Enthüllte Präferenztheorie (RPT) (mit Diagramm)

In diesem Artikel diskutieren wir über die Revealed Preference Theory (RPT) von prof. Samuelson.

Das Konzept der offenbarten Präferenz :

Prof. Samuelson hat einen alternativen Ansatz zur Theorie des Verbraucherverhaltens entwickelt, bei dem der Verbraucher im Prinzip keine Informationen über sich selbst vorlegen muss.

Wenn sich sein Geschmack nicht ändert, können wir mit dieser Theorie, die als Revealed Preference Theory (RPT) bezeichnet wird, alles herausfinden, was wir wissen müssen, indem wir sein Marktverhalten beobachten und sehen, was er zu unterschiedlichen Preisen kauft, vorausgesetzt, dass er akquiriert und Kauferfahrungen ändern weder seine Präferenzmuster noch seine Kaufwünsche.

Bei ausreichender Information ist es sogar theoretisch möglich, die Indifferenzkarte des Verbrauchers zu rekonstruieren.

Samuelsons RPT basiert auf einer ziemlich einfachen Idee. Ein Verbraucher wird sich entscheiden, eine bestimmte Kombination von Artikeln zu kaufen, entweder weil er diese Kombination mehr mag als die anderen Kombinationen, die ihm zur Verfügung stehen, oder weil sie billig ist. Nehmen wir an, wir beobachten, dass der Verbraucher von zwei zum Verkauf angebotenen Warensammlungen A, aber nicht B kauft.

Wir sind dann nicht in der Lage zu schließen, dass er A gegenüber B bevorzugt, denn es ist auch möglich, dass er A kauft, weil A die billigere Sammlung ist, und er wäre tatsächlich glücklicher gewesen, wenn er B bekommen hätte. Aber Preisinformationen könnten sein in der Lage, diese Unsicherheit zu beseitigen.

Wenn ihre Preisschilder uns sagen, dass A nicht billiger als B ist (oder B nicht teurer als A ist), dann gibt es nur eine plausible Erklärung für die Wahl des Verbrauchers: Er hat A gekauft, weil es ihm besser gefallen hat.

Wenn ein Verbraucher eine Sammlung von Waren A kauft, anstatt eine der alternativen Sammlungen B, C und D, und wenn sich herausstellt, dass keine der letzteren Sammlungen teurer ist als A, dann sagen wir, dass A eine gewesen ist gegenüber den Kombinationen B, C und D bevorzugt offenbart oder dass B, C und D gegenüber A minderwertig offenbart worden sind.

Kauft der Verbraucher also die Kombination E 1 (x 1, y 1 ) der Waren X und Y und kauft die Kombination E 2 (x 2, y 2 ) nicht zu den Preisen (p1 x, p1 y, ) von die Ware, dann könnten wir sagen, dass er die Kombination E 1 der Kombination E 2 vorzieht, wenn wir erhalten

Der vollständige Satz von Kombinationen der Waren X und Y, zu denen eine bestimmte Kombination bevorzugt aufgedeckt wird, kann mit Hilfe der Preislinie des Verbrauchers gefunden werden. Nehmen wir an, dass die Haushaltslinie des Verbrauchers in Abb. 6.104 L 1 M 1 ist und er beobachtet, dass er die Kombination E 1 (x 1, y 1 ) kauft, die auf dieser Linie liegt.

Nun, da die Kosten aller Kombinationen, die auf der Haushaltslinie liegen, die gleichen sind wie die von E 1, und da die Kosten aller Kombinationen, die unterhalb und links der Haushaltslinie liegen, niedriger sind als die von E 1, sind wir kann sagen, dass E 1 allen Kombinationen vorgezogen wird, die auf oder unter der Haushaltslinie des Verbrauchers liegen.

Da die Kosten der Kombinationen, die über und rechts von der Haushaltslinie liegen, höher sind als die von E 1, können wir wiederum nicht sagen, dass der Verbraucher E 1 diesen Kombinationen vorzieht, wenn beobachtet wird, dass er E 1 kauft, da hier E 1 ist die billigere Kombination.

Wir müssen hier den Unterschied zwischen „Präferenz“ und „aufgedeckter Präferenz“ beachten. Kombination A ist gegenüber B „bevorzugt“, was bedeutet, dass der Verbraucher A vor B steht.

Aber A wird "bevorzugt gegenüber B enthüllt" bedeutet, dass A gewählt wird, wenn B erschwinglich ist (nicht teurer). In unserem Modell des Verbraucherverhaltens gehen wir im Allgemeinen davon aus, dass die Menschen die beste Kombination wählen, die sie sich leisten können, und dass die Entscheidungen, die sie treffen, den Entscheidungen vorgezogen werden, die sie hätten treffen können. Das heißt, wenn (x 1 y 1 ) direkt gegenüber (x 2, y 2 ) bevorzugt wird, wird (x 1, y 1 ) tatsächlich gegenüber (x 2, y 2 ) bevorzugt.

Lassen Sie uns nun das RP-Prinzip formeller formulieren:

Nehmen wir an, der Verbraucher kauft die Kombination (x 1, y 1 ) zum festgelegten Preis (p ' x, P' y ). Nehmen wir auch an, dass eine andere Kombination (x 2, y 2 ) ist, so dass p ' x 1 + p ' y y 1 ≥ p' x 2 + p ' y y 2 . Wenn der Verbraucher die am meisten bevorzugte Kombination unter Berücksichtigung seiner Budgetbeschränkung kauft, wird die Kombination (x 1, y 1 ) der Kombination (x 2, y 2 ) strikt vorgezogen.

Die Annahmen :

Mit Hilfe des einfachen RP-Prinzips können wir eine aussagekräftige Theorie der Verbrauchernachfrage aufbauen. Die Annahmen, die wir hier treffen werden, sind:

(i) Der Verbraucher kauft und verwendet nur zwei Waren (X und Y). Die Mengen x und y dieser Güter sind stetige Variablen.

(ii) Beide Waren sind vom Typ MIB (more-is-better). Diese Annahme wird auch als Annahme der Monotonie bezeichnet. Diese Annahme impliziert, dass die ICs des Verbrauchers negativ geneigt sind.

(iii) Die Vorlieben des Verbrauchers sind streng konvex. Diese Annahme impliziert, dass die ICs des Verbrauchers konvex zum Ursprung sind, was wiederum impliziert, dass nur ein Punkt (der Tangentialpunkt) auf der Haushaltslinie des Verbrauchers erhalten wird, der von ihm gegenüber allen anderen bezahlbaren Punkten ausgewählt wird Kombinationen.

Diese Annahme ist sehr wichtig. Auf der Grundlage dieser Annahme erhalten wir eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen der Preis-Einkommens-Situation oder der Budgetlinie des Verbrauchers und seiner Gleichgewichtswahl - für jede bestimmte Budgetlinie des Verbrauchers würde es ein und nur ein Gleichgewicht geben Kombination von Gütern und für jede Kombination, die zu einem Gleichgewicht führen soll, würde nur eine einzige Haushaltslinie erhalten.

(iv) Die vierte Annahme der RP-Theorie ist als das schwache Axiom von RP (WARP) bekannt. Hier nehmen wir an, dass der Verbraucher unter keinen Umständen E 2 wählen würde, wenn er die Kombination E 1 (x 1, y 1 ) gegenüber einer anderen erschwinglichen Kombination E 2 (x 2, y 2 ) in einer bestimmten Preis-Einkommens-Situation wählt E 1, wenn E 1 erschwinglich ist.

Mit anderen Worten, wenn eine Kombination E 1 gegenüber E 2 bevorzugt aufgedeckt wird, kann E 2 unter keinen Umständen gegenüber E 1 bevorzugt aufgedeckt werden.

(v) Die fünfte Annahme der RP-Theorie ist als das starke Axiom von RP (SARP) bekannt. Nach dieser Annahme würde sich E 1 als bevorzugt gegenüber E 2, E 2 bis E 3, ..., E k-1 bis E k herausstellen, wenn der Verbraucher unter verschiedenen Preis-Einkommenssituationen die Kombination E 1 als bevorzugt herausstellt zu E k und E k würden niemals (bei keiner Preis-Einkommens-Situation) gegenüber E 1 bevorzugt aufgedeckt.

Enthüllte Vorlieben - direkt und indirekt :

Wenn RP nur auf zwei Warenkombinationen E 1 und E 2 beschränkt ist und in einer bestimmten Preis-Einkommens-Situation E 1 (x 1, y 1 ) gegenüber der Kombination E 2 (x 2, y 2 ) als bevorzugt gilt ), dann wird gesagt, dass E 1 gegenüber E 2 direkt bevorzugt offenbart wird.

Wenn jedoch Präferenzen für mehr als zwei Kombinationen berücksichtigt werden und Präferenzen über die Transitivität von RP festgelegt werden, handelt es sich um indirekt offenbarte Präferenzen. Zum Beispiel, wenn E 1 gegenüber E 2, ..., E k-1 gegenüber E k bevorzugt ist, dann sagen wir durch SARP, dass E 1 indirekt gegenüber E k bevorzugt ist.

Verletzung der WARP :

Betrachten wir Abb. 6.105. Angenommen, der Verbraucher kauft unter der durch die Haushaltslinie L 1 M 1 dargestellten Preis-Einkommens-Situation die Kombination E 1 (x 1, y 1 ) und gibt die Kombination E 1 (x 1 y 1 ) als bevorzugt an E 2 (x 2, y 2 ).

Denn hier wählt er E 1 gegenüber der günstigen Kombination E 2 . Angenommen, der Verbraucher kauft die Kombination E 2 (x 2, y 2 ), wenn sich die Haushaltslinie des Verbrauchers von L 1 M 1 zu L 2 M 2 ändert, obwohl er die erschwingliche Kombination E 1 erhalten hätte können (x 1, y 1 ), dh unter L 2 M 2 ist E 2 gegenüber E 1 bevorzugt.

Was wir hier gesehen haben, ist, dass unter der Haushaltslinie L 1 M 1 die Kombination E 1 gegenüber E 2 bevorzugt aufgedeckt wird und unter einer anderen Haushaltslinie L 2 M 2, wird E 2 gegenüber E 1 bevorzugt aufgedeckt. Offensichtlich verletzt der Verbraucher hier die WARP.

Der Grund für diese Verletzung kann sein, dass der Verbraucher hier nicht versucht, die am meisten bevorzugte Kombination zu erhalten, abhängig von seiner Budgetbeschränkung; oder es kann sein, dass sich sein Geschmack oder ein anderes Element in seinem wirtschaftlichen Umfeld geändert hat, was nach unseren Annahmen unverändert bleiben sollte.

Was auch immer der Grund für die Verletzung von WARP sein mag, diese Verletzung stimmt nicht mit dem Modell des Verbraucherverhaltens überein, das wir diskutieren.

Das Modell geht davon aus, dass der Verbraucher sein Zufriedenheitsniveau maximieren möchte, und aus diesem Grund muss, wenn er eine bestimmte Kombination wählt, z. B. E 1, die seinem Budget unterliegt, diese allen anderen erschwinglichen Kombinationen vorgezogen werden, und Keine dieser „anderen“ Kombinationen kann E 1 in einem anderen Budget „vorgezogen“ werden. WARP legt Wert auf diesen einfachen, aber wichtigen Punkt. Wir können die formelle Erklärung von WARP auf folgende Weise abgeben.

Wenn eine bestimmte Kombination E 1 (x 1 y 1 ) vom Verbraucher als gegenüber einer anderen Kombination E 2 (x 2, y 2 ) bevorzugt aufgedeckt wird, würde E 2 vom Verbraucher niemals als gegenüber E 1 bevorzugt aufgedeckt.

Mit anderen Worten, wenn der Verbraucher beobachtet wird, dass er E 1 (x 1, y 1 ) zum festgelegten Preis (p x (1), p y (1)) und E 2 (x 2, y 2 ) zum festgelegten Preis kauft setze (p x (1), p y (2)), dann wenn (6.138) unten gilt, dann darf (6.139) niemals gelten:

Wie wir gesehen haben, wurde WARP in Abb. 6.105 verletzt, wenn der Verbraucher die Kombination E 1 auf L 1 M 1 und E 2 auf L 2 M 2 kauft. Hier bricht die Vorzugsreihenfolge des Verbrauchers zusammen. In Abb. 6.105 kann verifiziert werden, dass sich die IC-Tangente an L 1 M 1 bei E 1 und die IC-Tangente an L 2 M 2 bei E 2 in diesem Fall nicht überschneiden dürfen.

Nehmen wir andererseits in Abb. 6.106 an, der Verbraucher kauft die Kombination E 1 auf L 1 M 1 und die Kombination E 2 auf L 2 M 2 . Wenn er hier E 1 kauft, wählt er E 1 gegenüber der erschwinglichen Kombination E 2, dh, E 1 wird E 2 vorgezogen. Wenn er jedoch E 2 kauft, wählt er E 2 gegenüber einem unerschwinglichen E 1 aus, dh, E 2 wird nicht gegenüber E 1 bevorzugt angezeigt.

Daher wird hier WARP nicht verletzt, und hier wird die Präferenzreihenfolge des Verbrauchers nicht aufgehoben. In Abb. 6.106 ist zu sehen, dass sich die IC-Tangente an L 1 M 1 bei E 1 und die IC-Tangente an L 2 M 2 bei E 2 nicht schneiden würden.

Bedeutung des SARP :

Lassen Sie uns nun die Bedeutung des starken Axioms der offenbarten Präferenz (SARP) diskutieren. Wenn der Verbraucher eine Kombination E 1 (x 1, y 1 ) als bevorzugt gegenüber einer anderen Kombination E 2 (x 2, y 2 ) aufdeckt und wenn E 2 (x 2, y 2 ) als bevorzugt gegenüber E aufgedeckt wird, gilt dieses Axiom 3 (x 3, y 3 ), dann E, würde sich immer gegenüber E 3 als bevorzugt herausstellen.

Dies kann als Transitivität offengelegter Präferenzen bezeichnet werden. Wenn der Verbraucher ein nutzungsmaximierender Verbraucher ist, würde die Transitivität offengelegter Präferenzen zur Transitivität von Präferenzen führen - wenn E 1 gegenüber E 2 und E 2 gegenüber E 3 bevorzugt wird, wird E 1 gegenüber E 3 bevorzugt.

Dies ist jedoch erforderlich, um sicherzustellen, dass sich die ICs nicht überschneiden und die nicht interessanten ICs erforderlich sind, um zu der Lösung zur Maximierung des Nutzens zu gelangen. Es ist offensichtlich, dass bei Verstößen gegen WARP und SARP der Verbraucher keine Nutzenmaximierung erreichen kann.

Enthüllte Präferenztheorie und der Slutsky-Satz :

Lassen Sie uns nun sehen, wie das RPT verwendet werden kann, um den Slutsky-Satz zu beweisen, der besagt, dass die Nachfragekurve eines Rohstoffs eine negative Steigung aufweisen muss, wenn der Einkommenseffekt (IE) ignoriert wird. Um dies zu erklären, nehmen wir die Hilfe von Abb. 6.107.

In dieser Figur sei E 1 (x 1, y 1 ) die Kombination von Waren, die der Verbraucher anfänglich kauft, wenn seine Haushaltslinie L 1 M 1 ist . Wir wollen hier zeigen, dass ein ceteris paribus Preisverfall von Gut X von L 1 M 1 den Kauf des Gutes erhöht, wenn wir den Einkommenseffekt ignorieren, dh nur den Substitutionseffekt (SE) berücksichtigen.

Angenommen, die imaginäre Haushaltslinie für Slutsky-SE ist L 2 M 2 . Diese Linie wird flacher sein als L 1 M 1, da der Preis von X gesunken ist, und diese Linie (L 2 M 2 ) wird durch die Kombination E verlaufen, so dass der Verbraucher gemäß der Bedingung von Slutsky könnte in der Lage sein, die ursprüngliche Kombination unter den geänderten Umständen zu kaufen, wenn er möchte.

Lassen Sie uns nun aufgrund der SE sehen, dass der Punkt, den der Verbraucher auf der imaginären Budgetlinie L 2 M 2 auswählen kann (wenn er sich von E unterscheiden soll), ein Punkt wie E 2 rechts vom Punkt E wäre 1 . Um zu beweisen, dass dies so sein muss, müssen wir beachten, dass die Auswahl eines beliebigen Punktes auf L 2 M 2 wie E 3, der links von E 1 liegt, von WARP ausgeschlossen wird.

Dies liegt daran, dass zunächst E 1 gegenüber E 3 bevorzugt aufgedeckt wurde, da E 3 unter L 1 M 1 liegt . Wenn jedoch E 3 gewählt wurde, als die Preislinie L 2 M 2 war, wird es (E 3 ) gegenüber E 1 bevorzugt, da E 1 nicht teurer als E 3 ist (da beide auf derselben Budgetlinie L liegen) 2 M 2 ). In diesem Fall erhalten wir, dass E 1 gegenüber E 3 bevorzugt wird und umgekehrt, was gegen WARP verstößt.

Somit kann kein Punkt auf L 2 M 2 gewählt werden, der wie E 3 links von E 1 liegt. Wählt der Verbraucher dagegen einen Punkt wie E 2 auf L 2 M 2 rechts von E 1, so schadet das schwache Axiom nicht, denn beim Kauf von E 2 wird E 2 dem vorgezogen Nicht teurere Kombination E 1, aber anfangs, als er E 1 (auf L 1 M 1 ) und keinen Punkt wie E 2 kaufte, tat er dies, weil E 1 billiger als diese Punkte war.

Aus der Analyse geht hervor, dass die SE eines Preisverfalls von X in der Regel die Nachfrage nach der relativ günstigeren Ware X an einem Punkt wie E 2 rechts von E 1 erhöhen wird. Somit wird der Slutsky-Satz aus dem offenbarten Präferenzansatz abgeleitet.

Wir haben gesehen, dass wenn der Preis von X ceteris paribus fällt und der Einkommenseffekt dieses Preisverfalls ignoriert wird, die SE die Nachfrage nach X erhöhen würde, dh die Nachfragekurve für X würde negativ geneigt sein, und Gesetz der Nachfrage erhalten wird.

Von enthüllten Vorlieben zu Vorlieben:

Das Prinzip der offenbarten Präferenz (RP) ist ziemlich einfach, aber gleichzeitig sehr mächtig. Unterstützt durch die Annahmen, die wir getroffen haben, ermöglicht uns das RPT, das Präferenzmuster oder die Indifferenzkurven (ICs) des Verbrauchers aus seinen aufgedeckten Präferenzen zu erhalten.

Der Verbraucher benötigt keine introspektiven Daten, um diese Aufgabe zu erfüllen. Wenn wir die Preis-Einkommens-Situation des Verbrauchers kennen, die sich aus seiner Haushaltslinie und seiner aufgedeckten Präferenz in der Linie ergibt, können wir seinen IC ableiten, der diesen Punkt durchläuft. Der Prozess zum Erhalten des IC wird nachstehend beschrieben.

Angenommen, die Haushaltslinie des Verbrauchers ist L 1 M 1 in Abb. 6.108 und die Kombination der Waren, die der Verbraucher beobachtet, um sie zu kaufen, ist E 1 (x 1, y 1 ). Wie wir wissen, bevorzugt der Verbraucher hier den Punkt E direkt vor allen anderen Punkten auf der Haushaltslinie oder im Bereich OL 1 M 1 . Denn trotz all dieser Punkte, die in seinem Budget liegen, kauft er E 1 . "Alle diese Punkte" gelten als "schlechter" als E 1 .

Andererseits sind die Kosten aller Kombinationen, die rechts von der Haushaltslinie L 1 M 1 liegen, höher als die des Punktes E 1, oder E 1 ist billiger als diese Punkte. Offensichtlich wählt der Verbraucher E 1 gegenüber diesen Punkten, weil sie teurer sind, und wir können nichts über die "offenbarte" Präferenz von E 1 gegenüber einem dieser Punkte sagen.

Deshalb wird der Bereich im Warenraum rechts von L 1 M 1 als Bereich der Ignoranz bezeichnet. Wir werden jedoch mit Hilfe der Annahmen der RPT sehen, dass einige der Punkte im Bereich der Unwissenheit direkt oder indirekt E 1 vorgezogen oder unterlegen sind und einige der Punkte E 1 gleichgültig sind.

Diese letzteren Punkte, die mit E 1 gleichgültig sind, geben uns die durch E 1 verlaufende Indifferenzkurve (IC). Lassen Sie uns nun sehen, wie wir diese Kurve ableiten können.

Betrachten wir zunächst die Fläche K 1 E 1 B 1 . Die Warenkombinationen (mit Ausnahme von E 1 ), die zu diesem Bereich gehören, sind dem Verbraucher gegenüber E 1 direkt vorzuziehen, da alle diese Kombinationen mehr von einer oder beiden Waren als den Punkt E 1 enthalten . Diese Kombinationen können als die "besseren" Kombinationen bezeichnet werden.

Bisher haben wir festgestellt, dass der Verbraucher E 1 direkt vor den Punkten links von der Haushaltslinie L 1 M 1 bevorzugt, dh diejenigen, die im Bereich OL 1 M 1 liegen, und er die Punkte, die im Bereich K 1 liegen, direkt bevorzugt E 1 B 1 bis E 1 . Daher würde sein IC durch den Punkt E 1, wenn er erhalten wird, in dem Raum zwischen diesen beiden Bereichen verteilt sein und die Linie L 1 M 1 und den Bereich K 1 E 1 B 1 am Punkt E 1 berühren.

Betrachten wir nun die Punkte im Bereich der Unwissenheit, die oberhalb der Linie L 1 M 1 und außerhalb des Bereichs K 1 E 1 B 1 liegen . Zunächst werden wir versuchen, die Punkte zu identifizieren, bei denen der Verbraucher weniger Wert auf E 1 legt. Diese Punkte können als "schlechtere" Punkte bezeichnet werden. Betrachten wir dazu einen beliebigen Punkt E 2, der auf L 1 M 1 rechts von E 1 liegt .

Nehmen wir an, der Verbraucher kauft E 2, wenn seine Haushaltslinie L 2 M 2 ist . Er gibt daher den Punkt E 2 gegenüber den Punkten links von der Haushaltslinie L 2 M 2 als bevorzugt an. Da E 1 bereits gegenüber E 2 bevorzugt aufgedeckt wurde, bevorzugt der Verbraucher E 1 gegenüber all diesen im Bereich OL 2 liegenden Punkten M 2 .

Da ein Teil dieser Fläche, nämlich □ OL 2 E 2 M 1, zur Fläche OL 1 M 1 gehört, ergibt sich hier eine Nettozunahme der Fläche der "schlechteren" Punkte von □ E 2 M 1 M 2 . Der Verbraucher bevorzugt E 1 indirekt gegenüber den Punkten dieses Bereichs durch die Kombination E 2 - er bevorzugt E 1 gegenüber E 2 und E 2 gegenüber diesen Punkten.

Wir können die Fläche der "schlechteren" Punkte rechts von E 1 wieder vergrößern, indem wir jeden anderen Punkt E 3 betrachten, der auf der Linie L 1 M 1 rechts von E 2 liegt . Angenommen, der Verbraucher kauft E 3, wenn die Haushaltslinie L 3 M 3 ist . Das heißt, er zeigt den Punkt E 3 als bevorzugt gegenüber den Punkten, die im Bereich OL 3 M 3 liegen .

Auch hier kann gesagt werden, dass E 1 diesen Punkten im Bereich OL 3 M 3 vorzuziehen ist, da sich bereits gezeigt hat, dass E 1 gegenüber E 3 bevorzugt ist. Hier betrug die Nettozunahme im Bereich der Punkte, die schlechter als E 1 sind, □ SM 2 M 3 . Der Verbraucher bevorzugt E 1 indirekt (durch den Punkt E 3 ) gegenüber den Punkten in □ SM 2 M 3 .

Bisher haben wir gesehen, wie wir den Bereich der Unwissenheit verringern können, indem wir die Punkte auf der Haushaltslinie L 1 M 1 rechts von E 1 berücksichtigen. Wir können diese Aufgabe auch erledigen, indem wir Punkte auf L 1 M 1 links von E 1 berücksichtigen. Nehmen wir an, E 4 ist ein beliebiger Punkt auf L 1 M 1 links von E 1, und es wird beobachtet, dass der Verbraucher E 4 kauft, wenn seine Budgetlinie L 4 M 4 ist .

Der Punkt E 4 ist daher den im Bereich OL 4 M 4 liegenden Punkten vorzuziehen. Es wurde jedoch bereits festgestellt, dass der Punkt E 1 dem Punkt E 4 vorgezogen wird, und daher zieht der Verbraucher E 1 diesen Punkten vor. Wenn wir hier den gemeinsamen Teil der Bereiche OL 1 M 1 und OL 4 M 4 weglassen, erhalten wir, dass der Verbraucher indirekt E 1 gegenüber den Punkten von □ E 4 L 1 L 4 bevorzugt.

Daher ist es uns jetzt gelungen, den Bereich der Unwissenheit um □ E 4 L 1 L 4 zu reduzieren. Auf diese Weise können wir den Bereich der Unwissenheit weiter verkleinern, indem wir mehr Punkte auf L 1 M 1 betrachten, die links vom Punkt E 1 liegen .

Bisher haben wir den Bereich der Ignoranz reduziert, indem wir den Bereich der „schlechteren“ Kombinationen vergrößert haben. Wir können nun sehen, wie wir den Bereich der "besseren" Kombinationen außerhalb des Bereichs K 1 E 1 B 1 vergrößern und dadurch den Bereich der Unwissenheit weiter reduzieren können. Nehmen wir an, der Verbraucher kauft den Punkt E 5, wenn seine Haushaltslinie G 1 E 1 H 1 ist .

Hier wird der Verbraucher alle Punkte im Bereich K 2 E 5 B 2 dem Punkt E 5 vorziehen, da diese Punkte mehr von einer oder beiden Waren enthalten. Es zeigt sich auch, dass der Verbraucher E 5 gegenüber E 1 bevorzugt, da er E 5 gegenüber dem erschwinglichen E 1 wählt. Wir erhalten hier also, dass die im Bereich K 2 E 5 B 2 liegenden Punkte "besser" sind als der Punkt E 1 .

Wenn wir hier den Anteil von □ K 2 E 5 B 2 weglassen, der mit □ K 1 E 1 B 1 gemeinsam ist, stellen wir fest, dass es eine Nettozunahme im Bereich der „besseren“ Punkte und eine Nettozunahme in gegeben hat der Bereich der Unwissenheit - diese Nettozunahme wird durch den Bereich dargestellt, der zwischen den Linien K 2 E 5, K 1 T und E 5 T liegt.

Aufgrund unserer Annahme einer konvexen Präferenz und einer MIB wird der Verbraucher die Punkte in □ E 1 E 5 T gegenüber E 1 bevorzugen. Daher wird dieser Bereich auch zum Bereich der "besseren" Kombinationen hinzugefügt und der Bereich der Ignoranz entsprechend reduziert. Auf diese Weise können wir den Bereich der „besseren“ Kombinationen weiter vergrößern. Beispielsweise wird beobachtet, dass der Verbraucher den Punkt E 6 in der Haushaltslinie G 2 E 1 H 2 kauft.

Hier würden wir feststellen, dass die Fläche der "besseren" Punkte um die Fläche zwischen den Linien RB 1 RE 6 und E 6 B 3 plus der Fläche E 1 E 6 R vergrößert wird. Daher werden diese Flächen auch der Fläche hinzugefügt der "besseren" Kombinationen und der Bereich der Ignoranz wird entsprechend reduziert.

In Abb. 6.108 haben wir gesehen, dass wir auf der Grundlage der Idee der offenbarten Präferenz und mit Hilfe der getroffenen Annahmen die Fläche der Kombinationen, die „schlechter“ als eine bestimmte Kombination E 1 sind, von unten vergrößern können und wir können auch fortfahren, die Fläche der Kombinationen, die "besser" als E 1 sind, von oben zu vergrößern.

Im Grenzfall würde der Bereich zwischen diesen beiden Bereichen auf eine Grenzlinienkurve der Gleichgültigkeit reduziert. Durch Anwenden der fortgeschrittenen Berechnungsmethoden und auch intuitiv können wir erhalten, dass diese Indifferenzkurve des Verbrauchers durch den Punkt E 1 verlaufen würde, zwischen den beiden Pfaden wie K 2 E 5 E 1 E 6 B 3 und L 4 liegen würde E 4 E, E 2 SM 3 und wäre konvex zum Ursprung.

Wir haben gesehen, wie wir einen Verbraucher-IC durch eine bestimmte Kombination E 1 erhalten können . Unter Anwendung des gleichen Prozesses können wir seinen IC über jeden anderen Punkt im Warenraum erhalten, dh wir würden seine Indifferenzkarte erhalten.

Lassen Sie uns nun anhand von Abb. 6.109 intuitiv schließen, dass die Grenze zwischen den Bereichen „besser“ und „schlechter“ als jeder Punkt E 1 ein IC durch diesen Punkt ist.

In Abb. 6.109 haben wir dargestellt, dass die Bereiche mit besseren und schlechteren Kombinationen als E 1 aufeinander zu vorgerückt sind, und im Grenzfall sieht die Lücke zwischen ihnen wie ein IC aus, und tatsächlich wäre es ein IC, der vorbeigeht durch E 1 Wir können dies auf folgende Weise verstehen.

Bewegen wir uns im Warenraum von Abb. 6.109 vertikal von einem Punkt zum anderen, ausgehend von einem beliebigen Punkt wie N, (x °, y 1 ) des Bereichs der schlechteren Kombinationen. Wenn wir uns vertikal nach oben bewegen, bleibt die Menge von Gut X bei x 0 gleich und die Menge von Gut Y nimmt zu, und letztendlich werden wir sehr nahe an der Grenze des "schlechteren" Gebiets zu einem Punkt wie N 2 (x °, y 2 ).

Nehmen wir an, wenn wir uns noch etwas über N 2 hinaus nach oben bewegen, kommen wir zu einem Punkt N 3 (x °, y 3 ) im Bereich der „besseren“ Kombinationen. Nun können wir leicht intuitiv verstehen, dass es einen Punkt N * (x 0, y *) gibt, y 2 <y * <y 3, in der unendlich kleinen vertikalen Lücke zwischen den Punkten N 2 und N 3, die weder schlechter noch besser ist als E 1, aber das ist mit E 1 gleichgültig.

Wenn wir also die Punkte E 1 und die Punkte wie N * durch eine Kurve verbinden, erhalten wir den erforderlichen IC durch E 1 .

Indifferenzkurve, offenbarte Präferenz und Lebenshaltungskostenindex :

Betrachten wir zunächst zwei Preisindexformeln. Eines ist Laspeyres Formel und das andere ist Paasches Formel. Die Preisindexzahl von Laspeyre ist das Verhältnis von zwei Aggregaten - die Summe der aktuellen Jahrespreise zu Basisjahresmengen und die Summe der Basisjahrespreise zu Basisjahresmengen. Nehmen wir an, eine Person kauft zwei Waren.

Das Basisjahr und die aktuellen Jahrespreise der Waren sind p 01, p 02 und p t1, p t2 . Auch das Basisjahr und die aktuellen Jahresmengen der vom Verbraucher gekauften Waren sind q 01, q 02 und q t1, q t2 . Dann wäre Laspeyres Preisindex

Hier wurden die Grundjahresmengen der Waren als Gewichte ihrer Preise herangezogen. L gibt den Preisindex für das aktuelle Jahr an, wenn der Preisindex für das Basisjahr 1 ist. Wenn beispielsweise L = 1, 5 ist, erhalten wir den Preisindex für das aktuelle Jahr 1, 5, wenn der Preisindex für das Basisjahr 1 ist, dh die Preise im laufenden Jahr sind 50 Prozent mehr als im Basisjahr.

Laspeyers Preisindex kann auf andere Weise interpretiert werden. Der Zähler auf der rechten Seite von (6.140) gibt die Kosten des Warenkorbs des Basisjahres (q 01, q 02 ) zu den Preisen des aktuellen Jahres (p t1, p t2 ) und der Nenner die Kosten von an Kauf des gleichen Warenkorbs zu den Preisen des Basisjahres (S. 01, S. 02 ).

Auf diese Weise ergibt L = 1, 5, dass die Anschaffungskosten für den Warenkorb des Basisjahres im laufenden Jahr gegenüber dem Basisjahr um 50 Prozent gestiegen sind. Das heißt, die Preisindexnummer L des Laspeyre kann auch als Lebenshaltungskostenindexnummer des Laspeyre angesehen werden.

Kommen wir nun zu Paasches Preisindex, der das Verhältnis der Summe der aktuellen Jahrespreise zu den aktuellen Jahresmengen zu den Basisjahrpreisen zu den aktuellen Jahresmengen darstellt. Daher erhalten wir Paasches Preisindexnummer als

Hier wurden die Mengen der Waren im laufenden Jahr als Gewichte ihrer Preise herangezogen. Wie die Preisindexnummer von Laspeyre kann auch die Preisindexnummer von Paasche als Lebenshaltungskostenindexnummer von Paasche angesehen werden. Es gibt uns den prozentualen Anstieg der Anschaffungskosten des aktuellen Warenkorbs im aktuellen Jahr gegenüber dem Basisjahr.

Kommen wir nun zu den Gesamtausgaben des Verbrauchers im Basisjahr und im laufenden Jahr. Im Basisjahr beträgt sein Gesamtaufwand beispielsweise E 0 und er kauft die Mengen q 01 und q 02 zu Preisen p 01 und p 02 . Daher ist seine Haushaltslinie im Basisjahr

E 0 = p 01 q 01 + p 02 q 02 (6, 142)

In ähnlicher Weise beträgt seine Gesamtausgabe im laufenden Jahr beispielsweise E t und er kauft die Mengen q tI und q t2 zu den Preisen p t1 und p t2 . Daher ist seine Haushaltslinie im laufenden Jahr

Et = pt1qt1 + pt2qt2 (6, 143)

Da angenommen wird, dass Ausgaben gleich Einnahmen sind, gibt E t / E 0 den Index der Veränderung der Einnahmen des Verbrauchers im laufenden Jahr gegenüber dem Basisjahr an. Das heißt, der Index der Geldeinkommensänderung ist

Dies bedeutet, dass die Kosten des Basisjahrkorbs zu Preisen des laufenden Jahres geringer sind als die Ausgaben des laufenden Jahres. Mit anderen Worten, im laufenden Jahr könnte der Verbraucher den Korb für das Basisjahr kaufen, wenn er dies wünscht, aber er hat sich entschieden, diesen Korb nicht zu kaufen. Dies bedeutet, dass er den aktuellen Jahreskorb dem Basisjahrkorb vorzieht, dh im aktuellen Jahr ist er besser dran als im Basisjahr.

Dividieren Sie beide Seiten der Ungleichung (6.145) durch E 0, erhalten wir

Daher gibt (6.145) und (6.146) die Bedingung an, dass es dem Verbraucher in der aktuellen Periode über die Basisperiode besser geht. Betrachten wir nun den folgenden Fall:

Dies bedeutet, dass die Kosten des aktuellen Jahresbündels zu den Basisjahrpreisen geringer sind als die Basisjahrausgaben. Dies impliziert, dass der Verbraucher den aktuellen Jahreskorb möglicherweise im Basisjahr gekauft hat, diesen Korb jedoch nicht gekauft hat.

So bevorzugte er den Basisjahrkorb und war in der Basisperiode besser dran als in der aktuellen Periode. Mit anderen Worten, es geht ihm im laufenden Jahr schlechter als im Basisjahr. Teilen Sie beide Seiten von (6.147) durch E t

Aus diesem Grund gibt (6.147) und (6.148) die Bedingung an, dass es dem Verbraucher in der Basisperiode besser oder in der aktuellen Periode schlechter geht.

Aus (6.149) ergibt sich (6.150), dass die Kosten des Basisjahrkorbs zu Preisen des laufenden Jahres höher sind als die Ausgaben des laufenden Jahres. Daher steht dem Verbraucher der Basisjahrkorb im laufenden Jahr nicht zur Verfügung.

Das heißt, er kauft den aktuellen Jahreskorb nicht, weil er ihn dem Basisjahrkorb vorzieht, sondern weil er billiger ist. Daher können wir nicht sagen, dass es dem Verbraucher im laufenden Jahr besser geht als im Basisjahr.

Ebenso, wenn wir annehmen:

Aus (6.151) ergibt sich (6.152), dass die Kosten des Warenkorbs des laufenden Jahres im Basisjahr höher sind als die Einnahmen des Basisjahres. Daher kauft der Verbraucher den Basisjahreskorb im Basisjahr nicht, weil er ihn bevorzugt, sondern weil er billiger ist als der aktuelle Jahreskorb. Daher können wir hier nicht sagen, dass es ihm im Basisjahr im laufenden Jahr besser oder im laufenden Jahr im Basisjahr schlechter geht.

Wir haben oben festgestellt, dass es dem Verbraucher im laufenden Jahr besser geht als im Basisjahr, wenn E> L gemäß Bedingung (6.146). Wenn dagegen E <P ist, wie in (6.148) angegeben, ist der Verbraucher im Basisjahr besser dran als im laufenden Jahr.

Wir können die Indifferenzkurven des Verbrauchers verwenden, um diese Punkte zu veranschaulichen. Abb. 6.110 verdeutlicht den ersten Fall, dh dem Verbraucher geht es im laufenden Jahr besser als im Basisjahr.

Hier kauft der Verbraucher im laufenden Jahr zum Zeitpunkt C t in der Haushaltslinie des laufenden Jahres und im Basisjahr zum Zeitpunkt C 0 in der Haushaltslinie des Basisjahres. In Abb. 6.110 ist zu sehen, dass C t auf dem höheren IC, IC 2, und C 0 auf dem niedrigeren IC, IC 1, liegt .

In ähnlicher Weise zeigt Abb. 6.111 den zweiten Fall, dass es dem Verbraucher im Basisjahr besser geht als im laufenden Jahr. In dieser Fig. Ist zu sehen, dass C 0, das auf der Basisjahr-Budgetlinie liegt, auf einem höheren IC platziert ist, nämlich IC 2, und C t, das auf der aktuellen Jahr-Budgetlinie liegt, auf einem niedrigeren IC platziert ist, nämlich ., IC 1 .

Aus der obigen Analyse, insbesondere aus den Ungleichungen (6.146), (6.148), (6.150) und (6.152), lassen sich vier Fälle unterscheiden:

(i) E ist größer als sowohl L als auch P (E> L, E> P). Hier ist der Verbraucher um (6.146), dh E> L, im laufenden Jahr besser dran als im Basisjahr. Andererseits sinkt der Lebensstandard nach (6.152), dh E> P, im laufenden Jahr nicht. Daher ist der Einzelne in der aktuellen Periode definitiv besser dran.

(ii) E ist kleiner als sowohl P als auch L (E <P, E <L). Hier folgt aus (6.148), dass es dem Verbraucher im Basisjahr besser ginge, wenn E <P, und aus (6.150), dass es dem Verbraucher im aktuellen Zeitraum nicht besser ginge, wenn E <L. Wiederum erhalten wir eine eindeutige Antwort darauf, dass es dem Verbraucher in der Basisperiode besser gehen würde, wenn E <P und E <L, dh sein Lebensstandard fällt in der aktuellen Periode von dem in der Basisperiode ab.

(iii) L> E> P. Wenn L> E oder EP, dann können wir bis (6.152) nicht sagen, dass es ihm im Basisjahr besser gehen würde. Infolgedessen kann in diesem Fall keine endgültige Schlussfolgerung in Bezug auf eine Verbesserung oder Verschlechterung des Lebensstandards des Verbrauchers zwischen den beiden Zeiträumen gezogen werden.

(iv) P> E> L. Wenn P> E oder EL, dann erhöht sich der Lebensstandard des Verbrauchers im laufenden Jahr um (6.146), da er den Korb des laufenden Jahres dem des Basisjahres vorzieht.

Daher können wir auch in diesem Fall keine eindeutige Schlussfolgerung hinsichtlich einer Änderung des Wohlbefindens des Verbrauchers ziehen, und dies ist die Situation, in der das schwache Axiom der offenbarten Präferenztheorie verletzt wurde.

Diese Situation ist in Abb. 6.112 dargestellt. Here the base period budget line is P 0 P' 0 and the current period budget line is P 1 P' 1 . Let us suppose that the consumer chose R (q 01, q 02 ) on IC 1 when the budget line was P 0 P 0 'and T (q t1, q t2 ) on IC 2 when the budget line was P 1 P 1 '. Since LL' lies below P 1 P 1 ' and is parallel to it and since R is on LL' and T is on P 1 P 1 ', it must be true that expenditure at R at (p t1, p t2 ) must be less than that at T at (p t1, p t2 ), ie, we would have

Also, since the point T (q t1, q t2 ) is on MM' which is parallel to p 0 p 0 but lies below it, T has the same prices as p 0 p 0 ' but has less expenditure than the point R (q 01, q 02 ) which lies on P 0 P 0 ', ie, we have

Thus, we have P > E > L. But in this case, there is inconsistency. This is also obvious from Fig. 6.112. The consumer could have purchased T in the base period, since T lies below the base period budget line p 0 p 0 ', but he actually chose R, implying that he prefers R to T.

But in the current period, he could have had R, since R lies below the current period budget line P 1 P 1 ', but he chose T, implying that he prefers T to R.

This is inconsistent if his tastes remain unchanged between the base period and the current period, and the weak axiom of revealed preference is not complied with. This inconsistency is also reflected in the fact that the ICs through R and T, viz., IC 1 and IC 2, have not been obtained to be non-intersecting—they have intersected at the point S.

We have seen, therefore, that it is sometimes possible to determine whether the consumer's standard of living has increased or decreased by means of index number comparisons. However, there may be situations where we cannot arrive at any definite conclusions or where the results may be contradictory.

Beispiel 1 :

When two commodity baskets are purchased by the consumer at two different points in time, explain how price weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference.

Lösung:

We have to explain how price-weighted quantity indices may be used to verify the weak axiom of revealed preference. Let us suppose that in the base period '0', a consumer is observed to purchase the combination q 0 (q 01, q 02 ) of two goods Q 1 and Q 2 at the price set p 0 (p 01, p 02 ) and in the current period 't' he is observed to purchase the combination q t (q t1, q t2 ) of the goods at the price set p t (p t1, p t2 ).

Therefore, the costs of purchasing the combination q 0 at the price set p 0 and p t are

Again, the costs of purchasing the combination q t at the price set p 0 and p t are

In the base period, the consumer purchases the quantity set q 0 at the price set p 0 . If he happens to prefer q 0 to q t, then by definition, the cost of the quantity set q 02 must be less than, or, (at most) equal to that of purchasing q 0 at p 0, ie,

Since the left-hand side of (5) is, by definition, the Laspeyre's base year price weighted quantity index (L), we obtain the condition for q 0 at p 0 to be preferred by the consumer to q 0 at p 0 as

L ≤100 (6)

Again, in the current period, the consumer is observed to purchase the combination q t at price p t . However, if the weak axiom of revealed preference is to be satisfied then he must not prefer q t at p t to q 0 at p t . Therefore, we may conclude that he purchases q in the current period because it is cheaper than q 0, ie,

Since the left-hand side of (7) is by definition the Paasche's current year price weighted quantity index (P), we obtain the condition for p t at q t to be cheaper than p 0 at q t as

P < 100 (8)

(6) and (8) give us that the weak axiom of revealed preference would be satisfied if the Laspeyre's and Passche's quantity indices both are less than 100. Of course, L may be at most 100. Here 100 is the base period index numbers for both the formulas.

Beispiel 2:

A consumer is observed to purchase x 1 = 20, x 2 = 10 at the prices p 1 = 2 and p 2 = 6. He is also observed to purchase x 1 = 18 and x 2 = 4 at the prices p 1 = 3 and p 2 = 5. Is his behaviour consistent with the weak axiom of revealed preference?

Lösung:

From the given data, we obtain:

(i) The cost of the combination (x 1 = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 1 = 20×2 + 10×6 = 100

(ii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 2, p 2 = 6) is

E 2 = 18×2 + 4×6 = 60

(iii) The cost of (x 1 = 18, x 2 = 4) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 3 = 18×3 + 4×5 = 74

(iv) The cost of (x, = 20, x 2 = 10) at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5) is

E 4 = 20×3 + 10×5= 110

From above, it is obtained that the consumer buys the first set of goods, (20, 10), not because it is cheaper than the second set but because he prefers it to the second set, since the cost of the former, E 1 = 100, is greater than the cost of the latter, ie, E 2 = 60.

However, when he purchases the second set, not the first one, at the prices (p 1 = 3, p 2 = 5), he does this because it is cheaper than the first set, not because he prefers this set to the first set, since the cost of the second set, ie, E 3 = 74, is less than that of the first set, ie, E 4 = 110.

Therefore, the consumer's behaviour is consistent with the weak axiom of revealed preference.

Convexity and Concavity :

Convex and Concave Functions :

Let us refer to Fig. 6.113. A function f (x) represented by the curve ABCDE, is convex over the interval (a, b) if we have

In Fig. 6.113, point S has divided the line segment BD in the ratio 1 – λ: λ. Therefore, the x and y coordinates of point S are

OT = λx 1, +(1 -λ)x 2

and ST = λf(x 1 ) + (1 -λ)f(x 2 )

The function f(x) is said to be strictly convex over the interval (a, b) if strict inequality holds in (6.153) for all 0 < λ < 1.

Let us again refer to Fig. 6.113. A function f(x), now represented by the curve FBGDH is concave over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≥ λf(x 1 ) + (1 – λ)f(x 2 ) (6.154)

and the function is strictly concave if strict inequality holds in (6.154) for 0 < λ < 1.

Quasi-convex and Quasi-Concave Functions:

By definition, a function f(x) is quasi-convex over the interval (a, b) if we have

f [λx 1 + (1 -λ)x 2 ] ≤ max [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.155)

for all x 1 and x 2 in the interval and all 0 ≤ λ ≤ 1. The function f(x) is strictly quasi-convex if strict inequality holds in (6.155) for 0 < λ < 1.

In Fig. 6.114, the curve A'BC'DE' represents, by definition, a quasi-convex function over the interval (a, b).

Let us now come to quasi-concavity. A function f(x) is quasi-concave over an interval (a, b) if we have

f[λx 1 + (1 – 1 )x 2 ] ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )] (6.156)

for all x 1 and x 2 in the interval (a, b) and for all 0 ≤ λ ≤ 1. The function is strictly quasi-concave if strict inequality holds in (6.156) for 0 < λ < 1. In Fig. 6.114, the curve F'BG'DH' represents, by definition, a quasi-concave function over the interval (a, b).

At the end of our discussion of convex and concave curves, let us note that, as per the definitions, a convex function is also quasi-convex for the former also satisfies (6.155), but a quasi-convex function cannot be a convex function for it does not satisfy (6.153). Similarly, a concave function is also quasi-concave for it satisfies also (6.156), but a quasi-concave function cannot be concave for it does not satisfy (6.154).

Geometrical Illustrations :

From our discussions above we obtain the following with illustrations in Fig. 6.113:

(i) The curve, ABCDE, representing a function, f (x), is convex over a certain interval (a, b) if the line segment, BD, joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or above the curve; and if the line segment lies throughout above the curve, it is said that the function is strictly convex.

(ii) On the other hand, a function f(x), viz., FGDH, is concave over a certain interval (a, b) if the line segment joining any two points, B and D, on the function in the said interval lies on or below the curve; and if the line segment lies throughout below the curve, it is said that the function is strictly concave.

We also obtain the following with illustrations in Fig. 6.114.

(iii) A function f(x), viz., A'BC'DE', is quasi-convex over a certain range between x = a and x = b, if at any x = h in the range, we have f(h) ≤ max [f(a), f(b)], and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-convex.

It may be noted that a convex function is also quasi-convex, but a quasi-convex function cannot be convex, for some quasi-convex functions, like A'BC'DE', may lie above the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a convex function cannot.

(iv) Lastly, a function f(x), like F'BG'DH', is quasi-concave over a certain range between x = x 1 and x = x 2, if at any x = h in the range, we have f(h) ≥ min [f(x 1 ), f(x 2 )]; and if the strict inequality holds, the function is said to be strictly quasi-concave. It may be noted here that a concave function is also quasi-concave.

But a quasi-concave function cannot be concave, for some quasi-concave functions, like F'BG'DH', may lie below the line segment joining the points on the function at x = x 1 and x = x 2, which a concave function cannot.

Utility Function for Strictly Convex Indifference Curves :

Our question here is what types of utility function will produce strictly convex indifference curves (ICs) and thus satisfy the second-order condition. Two functions that may be accepted as such utility functions have been shown in Fig. 6.115. Part (a) of the Fig. 6.115 gives us a smooth strictly concave function.

Because of the assumption of positive marginal utilities, we have only shown the ascending portion of the dome-shaped surface. When this surface is cut with a plane parallel to the xy-plane, we obtain for each such cut a curve which will become a strictly convex downward sloping IC with respect to the xy-plane.

Strict concavity in a smooth utility function is, therefore, sufficient to fulfill the second-order condition (SOC) for utility-maximisation. However, if we examine part (b) of Fig. 6.115, it would be evident that strict concavity is not necessary for the SOC. This is because the strictly convex ICs can also be obtained from the utility function given in part (b) of the figure, which is not strictly concave—in fact, not even concave.

The function in Fig. 6.115 is generally shaped like a bell. Of course, we have shown here only the ascending portion of the bell. The surface of this function is called strictly quasi-concave.

The geometric property of this function is that, for any pair of distinct points u and v in its domain, if the line segment uv (which is assumed to lie entirely in the domain) gives rise to the arc MN on the surface, and if M is lower than or equal in height to N, then all the points on arc MN other than M and N must be higher than M.

[Algebraically, a function f is said to be strictly quasi-concave if, for any two distinct points in its domain like u and v, and for all values of λ, 0 < λ < 1, we would have:

The quasi-concavity of the function in Fig. 6.115 may be verified by examining such arcs as MN (N higher than M) and M'N' (M' and N' being of equal height). We have to note here that in the case of arc M'N', it is the dotted arch that lies directly above the line segment u V, not the solid curve, which possesses the property of a quasi-concave function.

The interesting thing, however, is that the strictly concave function in Fig. 6.115(a) is also strictly quasi-concave.

From what we have obtained, we may conclude that only a smooth, increasing, strictly quasi-concave utility function would generate strictly convex ICs. Such a function may have convex as well as concave portions, as shown in Fig. 6.115(b) so that the marginal utilities may be either increasing or diminishing.

From this it follows that strict convexity of ICs does not imply diminishing MUs. However, if we accept the stronger assumption of a strictly concave utility function, then we may have the features of both diminishing MU and strictly convex ICs at the same time.

 

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