Die Produktionsfunktion für ein einzelnes Produkt

Die Produktionsfunktion ist eine rein technische Beziehung, die Faktorein- und -ausgänge verbindet.

Es beschreibt die Proportionsgesetze, dh die Umwandlung von Faktorinputs in Produkte (Outputs) zu einem bestimmten Zeitraum.

Die Produktionsfunktion repräsentiert die Technologie eines Unternehmens einer Branche oder der gesamten Wirtschaft.

Die Produktionsfunktion umfasst alle technisch effizienten Methoden oder die Produktion. Eine Produktionsmethode (Prozess, Aktivität) ist eine Kombination von Faktor-Inputs, die für die Produktion einer Produktionseinheit erforderlich sind. Gewöhnlich kann eine Ware durch verschiedene Herstellungsverfahren hergestellt werden.

Beispielsweise kann eine Wareneinheit x durch die folgenden Prozesse hergestellt werden:

Aktivitäten können grafisch durch die Länge der Linien vom Ursprung bis zum Punkt dargestellt werden, der durch den Arbeits- und Kapitaleinsatz bestimmt wird. Die drei oben genannten Prozesse sind in Abbildung 3.1 dargestellt. Eine Produktionsmethode A ist technisch effizienter als jede andere Methode B, wenn A im Vergleich zu B weniger von mindestens einem Faktor und nicht mehr von den anderen Faktoren verwendet.

Zum Beispiel kann Ware y durch zwei Methoden erzeugt werden:

Methode B ist im Vergleich zu A technisch ineffizient. Die grundlegende Theorie der Produktion konzentriert sich nur auf effiziente Methoden. Ineffiziente Methoden werden von rationalen Unternehmern nicht angewendet. Wenn ein Prozess A im Vergleich zu einem anderen Prozess B weniger von einem oder mehreren Faktoren und mehr von anderen Faktoren verwendet, können A und B nicht direkt nach dem Kriterium der technischen Effizienz verglichen werden.

Zum Beispiel sind die Aktivitäten nicht direkt vergleichbar. Beide Prozesse gelten als technisch effizient und sind in der Produktionsfunktion (der Technologie) enthalten. Welche von ihnen zu einem bestimmten Zeitpunkt ausgewählt wird, hängt von den Preisen der Faktoren ab. Die Produktionstheorie beschreibt die Produktionsgesetze. Die Wahl einer bestimmten Technik (unter den technisch effizienten Prozessen) ist eine wirtschaftliche, die auf Preisen basiert, und keine technische. Wir stellen hier fest, dass ein technisch effizientes Verfahren nicht unbedingt wirtschaftlich effizient ist. Es gibt einen Unterschied zwischen technischer und wirtschaftlicher Effizienz.

Eine Isoquante umfasst (ist der Ort) aller technisch effizienten Methoden (oder aller Kombinationen von Produktionsfaktoren) zur Erzeugung eines bestimmten Outputniveaus. Die Produktions-Isoquante kann abhängig vom Grad der Substituierbarkeit der Faktoren verschiedene Formen annehmen.

Lineare Isoquante:

Dieser Typ setzt eine perfekte Substituierbarkeit der Produktionsfaktoren voraus: Eine bestimmte Ware kann nur mit Kapital oder nur mit Arbeit oder durch eine unendliche Kombination von K und L hergestellt werden (Abbildung 3.2).

Input-Output-Isoquante:

Dies setzt eine strikte Komplementarität (dh keine Substituierbarkeit) der Produktionsfaktoren voraus. Es gibt nur eine Produktionsmethode für eine Ware. Die Isoquante hat die Form eines rechten Winkels (Abbildung 3.3). Diese Art von Isoquanten wird nach Leontief, der die Input-Output-Analyse erfunden hat, auch als "Leontief-Isoquante" bezeichnet.

Isoquante geknickt:

Dies setzt eine eingeschränkte Substituierbarkeit von K und L voraus. Es gibt nur wenige Verfahren zur Herstellung einer Ware. Die Substituierbarkeit der Faktoren ist nur an den Knicken möglich (Abbildung 3.4). Diese Form wird auch als "Aktivitätsanalyse-Isoquant" oder "Linearprogrammier-Isoquant" bezeichnet, da sie im Grunde genommen in der linearen Programmierung verwendet wird.

Glatte, konvexe Isoquante:

Diese Form setzt eine kontinuierliche Substituierbarkeit von K und L nur über einen bestimmten Bereich voraus, über den hinaus Faktoren sich nicht gegenseitig substituieren können. Die Isoquante erscheint als glatte Kurve konvex zum Ursprung (Abbildung 3.5).

Es ist zu beachten, dass die geknickten Isoquanten realistischer sind. Ingenieure, Manager und Produktionsleiter betrachten die Produktionsprozesse als diskret und nicht als zusammenhängende Anordnung. Die traditionelle Wirtschaftstheorie hat jedoch meist die stetigen Isoquanten übernommen, da sie nach den einfachen Regeln der Analysis mathematisch einfacher zu handhaben sind.

Wir können die kontinuierliche Isoquante als eine Annäherung an die realistischere Form einer geknickten Isoquante betrachten, wenn wir die Anzahl der Prozesse erhöhen, bei denen die Knicke näher und näher kommen, bis die Isoquante an der Grenze (wenn die Anzahl der Prozesse unendlich wird) glatt wird Kurve.

Die Produktionsfunktion beschreibt nicht nur eine einzelne Isoquante, sondern die gesamte Reihe von Isoquanten, von denen jede ein unterschiedliches Leistungsniveau aufweist. Es zeigt, wie sich die Ausgabe ändert, wenn sich die Faktoreingaben ändern. Produktionsfunktionen beinhalten (und können Messungen von) Konzepten liefern, die nützliche Werkzeuge in allen Bereichen der Wirtschaft sind.

Die Hauptkonzepte sind:

1. Die Grenzproduktivität der Produktionsfaktoren.

2. Die marginale Substitutionsrate und die Elastizität der Substitution.

3. Faktor Intensität.

4. Die Effizienz der Produktion.

5. Die Rückkehr zum Maßstab.

Die allgemeine mathematische Form der Produktionsfunktion ist

Y = f (L, K, R, S, v, y)

Wobei Y - Ausgang

L = Arbeitseinsatz

K - Kapitaleinsatz

R = Rohstoffe

S = Landeingang

v = kehrt zum Maßstab zurück

y = Wirkungsgradparameter.

Alle Variablen sind Flüsse, dh sie werden pro Zeiteinheit gemessen. In ihrer allgemeinen Form ist die Produktionsfunktion ein rein technologisches Verhältnis zwischen Inputmengen und Outputmengen. Preise von Faktoren oder des Produkts gehen nicht in die Produktionsfunktion ein. Sie werden nur für die Produktionsentscheidung des Unternehmens oder anderer wirtschaftlicher Einheiten verwendet.

In der Praxis hat sich jedoch gezeigt, dass die Rohstoffe auf allen Produktionsebenen ein konstantes Verhältnis zur Produktion aufweisen. Beispielsweise ist die Anzahl der Ziegel für einen bestimmten Haustyp unabhängig von der Anzahl der gebauten Häuser konstant. In ähnlicher Weise ist das für einen bestimmten Autotyp erforderliche Metall konstant, unabhängig von der Anzahl der produzierten Autos. Dies ermöglicht die Subtraktion des Rohstoffwerts vom Produktionswert und die Messung des Produktionswerts in Bezug auf die Wertschöpfung (X).

X = Y - R

Auf diese Weise zerstören wir natürlich den rein technologischen Charakter der Produktionsfunktion, da die Preise der Rohstoffe und der Produktion herangezogen werden: Die Wertschöpfung wird notgedrungen in Währungseinheiten gemessen. Der Landeintrag S ist für die Gesamtwirtschaft konstant und geht daher keine aggregierte Produktionsfunktion ein. S ist jedoch nicht für einzelne Sektoren oder für einzelne Unternehmen konstant. In diesen Fällen werden die Landeinträge mit den Maschinen und Anlagen im Faktor K zusammengefasst.

Somit nimmt die Produktionsfunktion in der traditionellen Wirtschaftstheorie die Form an

X = ƒ (L, K, v, y)

Der Faktor v, "Rückkehr zum Maßstab", bezieht sich auf die langfristige Analyse der Produktionsgesetze, da er Änderungen in der Anlage voraussetzt. Der Effizienzparameter y bezieht sich auf die unternehmerisch-organisatorischen Aspekte der Produktion. Zwei Unternehmen mit identischen Faktor-Inputs (und denselben Skalenerträgen) können aufgrund unterschiedlicher unternehmerischer und organisatorischer Effizienz unterschiedliche Outputniveaus aufweisen.

Grafisch wird die Produktionsfunktion normalerweise als Kurve in zweidimensionalen Diagrammen dargestellt. Änderungen der relevanten Variablen werden entweder durch Bewegungen entlang der Kurve, die die Produktionsfunktion darstellt, oder durch Verschiebungen dieser Kurve angezeigt. Die am häufigsten verwendeten Diagramme für die Produktionsfunktion einer einzelnen Ware sind in den Abbildungen 3.6 und 3.7 dargestellt. In Abbildung 3.6 zeigt jede Kurve die Beziehung zwischen X und L für K, v und y. Wenn die Arbeitskraft zunimmt, steigt der Output ceteris paribus: Wir bewegen uns entlang der Kurve, die die Produktionsfunktion darstellt. Wenn sich das Kapital (und / oder v und / oder y) erhöht, verschiebt sich die Produktionsfunktion X = f (L) nach oben.

In Abbildung 3.7 zeigt jede Kurve die Beziehung zwischen X und K für gegebenes L, v und y. Wenn das Kapital steigt, steigt der Output: Wir bewegen uns entlang der Kurve. Wenn L (und / oder v und / oder y) die Produktionsfunktion erhöhen, verschiebt sich X = ƒ (K) nach oben.

Die Steigungen der Kurven in den Abbildungen 3.6 und 3.7 sind die Grenzprodukte der Produktionsfaktoren. Das Grenzprodukt eines Faktors ist definiert als die Änderung des Outputs, die sich aus einer (sehr geringen) Änderung dieses Faktors ergibt, wobei alle anderen Faktoren konstant bleiben. Mathematisch ist das Grenzprodukt jedes Faktors die partielle Ableitung der Produktionsfunktion in Bezug auf diesen Faktor. Somit

Grundsätzlich kann das Grenzprodukt eines Faktors einen beliebigen Wert annehmen, positiv, null oder negativ. Die grundlegende Produktionstheorie konzentriert sich jedoch nur auf den effizienten Teil der Produktionsfunktion, dh auf den Produktionsbereich, über den die Grenzprodukte der Faktoren positiv sind. Kein rationales Unternehmen würde Arbeitskraft jenseits von OB oder Kapital jenseits von OD beschäftigen, da eine Erhöhung der Faktoren jenseits dieser Niveaus zu einer Verringerung der Gesamtleistung des Unternehmens führen würde. Produktionsbereiche, in denen die Grenzprodukte der Faktoren negativ wären (Bereiche jenseits von OB 'in Abbildung 3.8 und 0D' in Abbildung 3.9), implizieren irrationales Verhalten des Unternehmens und werden von der Produktionstheorie nicht berücksichtigt.

Darüber hinaus konzentriert sich die grundlegende Produktionstheorie gewöhnlich auf den Produktionsbereich, über den die Grenzprodukte der Faktoren abnehmen, obwohl sie positiv sind, dh über den Bereich abnehmender (aber nicht negativer) Produktivität der Produktionsfaktoren: die Bereiche Die nach der traditionellen Theorie betrachteten Outputs sind A'B 'in Abbildung 3.8 und CD' in Abbildung 3.9. Diese Leistungsbereiche sind in den Abbildungen 3.6 und 3.7 dargestellt.

Alternativ kann man sagen, dass sich die Produktionstheorie auf das Beschäftigungsniveau der Faktoren konzentriert, über die ihre Grenzprodukte positiv sind, aber abnehmen: In Abbildung 3.10 ist der von der Produktionstheorie untersuchte Beschäftigungsbereich von L AB; über diesem Bereich

Diese Bedingungen implizieren, dass sich die traditionelle Produktionstheorie auf den Bereich der Isoquanten konzentriert, über den ihre Steigung negativ und konvex zum Ursprung ist. In Abbildung 3.12 ist die Produktionsfunktion in Form einer Menge von Isoquanten dargestellt. Je höher rechts eine Isoquante ist, desto höher ist der dargestellte Output.

Es ist klar, dass Isoquanten sich aufgrund ihrer Konstruktion nicht schneiden können. Wir sagten, die traditionelle Wirtschaftstheorie konzentriere sich auf effiziente Produktionsbereiche, dh Bereiche, in denen die Grenzprodukte der Faktoren abnehmen, aber positiv sind. Der Ort der Isoquantenpunkte, an dem die Randprodukte der Faktoren Null sind, bilden die Kammlinien.

Die obere Kammlinie impliziert, dass der MP des Kapitals Null ist. Die untere Gratlinie impliziert, dass der MP der Arbeit Null ist. Produktionstechniken sind nur innerhalb der Firstlinien (technisch) effizient. Außerhalb der Kammlinien sind die Grenzprodukte der Faktoren negativ und die Produktionsmethoden ineffizient, da für die Produktion eines bestimmten Produktionsniveaus mehr Mengen beider Faktoren benötigt werden.

Solche ineffizienten Methoden werden von der Produktionstheorie nicht berücksichtigt, da sie irrationales Verhalten des Unternehmens implizieren. Der Zustand der positiven, aber abnehmenden Randprodukte der Faktoren definiert den Bereich der effizienten Produktion (den Bereich der Isoquanten, über den sie zum Ursprung konvex sind). Die Steigung der Isoquante (-

K /

L) definiert den Substituierbarkeitsgrad der Produktionsfaktoren (Abbildung 3.13).

Die Steigung der Isoquante nimmt (in absoluten Zahlen) ab, wenn wir uns entlang der Isoquante nach unten bewegen, was die zunehmende Schwierigkeit zeigt, K für L zu substituieren. Die Steigung der Isoquante wird als technische Substitutionsrate oder marginale Substitutionsrate (MRS) bezeichnet ) der Faktoren

Beweis:

Die Steigung einer Kurve ist die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt der Kurve. Die Steigung der Tangente wird durch die Gesamtdifferenz definiert. Im Fall der Isoquante ist die Gesamtdifferenz die Gesamtänderung von X, die sich aus kleinen Änderungen der beiden Faktoren K und L ergibt. Wenn wir K um ändern, ist dies klar

K, der Ausgang X ändert sich je nach Produkt

K mal das Grenzprodukt des Kapitals

Die marginale Substitutionsrate als Maß für den Substituierbarkeitsgrad von Faktoren hat einen gravierenden Mangel: Sie hängt von den Maßeinheiten der Faktoren ab. Ein besseres Maß für die Leichtigkeit der Faktorsubstitution ist die Elastizität der Substitution. Die Elastizität der Substitution ist definiert als die prozentuale Änderung der Kapitalarbeitsquote geteilt durch die prozentuale Änderung der Rate der technischen Substitution

Die Substitutionselastizität ist eine reine Zahl, die von den Maßeinheiten von K und L unabhängig ist, da sowohl der Zähler als auch der Nenner in denselben Einheiten gemessen werden.

Die Faktorintensität eines Prozesses wird durch die Steigung der Linie durch den Ursprung gemessen, der den jeweiligen Prozess darstellt. Die Faktorintensität ist also das Verhältnis von Kapital und Arbeit. In Abbildung 3.14 ist Prozess P 1 kapitalintensiver als Prozess P 2 . Deutlich

K 1 / L 1 > K 2 / L 2

Der obere Teil der Isoquante enthält kapitalintensivere Prozesse. Der untere Teil der Isoquante enthält arbeitsintensivere Techniken.

Beispiel

Veranschaulichen wir die obigen Konzepte mit einer bestimmten Form der Produktionsfunktion, nämlich der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. Diese Form ist in der angewandten Forschung am beliebtesten, da sie mathematisch am einfachsten zu handhaben ist.

4. Faktor Intensität. In einer Cobb-Douglas-Funktion wird die Faktorintensität durch das Verhältnis b 1 / b 2 gemessen. Je höher dieses Verhältnis ist, desto arbeitsintensiver ist die Technik. In ähnlicher Weise ist die Technik umso kapitalintensiver, je niedriger das Verhältnis b 1 / b 2 ist .

5. Die Effizienz der Produktion. Die Effizienz bei der Organisation der Produktionsfaktoren wird durch den Koeffizienten b 0 gemessen. Intuitiv ist klar, dass, wenn zwei Unternehmen das gleiche K, L, b 1 und b 2 haben und dennoch unterschiedliche Produktionsmengen produzieren, der Unterschied auf die überlegene Organisation und das überlegene Unternehmertum eines der Unternehmen zurückzuführen sein kann, was zu unterschiedlichen Wirkungsgraden führt . Das effizientere Unternehmen hat ein größeres b 0 als das weniger effiziente.

6. Die Rückkehr zum Maßstab. Dieses Konzept wird im nächsten Abschnitt entwickelt, da es sich auf die langfristige Analyse der Produktion bezieht. Wir stellen hier fest, dass in einer Cobb-Douglas-Funktion die Skalenerträge durch die Summe der Koeffizienten b 1 + b 2 gemessen werden.

 

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