Pareto-Optimalität: Bedingungen und Zusammensetzung

In diesem Artikel werden wir diskutieren über: 1. Einführung in die Pareto-Optimalität 2. Effizienz in der Produktion 3. Pareto-Optimalität in der Produktion und perfekter Wettbewerb 4. Effizienz im Verbrauch oder Austausch 5. Pareto-Optimalität im Verbrauch oder Austausch und perfekter Wettbewerb 6. Pareto Optimalitätsbedingungen, wenn die externen Effekte vorhanden sind und andere Details .

Inhalt:

  1. Einführung in die Pareto-Optimalität
  2. Effizienz in der Produktion
  3. Pareto-Optimalität in der Produktion und perfekter Wettbewerb
  4. Effizienz in Verbrauch oder Austausch
  5. Pareto-Optimalität beim Konsum oder Tausch und perfekter Wettbewerb
  6. Pareto-Optimalitätsbedingungen, wenn die externen Effekte vorhanden sind
  7. Effizienz bei der Verteilung der Faktoren auf die Waren oder Effizienz bei der Produktmischung oder der Zusammensetzung der Produktion
  8. Pareto-optimale Zusammensetzung der Ergebnisse und perfekter Wettbewerb


1. Einführung in Pareto Optimality:

Das Wohlergehen einer Gesellschaft hängt im weitesten Sinne von der Zufriedenheit aller ihrer Verbraucher ab. Aber fast jede Veränderung des wirtschaftlichen Zustands der Gesellschaft wird sich positiv auf einige Mitglieder und negativ auf andere auswirken.

Die Bewertung eines solchen sozialen Wandels ist nur dann möglich, wenn der Ökonom bereit ist, einen zwischenmenschlichen Vergleich der Nützlichkeit mit einem Werturteil anzustellen, zu dem er möglicherweise nicht bereit ist. Vielmehr wird er bereit sein, solche Veränderungen zu bewerten, wenn es mindestens einer Person besser und keiner schlechter ergangen ist.

Der italienische Wirtschaftswissenschaftler Vilfredo Pareto (1848-1923) sagte, dass, wenn eine Änderung des Wirtschaftszustands mindestens einen Einzelnen besser macht, ohne jemanden schlechter zu machen, die Änderung der Verbesserung der sozialen Wohlfahrt dient, dh die Änderung wünschenswert ist. In diesem Fall sagen wir, dass der Anfangszustand Pareto-nicht-optimal war.

Auf der anderen Seite, wenn eine Veränderung niemanden besser und wenigstens einen schlechter macht, was impliziert, dass die Veränderung die Gesellschaft schlechter machen wird, dann ist der anfängliche Wirtschaftszustand aus der Sicht des Wohlstands pareto-optimal.

Daher kann das Pareto-Optimalitätskriterium folgendermaßen angegeben werden:

Eine Situation, in der es unmöglich ist, jemanden zu verbessern, ohne jemanden zu verschlechtern, wird als paretooptimal oder paretoeffizient bezeichnet.

Offensichtlich vermeidet das Konzept der Pareto-Optimalität einen zwischenmenschlichen Vergleich des Nutzens. Da die meisten Regierungsstrategien Veränderungen im Wirtschaftszustand beinhalten, von denen einige Menschen profitieren und andere sich unwohl fühlen, ist es offensichtlich, dass das Konzept der Pareto-Optimalität in der realen Welt nur begrenzt anwendbar ist.

Pareto-Optimalitätsbedingungen:

Um in einer Volkswirtschaft eine paretoeffiziente Situation zu erreichen, müssen drei Randbedingungen erfüllt sein.

Diese sind:

i) Grundvoraussetzung für die Effizienz bei der Aufteilung der Faktoren auf die Unternehmen (Effizienz in der Produktion);

(ii) Randbedingung für die Effizienz der Verteilung von Waren unter den Verbrauchern (Effizienz des Verbrauchs); und

(iii) Grenzbedingung für die Effizienz bei der Verteilung der Faktoren auf die Waren (Effizienz im Produktmix oder bei der Zusammensetzung der Produktion).

Annahme:

Um diese drei Randbedingungen für das Erreichen der Pareto-Optimalität abzuleiten, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass es nur zwei Verbraucher (I und II) gibt, zwei Produktionsfaktoren (X 1 und X 2 ). und zwei Waren (Q 1 und Q 2 ), dh unser Modell wäre hier ein 2 x 2 x 2 Modell.


2. Effizienz in der Produktion:

Wenn wir davon ausgehen, dass es sich bei den Konsumgütern um „mehr ist besser“ handelt und keine externen Effekte im Konsum vorhanden sind, kann dies zu einer Erhöhung der Produktionsmenge von mindestens einem Konsumgut führen, ohne dass die Menge eines anderen verringert wird zu einer Verbesserung des Gebrauchsniveaus von mindestens einem Verbraucher ohne Gebrauchsminderung für andere.

Für die Pareto-Optimalität in der Produktion ist es daher erforderlich, dass das Produktionsniveau jedes Konsumguts angesichts des Produktionsniveaus aller anderen Konsumgüter maximal ist.

Wir können die Randbedingung für die Pareto-Effizienz in der Produktion mit Hilfe von Abb. 21.1 ableiten, die als Edge-worth-Box-Diagramm bezeichnet wird. Die Abmessungen des Rechtecks ​​in Abb. 21.1 geben die verfügbaren Gesamtmengen und x0 2 der Eingaben X 1 und X 2 an, die alle zur Herstellung der Konsumgüter Q 1 und Q 2 verwendet würden .

Jeder Punkt in der Box repräsentiert eine bestimmte Zuordnung der Inputs über die Produktion der beiden Güter.

Wenn zum Beispiel die Zuordnung der Eingaben durch den Punkt B gegeben ist, werden die Mengen von X 1 und X 2, die bei der Herstellung des Gutes Q 1 verwendet werden, durch die Koordinaten von B in Bezug auf den Ursprung O und die Mengen von gemessen X 1 und X 2, die bei der Herstellung von gutem Q 2 verwendet werden, werden durch die Koordinaten von Punkt B in Bezug auf den Ursprung O 'gemessen.

Die Isoquanten (IQ) -Karten für Waren Q und Q 2 sind in Abb. 21.1 unter Bezugnahme auf die Ursprungspunkte O bzw. O 'angegeben.

Nun, die Randbedingung für die Pareto-Effizienz in der Produktion wäre gegeben, wenn wir die Ausgabe von gutem Q 1 bei einem gegebenen Ausgabepegel von gutem Q 2 maximieren würden. Eine solche Maximierung würde an einem Punkt der Tangentialität zwischen den IQs für die beiden Waren auftreten.

Beispielsweise würde eine Maximierung der Ausgabe von Q 1 abhängig von der Menge von Q 2, wie sie durch IQ3 gegeben ist, am Tangentenpunkt S zwischen den IQs für die Waren auftreten. In ähnlicher Weise würde eine Maximierung der Ausgabe von Q 2 abhängig von der Menge von Qi, wie sie durch IQ 3 gegeben ist, an dem Punkt der Tangentialität R zwischen den IQs für die zwei Waren auftreten.

Am Tangentialpunkt zwischen den IQs für die beiden Güter haben wir jedoch eine numerische Steigung von IQ für gutes Q 1 = eine numerische Steigung von IQ für gutes Q 2

MRTS X1, X2 oder bei der Herstellung von Q 1 = MRTS X1, X2 bei der Herstellung von Q 2 (21.1)

Somit ist die Randbedingung für die Pareto-Effizienz in der Produktion durch (21.1) gegeben, die besagt, dass die Grenzrate der technischen Substitution (MRTS) zwischen den beiden Inputs bei der Produktion der beiden Waren gleich sein sollte.

Aus den obigen Ausführungen ist ersichtlich, dass der Pareto-Effizienzpunkt in der Produktion notwendigerweise ein Tangentialpunkt zwischen den IQs für die beiden Waren sein muss. Wenn wir alle Tangentialpunkte zwischen den IQs für die beiden Waren durch eine Kurve verbinden, erhalten wir die sogenannte Edge-worth-Vertragskurve für die Produktion, die wir durch CCP bezeichnen würden. Die KPCh würde vom Punkt O zum Punkt O 'in Abb. 21.1 laufen.

Wir haben dann herausgefunden, dass alle Punkte auf der KPCh paretoeffiziente Punkte in der Produktion sind. Das heißt, wenn wir uns irgendwann in der KPCh befinden, können wir durch eine Änderung der Verteilung der Vorleistungen keine Steigerung der Produktion einer der Waren mehr bewirken, ohne die Menge der anderen zu verringern.

Andererseits ist jeder Punkt wie B in Abb. 21.1, der nicht auf der KPCh liegt und die Bedingung (21.1) nicht erfüllt, pareto-nicht-optimal. Am Punkt B sind wir auf IQ 2 für gutes Q 1 und auf IQ ' 2 für gutes Q 2 .

Wenn jedoch nach einer Umverteilung der Ressourcen die Wirtschaft irgendwann auf der KPCh zwischen R und S ankommt, wären die Mengen beider Güter größer, und wenn die Wirtschaft gerade an dem Punkt R oder S ankommt, dann die Die Menge der einen Ware wäre größer und die der anderen Ware würde gleich bleiben.

Dies zeigt, dass jeder Punkt B, der nicht auf der KPCh liegt, pareto-nicht-optimal ist und durch eine Neuverteilung der Ressourcen zumindest dann, wenn die Wirtschaft auf einen Punkt im Segment RS der KPCh gebracht wird eine der Waren würde in größerer Menge hergestellt, die andere gleichbleibend.

Wir haben gesehen, dass alle Punkte der KPCh pareto-optimal sind. Wir können jedoch keine zwei Punkte, z. B. R und S, in Bezug auf die KPCh vergleichen, denn wenn sich die Wirtschaft von S nach R bewegt, würde der Output von Q 1 zunehmen und der von Q 2 abnehmen, was für einige Menschen Vorteile und Nachteile mit sich bringt für einige andere, und da ein zwischenmenschlicher Vergleich des Nutzens ausgeschlossen ist, können wir die Punkte R und S nicht vergleichen.

Mathematische Herleitung der Bedingungen :

Wir können auch mathematisch die Randbedingung für die Pareto-Effizienz in der Produktion ableiten.

Angenommen, die Produktionsfunktionen für die Waren Q 1 und Q 2 lauten:

q 1 = q 1 (x 11, x 12 )

und q 2 = q 2 (x 21, x 22 ) (2, 12)

wobei q 1 und q 2 die Produktionsmengen der Waren Q 1 und Q 2 sind, x 11 und x 12 die Mengen der bei der Produktion von Q 1 verwendeten Eingänge X 1 und X 2 sind und x 21 und x 22 die Mengen sind dieser Inputs werden für die Produktion von gutem Q 2 verwendet .

Da die insgesamt verfügbaren Mengen der beiden Eingänge x0 1 und x0 2 sind, können wir schreiben:

Gemäß den Anforderungen der Pareto-Optimalität können die Wirkungsgradbedingungen abgeleitet werden, wenn wir q 1 gemäß (21.2) maximieren, vorbehaltlich:

wobei q0 2 eine gegebene Menge an gutem Q 2 ist .

Die relevante Lagrange-Funktion für dieses eingeschränkte Maximierungsproblem ist:

Die erste Ordnung oder die notwendigen Bedingungen für das Maximum von q 1 vorbehaltlich von q 2 = q0 2 sind:

Die Paretoeffizienzbedingung (21.1) oder (21.7) besagt, dass die verfügbaren Mengen der beiden Inputs X 1 und X 2 so auf die Produktion der beiden Güter Q 1 und Q 2 verteilt werden sollten, dass die MRTS zwischen den Eingaben kann bei der Herstellung der beiden Waren gleich sein.

Wir können nun anhand eines einfachen Beispiels sehen, warum die Bedingung (21.7) für die Effizienz von Pareto in der Produktion notwendig ist. Nehmen wir an, dass bei der Herstellung von Q 1 MRTS X1 x 2 = 2 und bei der Herstellung von Q 2 MRTS X1 x 2 = 1 ist

Das heißt, das MRTS ist bei der Herstellung der beiden Waren nicht dasselbe.

Von oben folgt, dass wir bei der Herstellung von Q 1 2 Einheiten von X 2 durch 1 Einheit von X 1 ersetzen und die Ausgabe von Q 1 konstant halten können. In ähnlicher Weise können wir 1 Einheit X 1 für 1 Einheit X 2 bei der Erzeugung von Q 2 einsetzen und die Ausgabe von Q 2 konstant halten. Wir müssen also nur 1 Einheit X 1 aus der Produktion von Q 2 entnehmen und für die Produktion von Q 1 verwenden .

Dadurch werden 2 Einheiten X 2 aus der Produktion von Q 1 freigesetzt, von denen 1 Einheit in die Produktion von Q 2 überführt werden kann, um die Ausgabe auf dem ursprünglichen Niveau zu halten. Wenn wir dies alles tun, würde die Ausgabe von Q 1 und Q 2 unverändert bleiben, und dennoch bleibt uns eine zusätzliche Einheit von X 2 übrig. Wir können diese Einheit bei der Herstellung von Q 1 (oder Q 2 ) verwenden und mehr von Q 1 (oder Q 2 ) erhalten. Somit wird eine Ausgabe erhöht, ohne die andere Ausgabe zu verringern.

Das obige Beispiel zeigt, dass, wenn die MRTS X1, X2 bei der Herstellung der beiden Waren nicht gleich sind, wenn MRTS bei der Herstellung von Q 2 beispielsweise niedriger ist als bei der Herstellung von Q 1 ; dann müssen wir die Randeinheit der Eingabe X 1 aus der Produktion von Q 2 entfernen und sie in die Produktion von Q 1 übertragen, wo die MRTS X1, X2 höher sind, und im Austausch die Eingabe X 2 aus dem Feld entfernen .

Wenn wir den Prozess fortsetzen, würde das MRTS bei der Produktion von Q 2 steigen, wenn die Menge von X 1 fällt, und das MRTS bei der Produktion von Q 1 würde fallen, wenn die Menge von X 1 zunimmt, und wie wir gesehen haben, die Zuordnung wird im pareto-Sinne besser.

Wenn wir also die pareto-effiziente Situation erreichen wollen, müssen wir den Prozess fortsetzen, bis das MRTS bei der Herstellung der beiden Waren gleich wird. Wenn nämlich das MRTS bei der Herstellung beider Waren gleich wird, kann keine weitere Neuzuteilung die Produktion mindestens einer der Waren steigern, ohne die Produktion der anderen Ware zu verringern.

Um dies zu verstehen, nehmen wir an, dass die MRTS zwischen den beiden Eingaben bei der Produktion der beiden Waren gleich und gleich 4 sind. In diesem Fall nehmen wir 1 Einheit X von der Produktion von Q 2 weg und übertragen Sie es auf die Produktion von Q 1, diese würde im Austausch 4 Einheiten X 2 freisetzen, so dass der Ausgangspegel von Q 1 konstant bleiben könnte.

Diese 4 Einheiten X 2 sollten in die Produktion von Q 2 überführt werden, da dort die MRTS 4 beträgt, und wenn 4 Einheiten X 2 für die Produktion von Q 2 im Austausch gegen 1 Einheit X 1 verwendet werden sollen, die Das Ausgangssignal von Q 2 würde unverändert auf dem Ausgangspegel bleiben.

Durch eine Umverteilung der Ressourcen ist es uns daher nicht gelungen, die Produktion mindestens einer Ware zu steigern. Im Gegenteil, eine Neuverteilung der Vorleistungen würde die Ausgangsleistungen der beiden Waren unverändert auf ihren ursprünglichen Mengen halten.


3. Pareto-Optimalität in der Produktion und perfekter Wettbewerb :

Pareto-Optimalität in der Produktion ist bei perfektem Wettbewerb garantiert. Denn bei perfektem Wettbewerb werden die Preise r 1 und r 2 der beiden Inputs X 1 und X 2 an die Firmen vergeben, die die Waren Q 1 und Q 2 herstellen, und jede gewinnmaximierende Firma entspricht dem MRTS X1 . x 2 zum Verhältnis der Preise der Inputs.

Das heißt, für den Produzenten von Q 1 erhalten wir:

Aus (21.8) erhalten wir:

MRTS x1, x2 bei der Herstellung von Q 1 = MRTS x1, x2 bei der Herstellung von Q 2 (21.9)

Da Bedingung (21.9) mit Bedingung (21.7) identisch ist, ist Pareto-Effizienz in der Produktion eine Gewissheit bei perfektem Wettbewerb.

Wir können nun eine grafische Lösung von Gleichung (21.7) oder (21.9) für die Zuordnung von Eingaben X 1 und X 2 über die Produktion von Gütern Q 1 und Q 2 und für die produzierten Mengen von Q 1 und Q 2 erhalten . Die Erfüllung der Randbedingung (21.7) oder (21.9) ist bei einwandfreiem Wettbewerb gewährleistet.

Nehmen wir an, dass auf den Wettbewerbsmärkten die Preise der Vorleistungen mit r 1 und r 2 angegeben werden . Zeichnen wir nun eine Gerade ST der Steigung - r 1 / r 2 durch den Punkt O 'in Abb. 21.1 und heben den Punkt e auf der Kontraktkurve für die Produktion (CCP) auf, an dem die gemeinsame Steigung der Isoquanten lag gleich der Steigung der Linie ST. Das heißt, am Punkt e haben wir numerische Steigungen der IQs von zwei Individuen = die numerische Steigung der Linie ST = r 1 / r 2

Das heißt, am Punkt e in Abb. 21.1 ist die Randbedingung für die Effizienz der Produktion erfüllt. Zu diesem Zeitpunkt würden die Mengen der beiden Eingänge x0 11 und x0 21 bei der Herstellung von Q 1 verwendet, und diese Mengen würden, wenn sie in der Produktionsfunktion für Q 1 eingesetzt würden, würde uns die Ausgangsgröße von geben. In ähnlicher Weise würden Mengen der beiden Eingänge x0 21 und x0 22 bei der Erzeugung von Q 2 verwendet und der Ausgang hier wäre q0 2 .


4. Effizienz beim Verbrauch oder Austausch :

Eine Aufteilung der gegebenen Mengen der beiden Waren Q 1 und Q 2 auf zwei Verbraucher I und II wird als paretoeffizient bezeichnet, wenn es durch eine Umverteilung dieser Waren nicht möglich ist, den Nutzen eines Einzelnen zu erhöhen, ohne ihn zu verringern der Nutzen des anderen.

Die Randbedingung für die Effizienz beim Verbrauch oder Austausch kann mit Hilfe des in Abb. 21.2 dargestellten Edgeworth-Box-Diagramms abgeleitet werden. Die Abmessungen des Rechtecks ​​in Abb. 21.2 geben die insgesamt verfügbaren Mengen q0 1 und q0 2 der beiden Güter in einer reinen Tauschwirtschaft wieder.

Jeder Punkt in der Box repräsentiert eine bestimmte Verteilung der Waren zwischen den beiden Verbrauchern. Wenn zum Beispiel die Verteilung der Waren durch Punkt A gegeben ist, werden die Mengen von Q 1 und Q 2, die vom Verbraucher I verbraucht werden, durch die Koordinaten von A in Bezug auf den Ursprung O gemessen, und die Mengen der beiden von II verbrauchten Waren sind gemessen durch die Koordinaten von A bezogen auf den Ursprung O '.

Die Indifferenzkarte des Verbrauchers I wurde mit dem Ursprung O und die von II mit dem Ursprung O 'versehen.

Die Grenzbedingung für die Pareto-Effizienz beim Konsum oder Tausch wäre nun gegeben, wenn wir den Nutzwert von Verbraucher I oder II unter Berücksichtigung des gegebenen Nutzwerts von Verbraucher II oder I maximieren würden Kurven (ICs) der beiden Verbraucher. Zum Beispiel würde eine Maximierung des Nutzens von Verbraucher I, die dem Nutzenniveau von II unterliegt, wie es durch IC 1 von Verbraucher II gegeben ist, an dem Tangentialpunkt E zwischen den ICs von zwei Verbrauchern auftreten.

In ähnlicher Weise würde eine Maximierung des Nutzens des Verbrauchers II, die dem Nutzenniveau von I unterliegt, wie es durch den IC 3 des Verbrauchers I gegeben ist, an dem Tangentialpunkt F zwischen den ICs der beiden Verbraucher auftreten. Es kann daher hinzugefügt werden, dass das Austauschgleichgewicht nicht eindeutig ist.

An dem Tangentialpunkt zwischen den ICs der beiden Verbraucher haben wir nun die numerische Steigung des IC des Verbrauchers I = die numerische Steigung des IC des Verbrauchers II

=> MRS Q1, Q2 des Verbrauchers I = MRS Q1, Q2 des Verbrauchers II (21.11)

Somit ist die Randbedingung für die Pareto-Effizienz beim Verbrauch durch (21.11) gegeben. Aus den obigen Ausführungen ist ersichtlich, dass jeder Tangentialpunkt zwischen den ICs von zwei Verbrauchern ein Pareto-Effizienzpunkt ist. Wenn wir alle diese Tangentialpunkte durch eine Kurve in Abb. 21.2 verbinden, erhalten wir die sogenannte Edgeworth-Kontraktkurve für Verbrauch oder Austausch (CCC oder CCE), die vom Punkt O zum Punkt O 'verlaufen würde.

Daher sind alle Punkte auf der Vertragskurve, bei denen (21.11) erfüllt ist, paretoeffiziente Verbrauchspunkte. Denn wenn wir uns in Abb. (21.2) irgendwann auf der Vertragskurve befinden, können wir durch eine Änderung der Warenverteilung keine Verbesserung des Nutzens eines Verbrauchers bewirken, ohne den Nutzens von zu verringern das andere.

Lassen Sie uns daher noch einmal bemerken, dass der Punkt der Pareto-Effizienz im Austausch nicht eindeutig ist. Andererseits ist jeder Punkt wie A, der nicht auf der Kontraktkurve liegt und nicht erfüllt (21.11), pareto-nicht-optimal. Bei Punkt A befindet sich Verbraucher I auf seinem IC 2 und Verbraucher II auf seinem IC 2 .

Wenn jedoch nach einer Umverteilung der Waren die Verbraucher irgendwann auf die Kontraktkurve zwischen E und F gebracht werden, dann würden beide Verbraucher davon profitieren, wenn beide von ihnen jetzt höhere ICs erreichen würden, und wenn sie nur auf die Kontraktkurve zwischen E und F gebracht würden Punkt E oder F, dann profitiert einer von ihnen, während der Nutzwert des anderen gleich bleibt.

Dies zeigt, dass jeder Punkt A, der nicht auf der CCE liegt, pareto-nicht-optimal ist und durch eine Umverteilung der Waren, wenn wir die Verbraucher auf das EF-Segment der CCE bringen, dann würde mindestens einer von ihnen Nutzen, der Nutzwert des anderen bleibt gleich.

Wir haben gesehen, dass alle Punkte auf der Kontraktkurve paretoeffizient sind. Wir können die Punkte auf der Vertragskurve jedoch nicht vergleichen, da dies einen zwischenmenschlichen Vergleich des Nutzens mit sich bringt, was ohne eine ausdrückliche Wertbeurteilung nicht möglich ist.

Mathematische Herleitung der Bedingungen :

Wir können auch mathematisch die Randbedingung für die Pareto-Effizienz beim Verbrauch ableiten oder Exchange. Nehmen wir an, die Nutzfunktionen der beiden Verbraucher I und II sind

u 1 = u 1 (q 21, q 12 )

und u 2 = u 2 (q 21, q 22 ) (21.12)

Wobei q 11 und q 12 die Mengen von Q 1 und Q 2 sind, die vom Verbraucher I verbraucht werden, und q 21 und q 22 die Mengen der beiden Waren sind, die vom Individuum II verbraucht werden.

Wenn und q 2 die angegebenen Mengen der beiden Waren sind, dann haben wir:

q 11 + q 21 = q0 1

und q12 + q22 = q02 (21, 13)

Aus (21.12) geht hervor, dass der Nutzungsgrad eines jeden Verbrauchers nur von den von ihm verbrauchten Mengen abhängt und nicht von den von dem anderen verbrauchten Mengen. Es wurde hier angenommen, dass externe Effekte nicht vorhanden sind.

Paretoeffizienz beim Verbrauch impliziert, dass u 1 bei gegebenem u 2 = u0 2 oder umgekehrt maximiert wird. Bilden wir dann die relevante Lagrange-Funktion V für die beschränkte Maximierung von u 1 als

V = u 1 (q 11, q 12 ) + λ [u 2 (q 2 (q 21, q 22 ) -uO 2 ] (21, 14)

wobei λ der Lagrange-Multiplikator ist.

Nun sind die Bedingungen erster Ordnung für die beschränkte Maximierung von u 1 vorbehaltlich von u 2 = u0 2 :

Die Paretoeffizienzbedingung (21.11) oder (21.16) gibt uns vor, dass die angegebenen Mengen der beiden Waren auf die beiden Verbraucher so verteilt werden sollten, dass die MRS zwischen den Waren für die beiden Verbraucher gleich sein kann.

Wir können nun anhand eines einfachen Beispiels sehen, warum die Bedingung (21.11) für die Effizienz des Pareto-Verbrauchs erforderlich ist.

Nehmen wir an, dass:

für Individuum I => MRS Q1, Q2 = 2 und

für Individuum II => MRS Q1, Q2 = 1

Das heißt, die MRS ist nicht für beide Personen gleich.

Dies bedeutet, dass Individuum I bereit ist, 2 Einheiten von Q 2 auszutauschen, um 1 Einheit von Q 1 zu erhalten, und Individuum II bereit ist, 1 Einheit von Q 2 auszutauschen, um 1 Einheit von Qi zu erhalten. In einem solchen Fall, in dem die MRS für die beiden Personen nicht gleich ist, können wir die Waren umverteilen, um mindestens eine davon zu verbessern, ohne dass der andere Verbraucher schlechter gestellt wird.

Was wir hier tun müssen, ist, 1 Einheit Q 1 von Verbraucher II wegzunehmen und es I zu geben, der uns 2 Einheiten Q 2 im Austausch geben wird. Nun geben wir eine dieser Einheiten an B weiter, um seinen Gebrauchswert konstant zu halten - er möchte 1 Einheit Q 2, um 1 Einheit Q 1 aufzugeben.

Aber wir haben jetzt noch 1 Einheit Q 2 übrig. Wir können es entweder I oder II geben und so entweder I oder II verbessern, ohne dass es der anderen Person schlechter geht. Somit war die anfängliche Zuordnung nicht effizient.

Das obige Beispiel zeigt uns, dass wir, wenn die MRS der beiden Individuen nicht gleich sind, wenn die MRS von II beispielsweise niedriger ist als die von I, die Randeinheit von gutem Q von Individuum II wegnehmen und geben müssen es an mich, dessen MRS höher ist, und ihm im Gegenzug gute Q 2 wegnehmen.

Wenn wir den Prozess fortsetzen, würde die MRS von II ansteigen, wenn die Menge von Q 1 mit ihm abnimmt, und die MRS von I würde abnehmen, wenn die Menge von Q 1 mit ihm zunimmt, und wie wir gesehen haben, wird die Verteilung in besser der Pareto-Sinn. Wenn wir also die pareto-effiziente Situation erreichen wollen, müssen wir den Prozess fortsetzen, bis die MRS der beiden Personen gleich ist.

Denn wenn die MRS der beiden Personen gleich sind, kann keine weitere Umverteilung mindestens einer von ihnen Gutes tun, ohne die andere zu schädigen. Um dies zu verstehen, nehmen wir an, dass die MRS beider Personen gleich und gleich 4 ist.

Wenn wir in diesem Fall 1 Einheit Q 1 von Verbraucher II wegnehmen und an Verbraucher I weitergeben, würde dieser uns 4 Einheiten Q 2 als Gegenleistung geben, um sein Gebrauchsniveau aufrechtzuerhalten. Wenn wir nun diese 4 Einheiten an Individuum II weitergeben, würde sein Nutzen die anfängliche Ebene annehmen. Das heißt, durch eine Umverteilung der Waren ist es uns nicht gelungen, den Nutzungsgrad mindestens einer der Personen zu verbessern. Im Gegenteil, eine Umverteilung der Waren würde die Individuen auf ihrem anfänglichen Gebrauchsniveau halten.


5. Pareto-Optimalität beim Konsum oder Tausch und perfekter Wettbewerb:

Es kann leicht gezeigt werden, dass Pareto-Optimalität beim Verbrauch automatisch bei perfektem Wettbewerb erreicht wird. Bei perfektem Wettbewerb werden die Preise P 1 und P 2 der beiden Waren an die Verbraucher vergeben, und jeder verbrauchsmaximierende Verbraucher setzt seine MRS von Q 1 für Q 2 dem Verhältnis der Warenpreise gleich.

Das heißt, für Verbraucher I erhalten wir:

Dies ist nichts anderes als die Pareto-Effizienzbedingung (21.16) oder (21.11).

Ein perfekter Wettbewerb garantiert somit eine pareto-effiziente Verteilung der Waren an die Verbraucher.


6. Pareto-Optimalitätsbedingungen bei Vorhandensein äußerer Effekte:

Die Randbedingung für eine paretoeffiziente Aufteilung gegebener Mengen zweier Güter (Q 1 und Q 2 ) auf die beiden Individuen (I und II) gemäß (21.18) wurde unter der Annahme von Externalitäten im Konsum erhalten fehlen.

Wir werden nun sehen, dass sich die Pareto-Optimalitätsbedingung beim Konsum im Allgemeinen von der Randbedingung unterscheidet (21.18), wenn die externen Effekte vorhanden sind.

Nehmen wir an, dass die externen Effekte im Konsum in dem Sinne vorhanden sind, dass der Nutzen eines Verbrauchers auch vom Konsum eines anderen abhängt.

Nehmen wir an, die beiden Nutzfunktionen der Verbraucher sind gegeben durch:

Eine pareto-Optimalität wird erreicht, wenn u 1 bei einem gegebenen Niveau von u 2 = u0 2 maximal ist.

Um die Bedingungen für diese eingeschränkte Maximierung abzuleiten, müssen wir die Lagrange-Funktion bilden:

Gleichung (21.23) ist die notwendige Bedingung für eine Pareto-Optimalität beim Verbrauch, wenn äußere Effekte vorhanden sind. Sie unterscheidet sich im Allgemeinen von der Randbedingung der Pareto-Optimalität gemäß (21.18) oder (21.16) oder (21.11).

Perfekte Vervollständigung garantiert das Erreichen von (21.11), aber nicht von (21.23). Aus (21.23) ist ersichtlich, dass wir ohne die externen Effekte effectsu 1 / ∂q 21, ∂u 1 / ∂q 22, ∂u 1 / ∂q 11 und ∂u 2 / ∂q 12 hätten . alle gleich Null, und dann hätte sich (21.23) auf (21.11) verringert.

Da wir hier angenommen haben, dass die partiellen Ableitungen der Nutzfunktionen Funktionen aller Variablen sind, nämlich q 11, q 12, q 21 und q 22, hängt die optimale Position jedes Verbrauchers vom Verbrauchsniveau des anderen ab.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass der einzige externe Effekt im Zwei-Verbraucher-Modell ∂u 2 / ∂q 11 <ist; 0, dann wird Gleichung (21, 23):

intuitiv verstanden, warum das so ist. Wenn der Verbrauch von Q 1 von Verbraucher I steigt, sinkt der Nutzwert von Verbraucher II. Dies impliziert, dass die marginale Bedeutung von Q 1 für den Verbraucher II relativ groß ist, was wiederum impliziert, dass die MRS Q1, Q2 des Verbrauchers II bei optimaler Verteilung der Waren kleiner sein sollten.

Denn bei dieser Verteilung wäre im Vergleich zur MRS-Gleichstellungsverteilung die Menge an Q 1, die der Verbraucher II besitzt, größer als die Menge, die der Verbraucher I besitzt.

Mit Hilfe von Abb. 21.3 kann schematisch gezeigt werden, dass die Bedingung (21.16) nicht unbedingt die Pareto-Optimalität bei Vorhandensein externer Effekte gewährleistet. Die Abbildungen 21.3 (a) und 21.3 (b) geben die Gleichgültigkeitskarte der Verbraucher I bzw. II wieder. Nehmen wir zunächst an, dass Verbraucher I die Kombination A und Verbraucher II die Kombination E konsumiert.

Die MRS Q1, Q2 der beiden Verbraucher sind an ihren Nutzenmaximierungspunkten angesichts der Warenpreise gleich. Nehmen wir nun an, dass es für den Verbraucher I keine externen Effekte gibt, dh der Verbrauch von II hat keinen Einfluss auf den Nutzwert von I.

Obwohl das Gebrauchsniveau des Verbrauchers II vom Verbrauch des Verbrauchers I beeinflusst wird. Nehmen wir an, dass das Gebrauchsniveau des Verbrauchers II sinkt, wenn ich mehr von Q 1 verbrauche, dh ieu 2 / ∂q 11 <0 Dies ist der hier vorhandene äußere Effekt.

In Abb. 21.3 (b) wurden die Indifferenzkurven von Verbraucher II (durchgezogene) unter der Annahme gezeichnet, dass der Verbrauch von I durch Kombination A angegeben wird. In ihren individuellen Gleichgewichtssituationen beträgt der Brauchbarkeitsindex von Verbraucher I 100 und der von II 100 80.

Verteilen wir nun die Waren so auf die beiden Individuen, dass ihre Gesamtmengen unverändert bleiben und ich zu Punkt C mit weniger von Q 1 und mehr von Q 2 und II zu Punkt G mit mehr von Q 1 und weniger von Q 2 gehe ( AB = FG und BC = EF). Der Nutzwert von Consumer I hat sich aufgrund dieser Neuverteilung nicht geändert - er bleibt auf demselben IC.

Da jedoch der Verbrauch von Q 1 bei Verbraucher I gesunken ist, würde das Präferenz-Indifferenz-Muster von Verbraucher II beeinträchtigt. Seine neuen ICs sind durch die gepunkteten Kurven gegeben. Zum Zeitpunkt G hat sich auch das Verbraucherniveau von Verbraucher II auf 90 erhöht, da ich jetzt weniger von Q 1 verbrauche.

Durch die Umverteilung ist es uns daher gelungen, den Utility-Level von II zu erhöhen, während der Level von I konstant bleibt. Das heißt, die anfänglichen Gleichgewichtspositionen bei A und E, bei denen die MRS der Verbraucher gleich gewesen waren, waren nicht optimal. Daher haben wir gesehen, dass die MRS-Gleichheit der beiden Verbraucher keine Pareto-Optimalität gewährleistet.

In den gegenwärtigen Gleichgewichtssituationen hat sich die MRS des Verbrauchers I erhöht, seit er sich entlang derselben IC nach Nordwesten bewegt hat, und die MRS von II hat sich verringert, seit er sich nach Südosten bewegt hat, nicht entlang derselben IC, sondern entlang einer nahezu parallelen IC .

Das heißt, wenn der externe Effekt vorliegt, wäre die MRS des Verbrauchers II geringer als die des Verbrauchers I. Dieses Ergebnis haben wir bereits in der oben angegebenen mathematischen Analyse erhalten.


7. Effizienz bei der Aufteilung der Faktoren auf die Waren oder Effizienz bei der Produktmischung oder der Zusammensetzung der Produktion:

Eine Zusammensetzung der Produktion oder des Produktmixes ist paretoeffizient, wenn es unmöglich ist, den Nutzen eines Individuums zu erhöhen, ohne den Nutzen des anderen Individuums zu verringern, indem die Faktoren unter den Waren neu verteilt werden, was zu einem anderen Produktmix führt.

Die Randbedingung für einen paretoeffizienten Produktmix besagt, dass die Grenzrate der Produkttransformation (MRPT) von Q 2 in Q 1 für Q 2 jeweils gleich der Grenzrate der Substitution (MRS) von Q 1 sein muss Verbraucher.

Hier ist die MRPT von Q 2 in Q 1 gleich der Menge, um die die Produktion von Q 2 reduziert werden muss, um eine weitere (oder die marginale) Einheit von Q 1 zu produzieren, und als solche ist sie gleich die numerische Steigung der Produktionsmöglichkeitskurve oder -grenze der Volkswirtschaft (PPC oder PPF).

Der PPC einer Volkswirtschaft durchläuft alle Kombinationen der beiden Güter (Q 1 und Q 2 ), die die verfügbaren Mengen der beiden Inputs (X 1 und X 2 ) paretoeffizient produzieren können. Das heißt, jede Kombination der beiden Güter, die auf dem PPC liegen, gibt uns die maximale Menge an Q 1, die produziert werden kann, wenn eine bestimmte Menge an Q 2 produziert wird, oder die maximale Menge an Q 2, die einer bestimmten Menge unterliegt von Q 1 .

Mit anderen Worten, die Kombinationen der beiden Waren, die auf dem PPC liegen, sind diejenigen, die auf der Edge-worth-Vertragskurve für die Produktion (CCP) liegen [Abb. 21, 1]. Das heißt, es besteht eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Punkten der KPCh und denen der PPC. Da die Menge eines Gutes mit der Zeit an der KPCh zunimmt und die des anderen abnimmt, wäre die Steigung der KPCh negativ.

Wenn mehr und mehr Eingaben aus der Produktion von Q 2 entfernt werden und in die Produktion von Q 1 involviert sind, kann Q 2 mit einer konstanten Rate in Q 1 umgewandelt werden, in welchem ​​Fall die PPC eine negativ geneigte Gerade mit wäre seine numerische Steigung oder MRPT ist eine Konstante, oder, was wahrscheinlicher ist, Q 2 kann aufgrund des Gesetzes der Verringerung des Grenzprodukts mit zunehmender Geschwindigkeit in Q 1 umgewandelt werden. In diesem Fall wäre die PPC mit ihrem Ursprung konkav numerische Steigung oder MRPT steigt an, wenn Q 1 zunimmt und Q 2 abnimmt, dh wenn wir uns entlang der Kurve nach Südosten bewegen. Wir haben diese beiden Arten von PPC in Abb. 21.4 gezeigt.

Nun, da die MRPT die Rate angibt, mit der eine Ware in der Produktion in eine andere umgewandelt werden kann, und die MRS die Rate angibt, mit der die Verbraucher bereit sind, eine Ware gegen eine andere auszutauschen, kann der paretoeffiziente Produktmix nur erhalten werden, wenn zwei Sätze sind gleich. Nur dann können die Pläne des Produktionssektors mit den Plänen des Haushaltssektors übereinstimmen, und beide befinden sich im Gleichgewicht.

Wir können das Argument mit Hilfe eines einfachen numerischen Beispiels veranschaulichen. Nehmen wir an, dass bei einer bestimmten Produktzusammensetzung der MRPT 7 beträgt, dh 7 Einheiten von Q 2 können in 1 Einheit von Q 1 umgewandelt werden .

Andererseits ist bei dieser Produktzusammensetzung die MRS für jeden Verbraucher beispielsweise 3. Das heißt, zum Ersetzen einer zusätzlichen (oder der Rand-) Einheit von Q 1 ist jeder Verbraucher bereit, auf 3 Einheiten von Q 2 zu verzichten dass sein Gebrauchswert konstant bleiben könnte.

Um die Wohlfahrtssituation zu verbessern, können wir in diesem Fall Folgendes tun: Wir können jedem Verbraucher 1 Einheit Q 1 wegnehmen und an seiner Stelle können wir 7 Einheiten Q 2 haben, und dann können wir von diesen 7 Einheiten give 3 units to the consumer to compensate for his loss of 1 unit of Q 1 . We are then left with 4 units of Q 2 for each consumer.

If their number is 2, then we are left with 8 units of Q 2 some of which we may give to consumer I and some to consumer II. Thus the utility level of both the consumers would increase. This shows us that the initial situation of MRPT ≠ MRS was Pareto-non-optimal.

Now, as we take away Q 1 from each consumer, his MRS Q1, Q2 would increase (from 3) and as we move northwestward along the PPC curve to have Q 2 in its place, the MRPT would decrease (from 7). We have to continue the process unless at some product composition MRPT becomes equal to MRS.

Therefore, the marginal condition for the Pareto-efficient product-mix gives us that the MRPT between the products should be equal to the MRS of each consumer. It may very well be seen that once these two become equal, no improvement in welfare can be achieved by any further change in product composition.

For example, if both MRPT and MRS are equal to 5, say, then, if we take away 1 unit of Q 1 from each consumer, 5 more units of Q 2 would be obtained in its place, and all of these 5 units would have to be given to the consumer to compensate for his loss of 1 unit of Q 1 —to keep him on his initial utility level. Thus, nothing would be available for any improvement.

On the basis of the above analysis, we may write the marginal condition for the Pareto- efficient product-mix or composition of output as

MRPT Q2 into Q1 = MRS Q1, Q2 of consumer I = MRS Q1, Q2 of consumer II (21.25)


8. Pareto-Optimal Composition of Outputs and Perfect Competition:

Like the other two marginal conditions, the third marginal condition of Pareto-efficient composition of output is also guaranteed by perfect competition, where the prices p 1 and p 2 of the goods Q 1 and Q 2, are given to the two firms and two consumers.

Also, in profit-maximising equilibrium under perfect competition, we have the marginal cost of production (MC 1 ) of Q 1 equal to pi and the marginal cost of production (MC 2 ) of Q 2 equal to p 2 (ie, p 1 = MQ and P2 = MC 2 ).

We have seen above that the Pareto-efficient product-mix cannot be obtained unless the MRPT of Q 2 into Q 1 and the MRS of Q 1 for Q 2 for each consumer are equal, and that this condition is guaranteed under perfect competition. We may now see graphically how eqn. (21.28) can be solved for the combination of the two goods that would make the production sector's plans consistent with the household sector's plans.

We have obtained, therefore, that the equilibrium commodity combination for our society consisting of two profit-maximising firms and with given quantities (x0 1 and x0 2 ) of two inputs, is the one where the condition given by equation (21.27) or equation (21.28) is satisfied.

We might remember at this point that the PPC passes through the commodity combinations implicit at the points on Edgeworth contract curve for production (CCP), ie, these commodity combinations on the CCP have been mapped into the PPC, or, there is a one-to-one correspondence between these commodity combinations implicit at the points on the CCP and those lying on the PPC.

(21.27) gives us that the point where the condition for equilibrium commodity combination is satisfied is the point of tangency between the PPC curve and line of slope –p 1 /p 2 . In Fig. 21.5, AB is this line, say, and it has touched the PPC curve at the point E. Therefore, the society's equilibrium production point is the point E, and it should produce q0 1 and q0 2 of the two commodities.

We may now come to the distribution of the goods between the two consumers, I and II. They have to be so distributed that the Pareto-efficiency in consumption is achieved, ie, the marginal condition for such efficiency is satisfied.

As we know, this marginal condition is:

We also know that the satisfaction of this condition is guaranteed under perfect competition, since both of them would be equal to p 1 /p 2 which is given and constant:

In Fig. 21.5, the Pareto-efficient distribution of the goods is obtained at the point e on the Edgeworth contract curve for consumption (CCC), for, at this point, both the indifference curves (ICs) of the two consumers have touched the line A'B' which is parallel to the line AB.

That is, in order to obtain the Pareto-efficient distribution of the goods, we have to find out the point (like e) on the Edgeworth CCC at which the numerical slopes of the ICs of the two consumers are equal to p 1 /p 2 which is here the numerical slope of the line AB.

To be more specific, as the solution of eqn. (21.26), we have obtained the economy's production of the two goods to be E(q0 1 q0 2 ) and by solving (21.17), we would obtain the distribution of these quantities between the two consumers (at the point e) to be (q0 11, q0 12 ) for the first consumer and (q0 21, q0 22 ) for the second consumer.


 

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