Zwei-Personen-Nullsummenspiel (mit Diagramm)

Das einfachste Modell ist ein Duopolmarkt, auf dem jeder Duopolist versucht, seinen Marktanteil zu maximieren.

In Anbetracht dieses Ziels verliert das andere Unternehmen, unabhängig davon, was ein Unternehmen gewinnt (indem es seinen Marktanteil erhöht) (aufgrund des Rückgangs seines Anteils).

Somit wird jeder Gewinn eines Rivalen durch den Verlust des anderen ausgeglichen, und der Nettogewinn summiert sich auf Null. Daher der Name "Nullsummenspiel".

Die Annahmen des Modells sind:

1. Die Unternehmen haben ein bestimmtes, genau definiertes Ziel. In unserem speziellen Beispiel ist das Ziel die Maximierung des Marktanteils.

2. Jedes Unternehmen kennt die Strategien, die ihm und seinem Rivalen offen stehen, oder konzentriert sich auf die wichtigsten dieser Strategien.

3. Jedes Unternehmen kennt mit Sicherheit die Auszahlungen aller Kombinationen der in Betracht gezogenen Strategien. Dies impliziert, dass das Unternehmen den Gesamtumsatz, die Gesamtkosten und den Gesamtgewinn jeder Strategiekombination kennt.

4. Die von den Duopolisten gewählten Maßnahmen wirken sich nicht auf die Gesamtgröße des Marktes aus.

5. Jedes Unternehmen wählt seine Strategie „das Schlimmste von seinem Rivalen erwarten“, dh jedes Unternehmen handelt auf konservativste Weise und erwartet, dass der Rivale die bestmögliche Gegenstrategie wählt, die ihm offensteht. Dieses Verhalten wird als 'rational' definiert.

6. Im Nullsummenspiel gibt es bei Annahme 4 keinen Anreiz zur Absprache, da die Ziele der Unternehmen diametral entgegengesetzt sind.

Um die Gleichgewichtslösung zu finden, benötigen wir Informationen über die Auszahlungsmatrix der beiden Unternehmen. In unserem Beispiel sind die Auszahlungen Marktanteile, die sich aus der Annahme von zwei beliebigen Strategien durch die Konkurrenten ergeben. Angenommen, Firma I verfügt über vier Strategien, und Firma II verfügt über fünf Strategien. Die Auszahlungsmatrizen der Duopolisten sind in den Tabellen 19.2 und 19.3 aufgeführt.

Die Summe der Auszahlungen in den entsprechenden Zellen der beiden Auszahlungstabellen ergibt eindeutig eine Einheit, da die Zahlen in diesen Zellen Anteile sind und der Gesamtmarkt zwischen den beiden Unternehmen aufgeteilt wird. Im Zwei-Personen-Nullsummenspiel müssen wir aufgrund der Art des Spiels nicht beide Auszahlungsmatrizen schreiben: Die Ziele sind gegensätzlich, und in unserem Beispiel enthält die Auszahlungstabelle von Firma I indirekt Informationen über die Auszahlung der Firma II. Wir zeigen zunächst beide Tabellen und dann, wie die Gleichgewichtslösung nur aus der ersten Auszahlungsmatrix ermittelt werden kann.

Strategiewahl durch Firma I:

Firma I untersucht die Ergebnisse jeder ihr offenstehenden Strategie. Das heißt, Firma I untersucht jede Zeile ihrer Auszahlungsmatrix und findet das günstigste Ergebnis der entsprechenden Strategie, da die Firma erwartet, dass der Rivale die vorteilhafteste Aktion ergreift, die ihm offensteht. Dies ist die Verhaltensregel, die durch Annahme 5 dieses Modells impliziert wird.

Somit:

Wenn Unternehmen I Strategie A 1 annimmt, ist das schlechteste Ergebnis, das es erwarten kann, ein Anteil von 0, 10 (was realisiert wird, wenn das konkurrierende Unternehmen II seine günstigste Strategie B 1 annimmt).

Wenn Firma I die Strategie A 2 annimmt, ist das schlechteste Ergebnis ein Anteil von 0, 30 (wenn der Rivale die beste Aktion für ihn annimmt, B 2 ).

Wenn Unternehmen I Strategie A 3 annimmt, wird das schlechteste Ergebnis ein Anteil von 0, 20 sein (wenn Unternehmen II die beste offene Alternative wählt, B 3 ).

Wenn Unternehmen I Strategie A 4 annimmt, wird das schlechteste Ergebnis ein Anteil von 0, 15 sein (was durch Aktion B 2 von Unternehmen II realisiert würde).

Unter all diesen Minima (d. H. Unter den oben genannten schlechtesten Ergebnissen) wählt Firm I das Maximum, das "Beste vom Schlechtesten". Dies wird als Maximin-Strategie bezeichnet, da das Unternehmen das Maximum unter den Minima auswählt. In unserem Beispiel ist die Maximin-Strategie von Firma I A 2, dh die Strategie, die einen Anteil von 0, 30 ergibt.

Strategiewahl durch Firma II:

Firm II verhält sich genauso. Der einzige Unterschied besteht darin, dass Unternehmen II die Spalten seiner Auszahlungstabelle untersucht, da diese Spalten die Ergebnisauszahlungen für jede der für Unternehmen II offenen Strategien enthalten. Für jede Strategie, d. H. Für jede Spalte, findet Firma II das schlechteste Ergebnis (unter der Annahme, dass der Rivale das Beste wählt), und unter diesen schlechtesten Ergebnissen wählt Firma II das Beste. Wenn also Firma II eine eigene Auszahlungstabelle verwendet, ist ihr Verhalten ein maximales Verhalten, das mit dem Verhalten von Firma I identisch ist.

Im Nullsummenspiel ist jedoch nur eine Auszahlungsmatrix für die Gleichgewichtslösung ausreichend. In unserem Beispiel wird die erste Auszahlungstabelle nicht nur von Firma I, sondern auch von Firma II verwendet. Wenn wir uns also auf die erste Auszahlungstabelle konzentrieren, können wir den Entscheidungsprozess von Unternehmen II wie folgt wiederholen. Firma II untersucht die Spalten der (ersten) Auszahlungsmatrix, da diese Spalten die Informationen über die Auszahlungen ihrer Strategien enthalten.

Für jede Spaltenstrategie ermittelt Firma II die maximale Auszahlung (von Firma I), da dies die schlimmste Situation für die Firma (II) ist, wenn sie die dieser Spalte entsprechende Strategie anwendet. Somit ist für Strategie B { das schlechteste Ergebnis (für Firma II) 0-40; für Strategie B 2 ist das schlechteste Ergebnis 0-30; für Strategie B 3 ist das schlechteste Ergebnis 0-50; für strategie fl 4 ist das schlechteste ergebnis 0-60; für Strategie B s ist das schlechteste Ergebnis 0-50. Unter diesen Maxima jeder Spaltenstrategie wählt die Firma II die Strategie mit minimalem Wert. Somit ist die Strategie von Firma II eine Minimax-Strategie, da sie die Wahl eines Minimums unter den Maxima-Auszahlungen beinhaltet. (Tabelle 19.4.)

Es sollte betont werden, dass, obwohl für die Auswahl der beiden Unternehmen unterschiedliche Begriffe verwendet werden (Maximalverhalten von Unternehmen I, Minimalverhalten von Unternehmen II), die Verhaltensregel für beide Unternehmen dieselbe ist: Jedes Unternehmen erwartet das Schlimmste von seinem Rivalen.

In unserem Beispiel lautet die Gleichgewichtslösung Strategie A 2 für Firma I und B 2 für Firma II. Diese Lösung ergibt Anteile 0 30 für Firma I und 0-70 für Firma II. Es ist eine Gleichgewichtslösung, weil sie von beiden Firmen bevorzugt wird. Diese Lösung wird als "Sattelpunkt" bezeichnet, und die bevorzugten Strategien A 2 und B 2 werden als "dominante Strategien" bezeichnet.

Es sollte klar sein, dass es keine solche Gleichgewichtslösung (Sattellösung) gibt, wenn es keine Auszahlung gibt, die von beiden Firmen gleichzeitig bevorzugt wird. Unter bestimmten mathematischen Bedingungen können andere Lösungen und Strategien gewählt werden. Die Analyse der resultierenden gemischten Strategien erfordert eine differenzierte Darstellung der Nützlichkeitstheorie und der Zufallsauswahl, die über den Rahmen dieses Buches hinausgeht.

B. Unsicherheitsmodell:

Die Annahme, dass jedes Unternehmen mit Sicherheit den genauen Wert der Auszahlung jeder Strategie kennt, ist unrealistisch. Die wahrscheinlichste Situation in der realen Geschäftswelt ist, dass das Unternehmen durch die Annahme einer bestimmten Strategie eine Reihe von Ergebnissen für jede Gegenstrategie des Rivalen erwarten kann, wobei jedes Ergebnis mit einer entsprechenden Wahrscheinlichkeit verbunden ist. Somit ist die Auszahlungsmatrix so aufgebaut, dass sie den erwarteten Wert jeder Auszahlung enthält.

Der Erwartungswert ist die Summe der Produkte der möglichen Ergebnisse eines Paares von Strategien (von den beiden Unternehmen übernommen), die jeweils mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert werden:

wobei gsi = das etw der n möglichen Ergebnisse der Strategie i von Unternehmen I (vorausgesetzt, Unternehmen II hat Strategie j gewählt)

PS = die Wahrscheinlichkeit des etw Ergebnisses der Strategie i

Angenommen, Firma I wählt Strategie A 1 und Firma II reagiert mit Strategie B 1 . Dieses Paar gleichzeitiger Strategien kann mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit die Anteile für Unternehmen I ergeben, wie in der zweiten Spalte von Tabelle 19.5 gezeigt. Somit ist die erwartete Auszahlung des Paares von Strategien A 1 und B 1

E (G11) = (0, 00) (0, 00) + (0, 05) (0, 05) + (0, 15) (0, 05) + ... + (0, 95) (0, 02) + (1) (0) = 0, 458

In ähnlicher Weise finden wir die erwartete Auszahlung aller Kombinationen von Strategien. In Anbetracht der Matrix der erwarteten Auszahlungen ist das Verhaltensmuster der Unternehmen dasselbe wie im Sicherheitsmodell.

Das ist:

Firma Ich nehme die Maximin-Strategie an. Es ermittelt für jede Zeile die minimale erwartete Auszahlung, und unter diesen Minima wählt das Unternehmen dasjenige mit dem höchsten Wert (das Maximum unter den Minima).

Firma II übernimmt die Minimax-Strategie. Es ermittelt für jede Spalte die maximal zu erwartende Auszahlung und unter diesen Maxima wählt Firm II das mit dem kleinsten Wert (das Minimum unter den Maxima).

Obwohl das Unsicherheits-Nullsummenspiel einfach zu sein scheint, sind seine Annahmen ziemlich streng:

1. Die Unternehmen maximieren ihre erwarteten Auszahlungen.

2. Das Nullsummenspiel geht davon aus, dass beide Unternehmen jedem Auszahlungspaar die gleiche Wahrscheinlichkeit zuweisen. Sie fällen das gleiche Urteil. Dies impliziert, dass die Unternehmen über dieselben Informationen und dieselben objektiven Kriterien verfügen müssen, um die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Auszahlungen zu bewerten. Andernfalls ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Auszahlungen nicht objektiv.

3. Die Unternehmen maximieren ihren Gesamtnutzen, und der Nutzen jeder Auszahlung ist proportional zum von der Auszahlung angenommenen Wert.

Die obigen Annahmen sind eindeutig stark und unrealistisch. Darüber hinaus ist die Grundbedingung des Nullsummenspiels, dass der „Gewinn“ eines Unternehmens dem „Verlust“ des anderen Unternehmens entspricht, in der realen Geschäftswelt selten erfüllt. Normalerweise werden die "Gewinne" nicht durch gleiche "Verluste" "ausgeglichen". Nur im Fall eines gemeinsamen Tores und im seltenen Fall einer Auslöschungstaktik haben wir ein Nullsummenspiel. In den meisten Fällen haben wir ein Spiel ungleich Nullsumme.

 

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