für die partielle Ableitung gelten bestimmte Differenzierungsregeln. Bei der partiellen Differenzierung wird Y als abhängige Variable und X und Z als unabhängige Variablen angenommen.

Die Produktionsfunktion der partiellen Differenzierung ist wie folgt:

Y = X3 + 4XZ + 5Z2

Die Regeln der partiellen Ableitung können wie folgt angegeben werden:

ein. Ermöglicht Änderungen in jeweils einer unabhängigen Variablen

b. Wendet dieselbe Differenzierungsregel an wie für eine unabhängige und eine abhängige Variable

Auf der Grundlage vorhergehender Regeln können wir eine partielle Ableitung berechnen.

Wenn Z konstant ist, ist die Ableitung von Y in Bezug auf X gleich:

δY / δX = 3X3-1 + 4Z

δY / δX = 3X2 + 4Z

Wenn X konstant ist, ist die Ableitung von Y in Bezug auf Z gleich:

δY / δX = 4X + 2 * 5Z2-

δY / δX = 4X + 10Z

Wenn jedoch X und Z in Form eines Produkts vorliegen, gilt Folgendes:

Y = ein XbZc

Dann ist die Ableitung von Y in Bezug auf X wie folgt:

δY / δX = baXb-1Zc

In ähnlicher Weise wäre die Ableitung von Y in Bezug auf Z wie folgt:

δY / δZ = aXbcZc-1

Optimierungstechniken:

Optimierungstechniken werden verwendet, um den Wert einer unabhängigen Variablen zu bestimmen, die den Wert der verteidigenden Variablen maximiert oder minimiert. Diese Techniken sind nützlich, um verschiedene Managemententscheidungen zu treffen.

Im Allgemeinen bemühen sich Unternehmen beispielsweise darum, das Produktionsniveau zu bestimmen, mit dem die Produktionskosten minimiert oder die Gewinne maximiert werden. Auf diese Weise helfen Optimierungstechniken bei wichtigen Entscheidungen einer Organisation. Lassen Sie uns die Techniken zur Optimierung verschiedener wirtschaftlicher Variablen verstehen.

Maximierung des Gesamtumsatzes:

Der Gesamtumsatz (Total Revenue, TR) kann ermittelt werden, indem das Produkt aus Preis und Menge eines Produkts wie folgt ausgedrückt wird:

TR = PQ

Wobei P = Produktpreis

Q = Menge des verkauften Produkts

Zum Beispiel, wenn eine Preisfunktion wie folgt lautet:

P = 250 - 2, 5Q

Dann wäre der Gesamtumsatz:

TR = (250 - 2, 5 Q) Q

TR = 250Q - 2, 5Q2

Jetzt müssen wir den Wert von Q bestimmen, bei dem der Umsatz maximal ist. Gemäß der Maximierungsregel von TR sollten die Einnahmen aus dem Verkauf der Grenzproduktionseinheit Null sein.

Daher müssen wir zunächst die Ableitung der TR-Funktion wie folgt bestimmen:

TR = 250Q - 2, 5Q2

δTR / δQ = 250-5Q

Indem wir die vorhergehende Gleichung der TR-Funktion auf Null halten, können wir den Wert von Q wie folgt bestimmen:

250 - 5Q = 0

-5Q = -250

Q = 50

Die maximale TR kann durch Einfügen des Wertes von Q in die Gleichung der TR-Funktion bestimmt werden, die wie folgt lautet:

TR = 250 × 50 - 2, 5 (50) 2

TR = 6, 250

Der Maximalwert von TR kann überprüft werden, indem der Wert von Q um 1 erhöht oder verringert wird.

In dem Fall, dass der Wert von Q 49 ist, wäre der Maximalwert von TR wie folgt:

TR = 250 (49) - 2, 5 (49) 2

TR = 6.247, 5

Wenn jedoch der Wert von Q 51 ist, wäre der Maximalwert von TR wie folgt:

TR = 250 (51) - 2, 5 (51) 2

TR = 6.247, 5

In beiden Fällen ist der Wert von TR kleiner als der Wert von TR, wenn die verkaufte Menge gleich 50 ist. Daher sollte die verkaufte Menge gleich 50 sein, um den Maximalwert von TR zu erhalten.

Optimieren der Ausgabe und Minimieren der Durchschnittskosten:

Die optimale Ausgabe kann als die Ausgabeebene definiert werden, bei der die durchschnittlichen Produktionskosten für eine Organisation minimal sind. Es hilft bei der Bestimmung der effizientesten Größe einer Organisation.

Das Ermitteln der optimalen Größe einer Organisation ist hilfreich für die zukünftige Planung der Organisation unter folgenden Bedingungen:

ich. Hilft bei der Planung des Aufbaus einer neuen Produktionsanlage. Ein Unternehmer muss die optimale Größe der Produktionsanlage kennen, bevor er sie errichtet. Dies ist auf das Konzept der Produktionstheorie zurückzuführen, wonach die Durchschnittskosten auf ein bestimmtes Produktionsniveau sinken. Ab diesem Niveau steigen die Durchschnittskosten.

ii. Hilft der Organisation, ihren Produktionsumfang zu erweitern. Die Größe der Organisation ermöglicht es der Organisation auch, geeignete Marketingstrategien zu planen und auszuwählen.

iii. Hilft kleinen Unternehmen, hohe Gewinne zu erzielen und die Produktionskosten pro Einheit zu senken.

Die für die Berechnung der Durchschnittskosten (AC) verwendete Formel lautet wie folgt:

AC = TC / Q

Nehmen wir an, dass die TC-Funktion einer Organisation wie folgt lautet:

TC = 200 + 30Q + 2Q2

Durch Einsetzen des Wertes von TC in die Formel von AC erhalten wir

Wechselstrom = 200 + 30Q + 2Q2 / Q

Wechselstrom = 200 / Q + 30 + 2Q

Gemäß der Minimierungsregel sollte die Ableitung der Funktion Null sein, um die Funktion zu minimieren. Daher können wir den Wert von Q zum Minimieren von Q mit Hilfe der Ableitung der AC-Funktion bestimmen, die wie folgt berechnet werden kann:

δAC / δQ = -200 / Q2 + 2

Durch Gleichsetzen der vorhergehenden Gleichung mit Null erhalten wir

-200 / Q2 + 2 = 0

Q2 + 200/2

Q = 10

Wenn Q gleich 10 Einheiten ist, sind die durchschnittlichen Kosten minimal. Daher ist 10 Einheiten die optimale Lösung für das vorhergehende Problem.

Gewinn maximieren :

Gewinnmaximierung ist das grundlegende und wichtigste Ziel aller Organisationen. Der Gesamtgewinn (Π) bezieht sich auf die Differenz zwischen dem Gesamtumsatz und den Gesamtkosten, ausgedrückt wie folgt:

Π = TR-TC

Der Gewinn wäre maximal, wenn die Differenz zwischen dem Gesamtumsatz und den Gesamtkosten maximal ist. Sowohl die TR- als auch die TC-Funktion enthalten eine gemeinsame Variable, nämlich den Ausgangspegel (Q). In einem solchen Fall müssen wir die Höhe der optimalen Leistung bestimmen, die den Gewinn maximiert.

Dies kann auf zwei Arten erfolgen:

ich. Anwendung der Gewinnmaximierungsregeln

ii. Gewinnfunktion maximieren

Lassen Sie uns diese beiden Möglichkeiten im Detail diskutieren.

Regeln zur Gewinnmaximierung:

Die Gewinnmaximierung ist unter zwei Bedingungen möglich, nämlich der notwendigen Bedingung oder Bedingung erster Ordnung und der ergänzenden Bedingung oder Bedingung zweiter Ordnung. Lassen Sie uns den mathematischen Ausdruck dieser beiden Bedingungen diskutieren.

ich. Zustand bei Erstbestellung:

Erfordert, dass MC gleich MR sein muss, um den Gewinn zu maximieren.

Die mathematische Darstellung der Bedingung erster Ordnung lautet wie folgt:

MR = MC

Oder

δTR / δQ = δTC / δQ

δTR / δQ - δTC / δQ

Um den Gewinn zu maximieren, ist es daher erforderlich, dass die Ableitung von TR und TC gleich oder ihre Differenz gleich Null ist.

ii. Zustand zweiter Ordnung:

Erfordert, dass die Differenz der zweiten Ableitung von TR- und TC-Funktionen kleiner als Null sein sollte oder ihre Summe negativ sein sollte. Die zweite Ableitung bezieht sich auf die Ableitung der ersten Ableitung einer Funktion.

Bedingung zweiter Ordnung kann mathematisch wie folgt dargestellt werden:

Gemäß der Bedingung zweiter Ordnung wäre der Gewinn maximal, wenn die Differenz der zweiten Ableitung der TR- und TC-Funktion kleiner als Null sein sollte oder ihre Summe negativ sein sollte. In unserem Fall ist die Summe der Ableitungen von MR- und MC-Funktionen gleich -1 (-3 + 2 = -1), was kleiner als Null ist. Daher erfüllt es sowohl Bedingungen erster als auch zweiter Ordnung.

Der Wert der Ausgabe, bei dem der Gewinn maximal ist (50 Einheiten), kann überprüft werden, indem der Wert von Q um 1 erhöht oder verringert wird.

Ermitteln wir zunächst die Gewinnschwelle bei einer Leistung von 50 Einheiten wie folgt:

In beiden Fällen ist der Wert des Gesamtgewinns kleiner als der Wert des Gesamtgewinns, wenn die Ausgabe gleich 50 ist. Daher sollte die Ausgabe gleich 50 sein, um den Maximalwert von TR zu erhalten.

Gewinnfunktionsmaximierung :

Bei der Maximierung der Gewinnfunktion müssen wir die Gewinnfunktion ermitteln und diese Funktion dann in Bezug auf die Ausgabe maximieren.

Die Gewinnfunktion kann mit Hilfe von TR- und TC-Funktionen bestimmt werden, die sich wie folgt ausdrücken lassen:

Π = (300Q - 1, 5Q2) - (500 + 50Q + Q2)

Π = 300Q - 1, 5Q2 - 500 - 50Q - Q2

Π = -500 + 250Q - 2, 5Q2

Die Ableitung der Gewinnfunktion wäre:

δΠ / δQ = 250-5Q

Nach der Maximierungsregel sollte die Ableitung der Gewinnfunktion gleich Null sein. Wenn Sie die Ableitung der Gewinnfunktion gleich Null halten, können Sie den Ausgabepegel für die Gewinnmaximierung berechnen, wie in der folgenden Gleichung beschrieben:

250-5Q = 0

Q = 50

Daher wäre der Gewinn maximal, wenn die Ausgangsleistung für die gegebenen TR- und TC-Funktionen 50 Einheiten beträgt.

Multivariate Gewinnmaximierung :

Ökonomen mussten sich jedoch mit mehr als einer unabhängigen Variablen wie Arbeit und Kapital auseinandersetzen. In ähnlicher Weise hat die Gesamteinnahmenfunktion die verkaufte Menge und die Werbeausgaben als unabhängige Variablen.

Im Falle einer Mehrproduktstrafe umfasst die Gewinnfunktion den Gewinn aller Produkte. Daher ist es erforderlich, die Optimierung von Funktionen mit mehr als einer unabhängigen Variablen zu kennen. Betrachten wir ein Beispiel zum Verständnis der Optimierung multivariater Funktionen (mit zwei unabhängigen Variablen).

Angenommen, eine Organisation produziert zwei Produkte, X und Y, dann wäre die Gewinnfunktion wie folgt:

Die Werte von X und Y können bestimmt werden, indem die partielle Ableitung von Y mit 2 multipliziert und dann das Produkt von der partiellen Ableitung von X abgezogen wird.

Der Wert, den wir nach der Multiplikation von 2 mit der Ableitung von Y erhalten, ist wie folgt:

2 (90 -X-4Y) = 0

180 - 2X - 8Y = 0

Der Wert, der sich aus der Differenz der vorhergehenden Gleichung und der Ableitung von X ergibt, wäre:

(180-2X-8Y) - (50-2X-Y) = 0

130 - 7y = 0

Y = 19 (Abrunden)

Indem wir den Wert von Y in die partielle Ableitung von X setzen, erhalten wir:

50 -2X - 18, 6 = 0

X = 16 (Abrunden)

Um den Profit zu maximieren, sollte die Organisation daher 16 X- und 19 Y-Einheiten produzieren.

In einem solchen Fall wäre der Gesamtgewinn der Organisation wie folgt:

Π = 50X - X2 - XY + 90Y - 2Y2

Π = 50 (16) - (16) 2 - 16 * 19 + 90 (19) - 2 (19) 2

Π = 1228

Lineare Programmierung :

Lineare Programmierung bezieht sich auf die mathematische Technik, die zur Lösung von Optimierungsproblemen, wie Maximierungs- und Minimierungsproblemen, von Unternehmen verwendet wird. Diese Optimierungsprobleme umfassen Variablen mit linearen Beziehungen. Mit anderen Worten, die lineare Programmierung bietet die beste Lösung für die Allokation von Ressourcen und für das Optimierungsproblem unter bestimmten Bedingungen. Eine wirtschaftliche Anwendung der linearen Programmierung ist jedoch sehr selten, da sie weniger Informationen über die Funktionsweise einer Volkswirtschaft liefert.

Annahmen der linearen Programmierung :

Es werden bestimmte Annahmen getroffen, um die Optimierungsprobleme mit Hilfe der linearen Programmierung zu lösen.

Diese Annahmen lauten wie folgt:

ich. Linearität:

Nimmt eine lineare Beziehung zwischen Input und Output der Produktion an. Dies ist nicht nur eine Annahme, sondern auch eine Bedingung für die lineare Programmierung. Unter der Annahme der Linearität liefert der Produktionsfaktor kurzfristig gleiche Renditen. Die lineare Beziehung zwischen Eingabe und Ausgabe wird durch eine lineare Gleichung dargestellt. Zum Beispiel benötigt ein produzierendes Unternehmen 25 Mann (W), 10 Maschinen (M) und 0, 6 Tonnen Rohstoffe (R) für die Produktion einer Produktionseinheit (O).

Daher kann die Beziehung zwischen Eingabe und Ausgabe wie folgt dargestellt werden:

25 W + 10 M + 0, 6 R = 10

Diese Annahme hat jedoch die Anwendung der linearen Programmierung nur auf eine lineare Eingabe-Ausgabe-Beziehung beschränkt.

ii. Kontinuität:

Nimmt an, dass alle Variablen nur messbar sind, wenn sie einen numerischen Wert haben. Nach dieser Annahme bringen nur numerische Werte Kontinuität bei der Messung von Variablen.

iii. Unabhängigkeit und Additiv:

Nimmt an, dass Variablen und ihre numerischen Werte nicht von anderen Variablen abhängig sind. Dies impliziert, dass Variablen innerhalb von Grenzen zufällig ausgewählt werden. Eine weitere Annahme hängt mit der additiven Natur der zu addierenden Variablen zusammen. Wenn Variablen nicht zusammenaddiert werden können, haben sie bei der linearen Programmierung keine Bedeutung.

iv. Verhältnismäßigkeit:

Nimmt an, dass es eine proportionale Beziehung zwischen Variablen gibt. Die Proportionalität zwischen den Variablen bleibt gleich, während die Lösung des Problems gefunden wird. Dies impliziert, dass die proportionale Beziehung zwischen Variablen auf jeder Ausgabeebene gleich ist. Wenn zum Beispiel ein Produkt 5 Input-Einheiten benötigt, um eine Output-Einheit zu erzeugen, dann würde die Produktion von 10 Output-Einheiten 50 Input-Einheiten erfordern.

v. Konstanter Preis:

Es wird davon ausgegangen, dass die Preise für Input und Output unabhängig von der verkauften und gekauften Menge konstant bleiben.

Anwendung der linearen Programmiertechnik :

Die lineare Programmiertechnik hilft bei der Geschäftsentscheidung, indem sie Lösungen für verschiedene Geschäftsprobleme wie Gewinnmaximierung, Kostenminimierung und Erweiterungsprobleme findet. Lassen Sie uns die Anwendung der linearen Programmierung bei der Lösung dieser geschäftlichen Probleme verstehen.

Die lineare Programmiertechnik wird am häufigsten zum Lösen von Gewinnmaximierungsproblemen verwendet. Eine Organisation verfügt beispielsweise über zwei Produkte, A und B, die mit Hilfe von zwei Eingaben, P und Q, erstellt werden können. Die Anforderung an die Gesamteingaben pro Zeiteinheit durch die Organisation beträgt P = 800 Einheiten und Q = 1000 Einheiten. Gewinn pro Einheit von A = Rs. 5 und B = Rs. 4.

Die Anforderungen an die Eingabe pro Einheit für die Herstellung von A und B sind in Tabelle 2 gezeigt:

Die Organisation, die erforderlich ist, um die Kombination der Eingaben für den maximalen Gewinn (Π) herauszufinden. Um das vorstehende Problem mit Hilfe der linearen Programmiertechnik zu lösen, müssen lineare Programmiergleichungen wie in den folgenden Schritten beschrieben gebildet werden:

1. Zielfunktion:

Bezieht sich auf den ersten Schritt der Formulierung der Zielfunktion zur Lösung des Problems. Für Tabelle 2 kann die Zielfunktion wie folgt dargestellt werden:

Maximiere π = 5A + 4B

In der vorhergehenden Gleichung stellen A und B die Produktionsmenge dar, die mit dem Gewinn pro Einheit multipliziert wird, um den Gesamtgewinn zu erhalten. Die lineare Programmiertechnik wird verwendet, um die Werte von A und B in der vorhergehenden Gleichung herauszufinden.

2. Constraint-Gleichungen:

Hilfe bei der Bestimmung des Bedarfs an Input für die Produktion pro Output-Einheit und des Gesamtgewinns, der der Organisation zur Verfügung steht.

Zum Beispiel kann für das vorliegende Beispiel die Beschränkungsgleichung für P wie folgt ausgedrückt werden:

4A + 2B ≤ 800 P

Die vorstehende Gleichung impliziert, dass die Gesamtversorgung des Eingangs P 800 beträgt. Von diesen 4 Einheiten des Eingangs P werden zur Erzeugung des Ausgangs A und 2 Einheiten des Eingangs P zur Erzeugung des Ausgangs B verwendet.

In ähnlicher Weise können wir die Bedingungsgleichung für Q herausfinden, die wie folgt ausgedrückt werden kann:

2A + 5B ≤ 1000 Q

Im Falle von Q ist die Gesamtversorgung gleich 1000. Davon werden 2 Eingangseinheiten Q für die Produktion von Ausgang A und 5 Eingangseinheiten Q für die Produktion von Ausgang B verwendet.

3. Nicht-Negativitätsbedingung:

Bezieht sich auf die Bedingung, die erforderlich ist, um die realistischere Lösung des Maximierungsproblems zu erhalten. Es ist möglich, dass die Lösung der linearen Programmierung einen negativen Wert enthält, der in der realen Welt nicht möglich ist. Um eine solche Situation zu vermeiden, wird daher ein nicht negativer Ansatz gewählt.

In unserem Beispiel kann die Nicht-Negativitätsbedingung wie folgt ausgedrückt werden:

A ≥ 0 und B ≥ 0

Die vollständige lineare Programmiergleichung kann wie folgt ausgedrückt werden:

Maximiere π = 5A + 4B

Einschränkungen unterworfen.

i) 4A + 2B ≥ 800

ii) 2A + 5B ≥ 1000

Wobei A, B ≥ 0 ist

To solve the preceding linear programming equations, the graphical method is used discussed below.

Graphical Method :

Graphical method is considered and the problem of linear programming he simplest method for solving linear programming problems. In the graphical method, the problem of linear programming can be solved by transforming the unequal constraint equation into an equal constraint equation, which is expressed as follows:

4A + 2B = 800 and 2B + 5B = 1000

Now, we can plot the constraints on a graph by calculating the values of A and B with the help of terminal points.

The calculation of A and B values with the help of terminal points are shown as follows:

Suppose, for constraint equation 4A + 2B = 800, A = 0,

Then, B = 800/2

B = 400

In case, B = 0,

Then, A = 800/4

A = 200

Similarly, for constraint equation 2a + 5B = 1000, a = 0,

Then, B= 1000/5

B=200

In case, B = 0,

Then, A= 1000/2

A=500

Let us plot the calculated equations of A and B on a graph, which is shown in Figure-5:

In Figure-5, OKM represents the feasibility area of P, while ONJ represents the feasibility area of Q. All the points that lie in the feasibility area are called feasible points. The shaded area, JLKO represents the points that satisfy all the conditions and assumptions of linear programming.

The points lie in area MLJ can only satisfy conditions of constraint P and LKN can only satisfy conditions of Q constraints only. JLKO is the only area that can satisfy the conditions of both P and Q constraints. In addition, it contains the solution of profit maximization problem.Now, we need to determine the point at which the combination of P and Q yields the maximum profit. This can be possible by plotting objective function on graph that would represent the iso-profit line for various output levels.

For this, we need to determine the slope of objective function as follows:

π = 5A + 4B

or B= [(π -5)/4] A

When Π = 0

B= (-5/4) A

Therefore, the slope of iso-profit line is equal to-5/4. This implies that the profit produced by one unit of B and 1.25 unit of A is same. With the help of slope of iso-profit, we can determine the various iso-profit lines and overlaid on the feasibility area for determining the point of maximum profit.

Iso-profit lines would be parallel because profit of A and B are constant, as shown in Figure-6:

In Figure-6, maximum profit of Rs. 2000 is not appropriate, as it does not feasible in the linear programming conditions. The iso- profits of Rs. 200 and Rs. 250 indicate the improper utilization of resources. Therefore, they would yield less profit. Only the iso-profit line of Rs. 1225 fetches the optimum utilization of resources; therefore, would yield maximum profit.

Thus, R is the point at which maximum profit can be generated, as shown in Table-3:

The combination of A and B for yielding maximum profit can be calculated as follows:

By constraint equation of P, we get

4A + 2 B = 800

A= (800-2B)/4

A= 200-(B/2)

Putting the value of A in the constraint equation of Q, we get

2A + 5B=1000

2[200 – (B/2)] + 5B = 1000

B = 150

Putting the value of B in equation (1), we get

A= 200-(150/2)

A= 200-75

A=125

Therefore, the maximum profit can be yielded when A= 125.and B = 150.

Cost minimization problem can also be solved with the help of linear programming technique. Let us understand it with the help of an example. Suppose a manufacturing organization requires 160 men (W'), 36 machines (M), and 48 tons of raw materials (R) for the production of product C and D.

The production conditions are given in Table-4:

The cost of production per product is Rs. 30, 000 for D and Rs. 10, 000 for C. The problem is to find out the output combination of products, C and D at the least cost.

The linear programming equation for the present problem would be as follows:

Minimize Cost = 10, 000 C + 30, 000 D

Subject to condition 10C + 40D ≥ 160

6C + 3D ≥36

4C + 8D ≥ 48

Where, C and D ≥ 0

The constraint equations with equality would be as follows:

10C + 40D= 160

6C + 3D = 36

4C + 8D = 48

Now, we can plot the constraint lines on a graph by calculating the values of C and D with the help of terminal points.

The calculation of the values of C and D with the help of terminal points is as follows:

Suppose for constraint equation of W, 10C + 40D = 160, C = 0

Then, D = 160/40

D = 4

In case, D = 0,

Then, C = 160/10

C = 16

Similarly, for constraint equation of M, 6C + 3D = 36, C = 0,

Then, D = 36/3

D = 13

In case, D = 0,

Then, C = 36/6

C = 4

For constraint equation of R, 4C + 8D = 48, C = 0,

Then, D = 48/8

D = 6

In case, D = 0,

Then, C = 48/4

C = 12

Let us plot the calculated equations of C and D on the graph as shown in Figure-7:

In Figure-7, MN line represents the line of labor constraint, JK and TR represents the line of constraints for other inputs. These lines are also termed as iso-cost. The optimum solution for the minimization problem lies in the feasibility space. The iso-cost line for optimum solution is IC.

The combination of output of C and D, at which the cost is minimum, is determined in Table-5:

In Table-5, the least cost is at point P of iso-cost line IJ. At point P, the production of C is 8 units while of D are 2 units.

 

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