Verwendung von Funktionen und Variablen in der Ökonomie

Eine Funktion beschreibt die Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen.

Das heißt, eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Variablen von einer oder mehreren anderen Variablen aus.

Wenn also der Wert einer Variablen V von einer anderen Variablen X abhängt, können wir schreiben:

Y = f (X)…. (1)

Wobei f für Funktion steht.

Dieser Ausdruck (1) wird gelesen als "Y ist eine Funktion von X". Dies impliziert, dass jeder Wert der Variablen Y durch einen eindeutigen Wert der Variablen X bestimmt wird. In der Funktion (1) ist Y als abhängige Variable bekannt und X ist die unabhängige Variable. Daher wird in Funktion (1) Y die abhängige Variable genannt und ihr Wert hängt vom Wert von X ab. Ferner wird die unabhängige Variable als Ursache und die abhängige Variable als Wirkung interpretiert. Eine wichtige Funktion, die in der Ökonomie häufig verwendet wird, ist eine Nachfragefunktion, die die von einer Ware nachgefragte Menge als Funktion ihres Preises ausdrückt, wobei andere Faktoren konstant gehalten werden.

Die Nachfrage nach einer Ware X wird daher wie folgt beschrieben:

D x = f (P x )

Dabei ist D x die von der Ware X nachgefragte Menge und P x ihr Preis.

In ähnlicher Weise wird die Lieferfunktion einer Ware X ausgedrückt als:

S x = f (P x )

Wenn der Wert der Variablen Y von mehr als zwei Variablen X 1, X 2 ... X n abhängt, wird diese Funktion in allgemeiner Form wie folgt geschrieben:

Y = f (X 1, X 2, X 3, X 4 ………. X n )

Dies zeigt, dass die Variable Y von mehreren unabhängigen Variablen X 1, X 2 ... X n abhängt, wobei n die Anzahl der unabhängigen Variablen ist. Beachten Sie erneut, dass wir in der Ökonomie "Ursachen" als unabhängige Variablen und "Wirkung" als abhängige Variable schreiben.

Beispielsweise wird die Nachfrage nach einem Produkt im Allgemeinen als eine Funktion des eigenen Preises der anderen Waren (die Substitute oder Ergänzungen sein können), des Einkommens der Verbraucher, des Geschmacks und der Vorlieben der Verbraucher und der Werbeausgaben einer zu fördernden Firma angesehen sein Produkt. Somit,

D x = f (P x, P y, M, T, A)

Wo

D x = Nachfrage nach der Ware X

P x = Preis der Ware X

P y = Preis eines Ersatzprodukts

M = Einkommen der Verbraucher

T = Geschmack und Vorlieben des Verbrauchers für das Produkt.

A = Werbeausgaben der Firma.

Die genaue Art der Beziehung der abhängigen Variablen zu den unabhängigen Variablen kann aus der spezifischen Form der Funktion bekannt sein. Die spezifische Form einer Vereinigung kann eine Vielzahl von mathematischen Formen annehmen. Im Folgenden werden einige spezielle Arten von Funktionen erläutert.

Lineare und Potenzfunktionen:

Eine weit verbreitete mathematische Form einer Funktion ist eine lineare Funktion.

Eine lineare Funktion kann in der folgenden allgemeinen Form angegeben werden:

Y = a + bX

Wobei a und b positive Konstanten sind und Parameter der Funktion genannt werden. Beachten Sie, dass Parameter einer Funktion Variablen sind, die fest und in einer bestimmten Funktion angegeben sind. Die Werte der Konstanten a und b bestimmen die Spezifität einer linearen Funktion.

Die lineare Nachfragefunktion mit Preis als einziger unabhängiger Variable lautet:

Q d = a - bP

Das Minuszeichen vor dem Koeffizienten b zeigt an, dass die von einer Ware nachgefragte Menge in einem negativen Verhältnis zum Preis der Ware steht. Das heißt, wenn der Preis einer Ware fällt, steigt ihre Mengennachfrage und umgekehrt.

Wenn a gleich 7 und b gleich 0, 5 ist, kann die lineare Anforderungsfunktion in der folgenden spezifischen Form ausgedrückt werden:

Q d = 7 - 0, 5 P

Die obige Funktion für die spezifische Nachfrage zeigt, dass ein Preisverfall der Ware um 0, 5 Einheiten die von der Ware nachgefragte Menge erhöht. Wenn der Preis (P) Null ist, fällt der zweite Term (0, 5 P) in der Nachfragefunktion ab und die angeforderte Menge ist gleich 7.

Wir können verschiedene Werte von P nehmen und verschiedene Mengen (Q d ) einer bei ihnen verlangten Ware herausfinden. In Abbildung 5.1 haben wir diese Preis-Mengen-Kombinationen in einem Diagramm notiert und die Nachfragekurve DD der Ware erhalten, die die gegebene Nachfragefunktion darstellt (Q d = 7 - 0, 5 P).

Es ist anzumerken, dass entgegen der mathematischen Praxis nach wirtschaftlicher Konvention zur Darstellung der Nachfragefunktion die unabhängige Variable (Preis im obigen Fall der Nachfragefunktion) auf der y-Achse und die abhängige Variable (die in der Gegenwart nachgefragte Menge) gezeigt werden Fall) auf der x-Achse. Das Diagramm der linearen Anforderungsfunktion ist in Abbildung 5.1 dargestellt.

Es ist anzumerken, dass die Steigung der Nachfragefunktionskurve in Abbildung 5.1 für ∆P / ∆Q steht. Wenn wir jedoch die nachgefragte Menge (Q d ) auf der y-Achse und den Preis (P x ) auf der x-Achse darstellen; die Steigung der so gezeichneten Nachfragekurve wäre gleich ∆Q / ∆P.

Multivariate lineare Nachfragefunktion:

Die lineare Anforderungsfunktion mit mehr als einer unabhängigen Variablen kann folgendermaßen geschrieben werden:

Q x = a + b 1 P x + b 2 P y + b 3 M + b 4 T + b 5 A

Dabei sind b 1, b 2, b 3, b 4 die Koeffizienten der jeweiligen Variablen. In der Ökonomie werden die Auswirkungen anderer Variablen als des Eigenpreises einer Ware in der Nachfragefunktion durch Verschiebungen in der Nachfragekurve dargestellt. Wenn beispielsweise das Einkommen (M) der Verbraucher steigt, werden die Verbraucher mehr von dem Produkt X zu einem bestimmten Preis verlangen. Dies impliziert eine Verschiebung der Nachfragekurve nach rechts.

Die lineare multivariate Funktion ist in der folgenden Form geschrieben:

Y = 4 - 0, 4 × 1 + 0, 2 × 2 + 0, 3 × 3 + 0, 5 × 4

In dieser Funktion zeigen die Koeffizienten 0.4, 0.2, 0.3 und 0.5 den genauen Einfluss der unabhängigen Variablen X 1, X 2, X 3, X 4 auf die abhängige Variable Y.

Power-Funktionen:

Die oben angegebenen linearen Funktionen sind als Funktionen ersten Grades bekannt, bei denen die unabhängigen Variablen X 1, X 2, X 3 usw. nur auf die erste Potenz angehoben werden. Wir wenden uns nun der Erläuterung der Leistungsfunktionen zu. In der Ökonomie werden häufig Potenzfunktionen der quadratischen und kubischen Form verwendet.

Quadratische Funktionen:

In der quadratischen Funktion werden eine oder mehrere der unabhängigen Variablen quadriert, dh auf die zweite Potenz angehoben. Beachten Sie, dass die Potenz auch als Exponent bezeichnet wird. Eine quadratische Funktion kann geschrieben werden als

Y = a + b X + c X2

Dies impliziert, dass der Wert der abhängigen Variablen Y von der Konstanten a plus dem Koeffizienten b multipliziert mit dem Wert der unabhängigen Variablen X plus dem Koeffizienten c multipliziert mit dem Quadrat der Variablen X abhängt. Dann sei a = 4, b = 3 und c = 2 Die quadratische Funktion hat die folgende spezifische Form.

Y = 4 + 3X + 2X2

Wir können die unterschiedlichen Werte von Y erhalten, um unterschiedliche Werte der unabhängigen Variablen X zu erhalten. Quadratische Funktionen sind zwei Arten: konvexe quadratische Funktionen und konkave quadratische Funktionen. Die Form der quadratischen Funktion hängt vom Vorzeichen des Koeffizienten c von X2 ab. Die quadratische Funktion Y = a + bX + cX2, bei der der Koeffizient c von X2 positiv ist (dh c> 0), wird als konvexe quadratische Funktion bezeichnet, da ihr Graph U-förmig ist, wie in Abbildung 5.2 gezeigt. Wenn andererseits der Koeffizient von X2 negativ ist (c <0), dh wenn Y = a + bX - cX2, dann haben wir eine konkave quadratische Funktion, weil seine Graphen eine umgekehrte ᴒ-Form (dh n-förmig) haben in Abbildung 5.3 gezeigt.

Es ist anzumerken, dass die Steigung der Kurve von konvexen quadratischen Funktionen, wie aus dem U-förmigen Graphen ersichtlich ist, in diesem Fall, in dem der Koeffizient von X2 positiv ist, die Steigung überall zunimmt. Andererseits nimmt im Fall einer konkaven quadratischen Funktion, bei der der Koeffizient von negativ ist (c <0), die Steigung seines Graphen überall ab. Es ist ferner zu beachten, dass in der analytischen Geometrie bewiesen ist, dass der Graph jeder quadratischen Funktion eine Parabel ist, die entweder konvex oder konkav sein kann. Eine Parabel ist eine Kurve mit einem Wendepunkt, und im Gegensatz zur Kurve einer linearen Funktion ändert sich ihre Steigung bei verschiedenen Werten von X.

Multivariable quadratische Funktion:

Wenn es mehr als eine unabhängige Variable wie X 1, X 2 gibt und sie eine quadratische Beziehung zur abhängigen Variablen Y haben, wird eine solche Funktion als multivariable quadratische Funktion bezeichnet.

Im Fall von zwei unabhängigen Variablen X 1 und X 2 kann eine solche Funktion wie folgt ausgedrückt werden:

Y = a + bX 1 - cX2 1 + dX 2 - eX 2 2

Wenn eine solche Funktion grafisch dargestellt wird, wird sie durch eine dreidimensionale Oberfläche und nicht durch eine zweidimensionale Kurve dargestellt.

Kubische Funktion:

Eine kubische Funktion ist die Potenzfunktion, in der es einen Term dritten Grades gibt, der sich auf eine unabhängige Variable bezieht. Somit können kubische Funktionen Terme ersten Grades, zweiten Grades und dritten Grades haben.

Eine kubische Funktion kann die folgende Form haben:

Y = a + bX + cX2 + dX3

a ist der Abfangterm, die abhängige Variable X hat die Terme ersten Grades, zweiten Grades und dritten Grades. Wenn die Vorzeichen aller Koeffizienten a, b, c und d positiv sind, werden die Werte von y um zunehmend größere Inkremente zunehmen, wenn der Wert von X zunimmt. Wenn sich jedoch die Vorzeichen verschiedener Koeffizienten in der kubischen Funktion unterscheiden, d. H. Einige positive Vorzeichen und einige negative Vorzeichen haben, kann der Funktionsgraph in Abhängigkeit von den Werten der Koeffizienten sowohl konvexe als auch konkave Segmente haben.

Eine solche kubische Funktion, bei der sich die Vorzeichen der Koeffizienten von Variablen unterscheiden, kann wie folgt ausgedrückt werden:

Y = a + bX-cX2 + dX3

Dabei ist das Vorzeichen des Koeffizienten c der Variablen X ^ negativ, während die Koeffizienten anderer positiv sind.

Pisten von Funktionen:

In der Wirtschaft ist es wichtig zu wissen, mit welcher Rate sich eine Variable als Reaktion auf eine Änderung einer anderen Variablen ändert. Die Steigung einer Variablen misst diese Rate. Zum Beispiel ist es wichtig zu wissen, wie schnell sich die von einer Ware nachgefragte Menge ändert, wenn sich der Preis einer Ware ändert. Im Bereich der Ökonomie finden wir sowohl lineare als auch nichtlineare Funktionen. Nehmen wir zunächst die Steigung einer linearen Funktion.

Betrachten Sie die folgende lineare Funktion:

Y = f (X) = 2 + 0, 5 X

In Tabelle 5.1 haben wir die Werte der Variablen Y berechnet, indem wir verschiedene Werte von X wie 1, 2, 3, 4 usw. genommen haben. Ferner haben wir die verschiedenen Werte von Tabelle 5.1 in einem in Abb. 5.4 gezeigten Diagramm aufgezeichnet. Die Steigung der Funktion (Y = 2 + 0, 5X) zwischen zwei Punkten, beispielsweise A und B in Abbildung 5.4, ergibt sich aus dem Verhältnis der Änderung von Y zu der Änderung von X. Das heißt, die Steigung = ∆Y / ∆ X.

Zum Beispiel ist am Punkt A des gegebenen Funktionswerts der Variablen X 3 und entspricht ihm der Wert der Variablen Vis 3.5. Wenn der Wert von X von 3 auf 4 steigt, steigt der Wert von Y von 3, 5 auf 4.

Somit ist die Steigung der Funktion (Y = 2 + 0, 5X):

∆Y / ∆X = 4-3, 5 / 0, 5 = 0, 5 / 1 = 0, 5

Dies impliziert, dass sich der Wert von Y um 0, 5 erhöht, wenn sich der Wert von X um 1 erhöht. Es sollte beachtet werden, dass die Steigung einer linearen Funktion durchgehend konstant ist.

Die Steigung einer linearen Funktion kann jedoch direkt aus der linearen Funktion selbst bekannt sein, und zu diesem Zweck besteht keine Notwendigkeit, die Daten zu zeichnen. Betrachten Sie die folgende lineare Funktion

Y = a + bX

Aus dieser linearen Funktion ist ersichtlich, dass, wenn der Wert von X Null ist, der Wert von Y gleich a ist. Also ist a Y-Achsenabschnitt. Ferner ist in dieser Funktion b der Koeffizient von X und mißt die Änderung von Y aufgrund der Änderung von X, d.h. ∆Y / ∆X. Somit repräsentiert b die Steigung der linearen Funktion. In der linearen Funktion Y = 2 + 0, 5X ist 2 der Y-Achsenabschnitt, dh der Wert von Y, wenn X Null ist, 0, 5 ist der b-Koeffizient, der die Steigung der linearen Funktion misst.

Steigung einer nichtlinearen Funktion :

Wir wenden uns nun der Erklärung zu, wie die Steigung einer nichtlinearen Funktion, beispielsweise einer quadratischen Funktion (Y = a + bX + cX2), gemessen werden kann. Beim Zeichnen der nichtlinearen Funktion in einem Diagramm erhalten wir eine nichtlineare Kurve.

Nehmen wir die folgende spezifische quadratische Funktion an:

Y = 5 + 3X + X2

In Tabelle 5.2 haben wir die verschiedenen Werte von Y berechnet, indem wir verschiedene Werte von X (0, 1, 2, 3 usw.) genommen haben.

Die so erhaltenen Daten wurden aufgezeichnet, um eine Kurve in Abbildung 5.5 zu erhalten. Aus dieser Abbildung 5.5 ist ersichtlich, dass die Steigung der Linie AB, die zwei Punkte A und B auf einer Kurve verbindet, die eine quadratische Funktion darstellt, gemessen werden kann, indem die Änderung des Werts von Y durch die Änderung des Werts von X dividiert wird A, der Wert von X ist 1 und der entsprechende Wert von Y ist 9 und am Punkt B ist der Wert von X 4, bis zu dem der entsprechende Wert 33 ist. Somit ist hier ∆X = 4 - 1 = 3 und ∆y = 33 - 9 = 24.

Somit ist die Steigung der Linie AB:

∆Y / ∆X = 24/3 = 8

Ebenso die Steigung der Geraden AC in Abb.5.5. kann gemessen werden. Zwischen zwei Punkten A und C ist ∆X = 3 - 1 = 2 und ∆Y = 23 - 9 = 14. Somit ist die Steigung der geraden Linie AC

∆Y / ∆X = 14/2 = 7

In ähnlicher Weise ist die Steigung der Verbindungspunkte A und D der Geraden AD auf der nichtlinearen quadratischen Funktionskurve in Abbildung 5.5 durch angegeben

∆Y / ∆X = 15-9 / 2-1 = 6/1 = 6

Es ist somit zu sehen, dass AX abnimmt; es war 3 zwischen A und B, 2 zwischen und C und 1 zwischen A und D, die Steigung der nichtlinearen Kurve nimmt weiter ab. Es war 8 der Linie AB 7 der Linie AC und 6 der Linie AD. Wenn AX weiter abnimmt, nimmt die Steigung der Linie, die zwei Punkte der nichtlinearen Kurve verbindet, weiter ab.

Es sollte auch beachtet werden, dass die Steigung der Verbindungspunkte der geraden Linie AD und D sehr nahe an der Steigung der Tangente liegt, die an dem Punkt gezogen wird, an dem AX immer kleiner wird extrem nahe an der Steigung der Tangente, die an Punkt A zur Kurve gezogen wird. Daher kann die Steigung an einem Punkt der nichtlinearen Funktionskurve durch die Steigung einer Tangente gemessen werden, die an diesem Punkt zur Kurve gezogen wird.

 

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