Perfekter Ersatz für den Verbrauch Verbraucherverhalten

Perfekte Stellvertreter :

In einigen Fällen des Verbrauchs kann es ein Verbraucher mit zwei Gütern (X und Y) vorziehen, eine der Waren, beispielsweise X, durch die andere Ware Y mit einer konstanten Rate zu ersetzen, um sein Gebrauchsniveau, dh MRS, konstant zu halten X, Y = konstant. Beispielsweise möchte er immer einen roten Stift durch einen blauen Stift ersetzen, um sich selbst auf derselben Indifferenzkurve (IC) zu halten.

In diesem Fall hängt sein Nutzen natürlich von der Gesamtzahl der Stifte ab, nicht davon, wie viele der Stifte rot und wie viele blau sind, vorausgesetzt, der Verbraucher hat keine Faszination für eine bestimmte Farbe.

Daher kann seine Utility-Funktion wie folgt geschrieben werden:

U = x + y (6, 93)

Dabei stehen x und y für die Anzahl der roten und blauen Stifte.

(6.93) ist jedoch nicht die einzige Utility-Funktion, mit der das derzeit diskutierte Präferenzmuster des Verbrauchers dargestellt werden kann. Denn jede positive monotone Transformation der Funktion kann unserem Zweck dienen. Daher könnte es auch das Quadrat der Gesamtzahl der Stifte verwenden, um seine Gebrauchsstufe zu bestimmen.

Das heißt, seine Nutzfunktion kann auch sein:

V (x, y) = (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2 (6, 94)

Es ist offensichtlich, dass (6.94) eine positive monotone Transformation von (6.93) ist. Nun sehen Sie, wie die Utility-Funktion aussehen würde, wenn der Verbraucher gutes Y durch gutes X mit einer anderen Rate als eins zu eins ersetzt. Nehmen wir zum Beispiel an, der Verbraucher ersetzt 2 Einheiten des Gutes Y durch 1 Einheit des Gutes X.

In diesem Fall ist die MRS X, y gleich 2, d. H. Die Steigung des IC = –2, und daher wäre die Gleichung des IC U 0 = 2x + y, und daher die Utility-Funktion wäre

U (x, y) = 2x + y (6, 95)

Im Allgemeinen können Präferenzen für perfekte Substitute durch eine Nutzenfunktion der Form dargestellt werden:

U (x, y) = ax + by

Hierbei sind a und b positive Zahlen, die MRS xy = a / b = konstant, die Steigung eines IC wäre - a / b = konstant. Da MRS xy = a / b ist, ist der Wert von 1 Randeinheit von Gut X für den Verbraucher gleich a / b-Einheit von Gut Y, oder der Wert von 'b'-Einheit von Gut X am Rand ist gleich zu 'einer' Einheit von gut y.

(A) Implikationen einer konstanten Grenzrate der Substitution für die Indifferenzkurven und das Verbrauchergleichgewicht :

Angenommen, der Verbraucher verwendet nur zwei Waren X und Y, die beide vom Typ MIB (More-Is-Better) sind. Eine der Standardannahmen der Theorie der Indifferenzkurve (IC) ist die Verringerung der Grenzrate der Substitution von Gut Y durch Gut X (MRS X, Y ), wenn der Verbraucher Y durch X ersetzt.

Die Axiome der MIB und der Verringerung der MRS führen zu zwei der Standardeigenschaften der ICs - die ICs sind negativ geneigt und zum Ursprung konvex. Wenn daher die MRS X, Y nicht abnimmt, wenn sie konstant ist oder zunimmt, wären die ICs negativ geneigt, aber nicht konvex zum Ursprung.

Lassen Sie uns zunächst die Auswirkungen einer konstanten MRS erörtern. Per Definition ist MRS X, Y an jedem Punkt eines IC gleich der numerischen Steigung des IC an diesem Punkt. Daher würde die Konstanz von MRS X, Y bedeuten, dass die ICs des Verbrauchers negativ geneigte gerade Linien sind, wie in den Teilen (a), (b) und (c) von Abb. 6.37 gezeigt.

Lassen Sie uns nun die Auswirkungen von negativ geneigten ICs mit gerader Linie auf das Verbrauchergleichgewicht diskutieren. Wenn die ICs konvex zum Ursprung sind, würde sich das Gleichgewicht des Verbrauchers an der Tangentialität zwischen seiner Budgetlinie und einem seiner ICs einstellen.

Wenn die ICs jedoch negativ geneigte gerade Linien sind, kann keine von ihnen einen Tangentialpunkt mit einer linearen Budgetlinie haben. Hier gibt es also kein Tangentialpunktgleichgewicht. Stattdessen gibt es hier drei verschiedene Fälle.

Wenn im ersten Fall die ICs negativ geneigte gerade Linien sind und jede von ihnen steiler als die Budgetlinie ist, wie in Abb. 6.38 (a) dargestellt, bewegt sich der Verbraucher entlang seiner Budgetlinie nach unten nach rechts Erreichen immer höherer ICs.

Schließlich wäre der Verbraucher am Eckpunkt B der Haushaltslinie mit der x-Achse im Gleichgewicht, da er sich an diesem Punkt der Haushaltslinie auf dem höchstmöglichen IC befindet, nämlich IC 4 .

Das Gleichgewicht an einem Eckpunkt wird als Ecklösung oder Grenzlösung bezeichnet. Hier bei der durch Punkt B gegebenen Ecklösung würde der Verbraucher nur gutes X und kein Y kaufen, dh er würde sein ganzes Geld für X ausgeben. Offensichtlich hätte der Verbraucher in diesem Fall eine einzigartige Gleichgewichtslösung.

Dies ist die ökonomische Interpretation, warum der Verbraucher am Eckpunkt B im Gleichgewicht wäre. Hierbei ist an jedem Punkt der Haushaltslinie die numerische Steigung eines IC oder die MRS XY oder die Bedeutung der Randeinheit von X in Bezug auf Y größer als die numerische Steigung der Haushaltslinie oder, der Marktpreis von X in Y ausgedrückt.

Andererseits wäre die Bedeutung der Randeinheit von Gut Y für X geringer als der Marktpreis von Y für X. Daher würde der verbrauchsmaximierende Verbraucher seinen Kauf von Gut X und X monoton weiter steigern Senkung seines Kaufpreises für gutes Y entlang seiner Budgetlinie, bis er bei Punkt B das Äußerste erreicht.

Im zweiten Fall, der genau das Gegenteil des ersten Falles ist, wenn die ICs mit der negativ geneigten geraden Linie flacher als die Budgetlinie sind, wie in Abb. 6.38 (b) gezeigt, bewegt sich der Verbraucher aufwärts nach links Bei seiner Budgetlinie würde er immer höhere ICs erreichen, und schließlich wäre der Verbraucher am Eckpunkt A der Budgetlinie mit der y-Achse im Gleichgewicht, da er sich an diesem Punkt auf dem befinden würde höchstmöglicher IC, nämlich IC 4 .

Daher hätte es auch in diesem Fall eine einzigartige Ecklösung. Am Eckpunkt A würde der Verbraucher nur Y (OA von Y) und kein X kaufen.

Die ökonomische Interpretation, warum der Verbraucher am Punkt A im Gleichgewicht sein würde, ist, dass hier, da die ICs flacher als die Budgetlinie sind, die Bedeutung der Randeinheit von X in Bezug auf Y an jedem Punkt der Budgetlinie, ist kleiner als der Marktpreis von X in Bezug auf Y, und daher ist die Bedeutung der Randeinheit von Y in Bezug auf X größer als der Marktpreis von Y in Bezug auf X.

Daher würde der Verbraucher hier seinen Einkauf von Y weiter erhöhen und seinen Einkauf von X verringern, bis er den Punkt A erreicht.

Schließlich würde im dritten Fall, wenn die negativ geneigten geraden Linien-ICs parallel zur Budgetlinie sind, einer der ICs mit der Budgetlinie zusammenfallen, beispielsweise IC 3 in Abb. 6.38 (c). Dieser IC (dh IC3) ist die höchste Kurve, die der Verbraucher unter Berücksichtigung seiner Budgetbeschränkungen erreichen kann. Jeder Punkt auf diesem IC, der auch ein Punkt auf der Haushaltslinie ist, kann als Gleichgewichtspunkt des Verbrauchers angesehen werden.

Daher hat der Verbraucher hier keine eindeutige Gleichgewichtslösung - er kann eine große Anzahl von Gleichgewichtspunkten haben. Alle Gleichgewichtspunkte (auf der Haushaltslinie), die die beiden Eckpunkte ausschließen, sind keine Ecklösungen. An diesen Punkten würde der Verbraucher eine Kombination beider Waren kaufen.

Die ökonomische Interpretation dieses dritten Falles kann so gegeben werden. Da die numerische Steigung des IC gleich der der Haushaltslinie ist, ist die marginale Bedeutung von X (oder Y) in Bezug auf Y (oder X) gleich dem Marktpreis von X (oder Y). In Bezug auf Y (oder X) ist der Verbraucher an jedem Punkt des IC, der mit der Budgetlinie übereinstimmt, mit all diesen Punkten gleichermaßen zufrieden.

Jeder Punkt auf diesem IC, der seinem Budget unterliegt, kann sein Gleichgewichtspunkt sein.

Aus der Analyse geht daher hervor, dass bei einer konstanten MRS die ICs des Verbrauchers geradlinig negativ geneigt sind. Bezüglich seines Gleichgewichts werden hier drei verschiedene Fälle erhalten.

In den ersten beiden Fällen hätte der Verbraucher Eckgleichgewichtslösungen - er würde im ersten Fall nur X und im zweiten Fall nur Y kaufen. Im dritten Fall hätte der Verbraucher keine eindeutige Lösung. Er kann eine große Anzahl von Lösungen haben - Ecke oder Nicht-Ecke.

(B) Die Art des Verbrauchergleichgewichts und die Preis-, Einkommens- und Substitutionseffekte :

Bei negativ geneigten geraden ICs wird, wenn die ICs steiler als die Budgetlinie sind, ein Gleichgewicht des Verbrauchers am Eckpunkt der Budgetlinie mit der horizontalen Achse erreicht. Zu diesem Zeitpunkt kauft der Verbraucher nur gutes X und kein Y. Beispielsweise wurde in Abb. 6.39 mit der Haushaltslinie A 1 B 1 das Verbrauchergleichgewicht zu dem Zeitpunkt B 1 erreicht, an dem der Verbraucher OB 1 von X kauft und Null von Y.

Steigt nun das Geldeinkommen des Verbrauchers bei gleichbleibenden Warenpreisen, verschiebt sich seine Haushaltslinie parallel von A 1 B 1 nach A 2 B 2 nach rechts und seine Gleichgewichtsecklösung von Punkt B 1 nach Punkt B 2 .

Wenn das Geldeinkommen des Verbrauchers und auch sein Realeinkommen steigen, wechselt er vom unteren IC, IC 1, zum oberen IC, IC 2 . Natürlich gibt er sein ganzes Geld für X aus, um OB 2 von X und nichts von Y zu kaufen.

Hier kann der ICC des Verbrauchers erhalten werden, indem der Ursprungspunkt O und die Punkte B 1, B 2 usw. verbunden werden. Offensichtlich wäre sein ICC die horizontale Achse oder die x-Achse selbst. Auch hier, wenn sein Geldeinkommen (M) Null ist, kauft er Null von beiden Waren am Ursprungsort O.

Wenn M steigt, steigt sein Kauf von X proportional, da er sein gesamtes Geld (M) für X ausgibt und der Preis von X konstant bleibt. Deshalb wäre seine Engel-Kurve eine nach oben geneigte Gerade durch den Ursprung, wobei die Höhe dieser Kurve vom Preis von X abhängt - die Höhe ist höher, je niedriger der Preis von X.

Versuchen Sie nun, den Preiseffekt (PE) im konstanten MRS-Fall und die Aufteilung dieses Effekts in einen Substitutionseffekt (SE) und einen Einkommenseffekt (IE) mit Hilfe von Abb. 6.41 zu erklären. Nehmen wir an, dass die Haushaltslinie des Verbrauchers anfänglich A 1 B 1 ist und sein Gleichgewicht am Punkt B 1 auftritt - er kauft OB 1 von X und Null von Y auf IC 2 .

Nehmen wir nun an, dass der Preis von X sinkt, ceteris paribus, und seine Budgetlinie von A 1 B 1 nach A 1 B 2 wechselt . Sein Gleichgewichtspunkt wäre jetzt der Eckpunkt B 2 . Er bewegt sich jetzt zu einem höheren IC, nämlich IC 3, da sein reales Einkommen gestiegen ist, und er kauft jetzt B 1 B 2 mehr von X wegen des PE und kauft weiterhin null von Y. Hier der Preiseffekt ist die Bewegung in seinem Gleichgewichtspunkt von B 1 nach B 2 .

Um den Substitutionseffektanteil des Preiseffekts zu kennen, wenden wir nun die Slutsky-Ausgleichsschwankung an, indem wir sein Geldeinkommen um B 1 B 2 in Bezug auf X oder A 1 A 2 in Bezug auf Y reduzieren, so dass sein Die Haushaltslinie kann sich parallel nach links von A 1 B 2 zu A 2 B 1 verschieben, und er kann möglicherweise die ursprüngliche Kombination B 1 kaufen. Wenn seine Haushaltslinie jedoch A 2 B 1 ist, wäre er auch am Punkt B 1 im Gleichgewicht.

Vergleicht man seinen anfänglichen Gleichgewichtspunkt B 1 mit seinem neuen Gleichgewichtspunkt B 1, so stellt sich heraus, dass der Substitutionseffekt auf seinen Kaufplan Null ist. Dies liegt daran, dass hier keine Substitution möglich ist, da der Verbraucher immer Null von Y kauft und sein gesamtes Einkommen für X ausgibt (was auch immer seine Budgetlinie sein mag).

Geben Sie ihm nun das von ihm abgezogene Geldeinkommen zurück, seine Haushaltslinie würde sich parallel von A 2 B 1 zu A 1 B 2 verschieben und sein Gleichgewichtspunkt würde sich von B 1 zu B 2 bewegen - diese Bewegung repräsentiert das Einkommen bewirken.

Die gleiche Bewegung repräsentiert den Preiseffekt. Daher wären hier Einkommenseffekt und Preiseffekt identisch. Dies ist offensichtlich, da es keinen Substitutionseffekt gibt.

Es sei hier angemerkt, dass im vorliegenden Fall sowohl die Einkommens-Verbrauchs- als auch die Preis-Verbrauchskurve die horizontale (x-) Achse selbst sind, da sich infolge von Einkommens- und Preisänderungen der Gleichgewichtspunkt des Verbrauchers verschiebt entlang der x-Achse.

(C) Preis-Nachfrage-Beziehung bei konstanter MRS:

Bei konstanter MRS ergeben sich folgende Bedarfsrelationen:

(i) Wenn die Haushaltslinie flacher ist als die Indifferenzkurven (ICs), würde der Verbraucher sein gesamtes Geldeinkommen (M) für gutes X ausgeben, dh seine Nachfrage nach gutem X wäre

x = M / p x v (6, 97)

Da M konstant ist, gilt Gl. (6.97) gibt an, dass die Nachfragekurve für gutes X (d x d x ) in diesem Fall eine rechteckige Hyperbel wäre, wie in Abb. 6.42 gezeigt.

(ii) Wenn die ICs flacher als die Budgetlinie sind, würde der Verbraucher sein ganzes Geld für Y ausgeben und um jeden Preis null von gutem X verlangen, dh

x = 0 (6, 98)

Gleichung (6.98) gibt die Nachfragekurve (d x d x ) für gutes X an, in diesem Fall wäre die p x -Achse selbst (Abb. 6.43).

(iii) Wenn die Neigung der Haushaltslinie mit der der integrierten Schaltungen übereinstimmt, stimmt eine der integrierten Schaltungen mit der Haushaltslinie überein. In diesem Fall kann jeder Punkt auf der Haushaltslinie der Gleichgewichtspunkt des Verbrauchers sein, so dass die Forderung des Verbrauchers nach Gut X eine beliebige Größe zwischen Null und M / p x zum gegebenen Zeitpunkt p x sein kann (Abb. 6.44), Wir würden haben

X = eine beliebige Größe zwischen 0 und M / p X, dh 0 ≤ x ≤ M / p X ……. (6, 99)

Gleichung (6.99) gibt die Nachfragekurve (d x d x ) an. In diesem Fall wäre die Kurve die in Abb. 6.44 angegebene - sie wäre eine horizontale Gerade auf dem Niveau von p x, vorbehaltlich von x ≤ M / p X

Ein interessanter Sonderfall der Preis-Nachfrage-Beziehung in dem konstanten MRS-Präferenzmuster würde erhalten werden, wenn die MRS des Verbrauchers X, Y = 1 ist, dh wenn die numerische Steigung seiner ICs gleich 1 ist.

Hier werden drei Fälle erhalten:

(a) Für p x > p Y wäre die Budgetlinie steiler als die ICs, und die Gleichgewichtslösung würde in der oberen Ecke der Budgetlinie erhalten, dh der Verbraucher würde eine Nullmenge von Gut X kaufen, dh ist die vertikale (p x ) Achse von Abb. 6.45 die Nachfragekurve des Verbrauchers für gutes X.

(b) Für p x = P y wäre die Budgetlinie parallel zu den ICs - die numerische Steigung beider wäre gleich 1. Daher wäre die Nachfrage nach X bei jedem p x irgendetwas zwischen Null und M / p X. In diesem Fall wäre die Nachfragekurve für gutes X eine horizontale Gerade auf dem Niveau von p x über 0 ≤ x ≤ M / p X = M / p Y (p X = p Y ).

(c) Für p x <p y wäre die Budgetlinie flacher als die Indifferenzkurven, wobei ihre numerische Steigung kleiner als 1 wäre. Hier wäre bei jedem p x die Nachfrage des Verbrauchers nach X M / p X, dh

x = M / p X.

oder p x .x = M = konstant. In diesem Fall wäre die Nachfragekurve des Verbrauchers für X eine rechteckige Hyperbel.

Man erhält also, dass unter MRS X, Y = 1, die Verbrauchernachfragekurve für gutes X wie in Abb. 6.45 d x d x wäre - zunächst hätte die Kurve ein vertikales Segment für p X > P Y Dann hätte es ein horizontales Segment für p x = p Y, und schließlich hätte die Kurve ein rechteckiges Hyperbel-Segment für p X <p Y.

Die Preis-Nachfrage-Relationen zwischen der Nachfrage nach Gut Y und seinem Preis können auf die gleiche Weise erhalten werden wie die in-Relationen für Gut X.

(D) Die Einkommens-Nachfrage-Beziehung, wenn die MRS X, Y konstant ist :

Von,

x = M / p x [Gleichung (6.97)]

es wird erhalten, dass p x konstant bleibt, wenn M (Geldeinkommen) zunimmt, x (Nachfrage nach gutem X) ebenfalls zunimmt und x proportional zu M ist, dh wenn M t-mal zunimmt (wobei t eine positive reelle Zahl ist), x erhöht auch das t-fache.

Es sei hier angemerkt, dass Gleichung (6.97) die Nachfragekurve für gutes X ist, wenn M unverändert bleibt - es wäre dann eine Beziehung zwischen p x und x; und die gleiche Gleichung ist die Engel-Kurve für gutes X, wenn p x unverändert bleibt - es wäre dann eine Beziehung zwischen M und x.

Wie aus Gleichung (6.97) hervorgeht, ist die Engel-Kurve, die die Beziehung zwischen M und x darstellt, eine gerade Linie und misst M entlang der horizontalen Achse und x entlang der vertikalen Achse, dann wäre die Steigung der Engel-Kurve gleich 1 / p x = positiv [Abb. 6, 46 (a)],

Wenn die ICs flacher als die Budgetlinie sind und das Gleichgewicht eine Eck- oder Grenzlösung auf der y-Achse ist, wäre die Nachfrage des Verbrauchers nach gutem X gleich Null, was auch immer sein Einkommen sein mag. In diesem Fall ist das Verhältnis von Einkommen und Nachfrage also

x = 0 [(6, 98)]

bei jedem M (Einkommen), das auch die Gleichung der Engel-Kurve für gutes X ist. Messen Sie x entlang der vertikalen Achse und M entlang der horizontalen Achse, dann wäre die Engel-Kurve in diesem Fall die horizontale (M) Achse selbst [ Feige. 6, 46 (b)].

Wenn die integrierten Schaltkreise parallel zur Haushaltslinie verlaufen, befindet sich der Verbraucher schließlich an jedem Punkt der Haushaltslinie oder auf der Indifferenzkurve, die zufällig mit der Haushaltslinie übereinstimmt, im Gleichgewicht.

In diesem Fall kann bei jedem gegebenen M die Nachfrage des Verbrauchers nach gutem X einen beliebigen Wert zwischen Null und M / p x annehmen. Daher wäre in diesem Fall die Engel-Kurve [in Abb. 6.46 (c) gezeigt] eine vertikale Gerade bei gegebenem M = M̅ über den Bereich 0 ≤ x ≤ M̅ / p x .

Die horizontalen oder vertikalen geraden Indifferenzkurven :

Wenn einer der beiden Waren, die der Verbraucher kauft, „mehr ist besser“ und der andere weder „mehr ist besser“ (MIB) noch „mehr ist schlechter“ (MIW) ist, würde er dies tun Seine ICs müssen horizontale oder vertikale gerade Linien sein. Angenommen, ein gutes Y, das entlang der vertikalen Achse gemessen wird, ist ein MIB, und ein gutes X, das entlang der horizontalen Achse gemessen wird, ist weder ein MIB noch ein MIW, dh MU X = 0 und MU Y > 0.

In diesem Fall führt mehr von gut Y zu einer höheren Zufriedenheit des Verbrauchers, aber mehr oder weniger von gut X macht keinen Unterschied zu seiner Zufriedenheit. Daher sind die ICs des Verbrauchers hier horizontale gerade Linien wie die in Abb. 6.47 (a) gezeigten.

Wenn sich der Verbraucher entlang eines bestimmten IC von einem Punkt zu einem anderen bewegt, z. B. wenn er sich von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B bewegt, oder C entlang eines bestimmten IC, z. B. IC 2, dann hätte er mehr oder weniger von gutem X, was seine Zufriedenheit nicht ändern würde, da MU X = 0.

Wenn er sich andererseits von A nach B oder nach C bewegt, würde sich die Menge von Y nicht ändern. Daher würde sein Zufriedenheitsgrad an diesen Punkten konstant bleiben, obwohl MU Y > 0 ist. Das heißt, der Verbraucher würde zwischen den Punkten A, B und C entlang des IC 2, der daher einer seiner ICs ist, gleichgültig sein.

In Abb. 6.47 (a) ist die Verbraucherkarte horizontal zu den ICs. Beachten Sie, dass in dieser Indifferenzkarte ein höherer IC ein höheres Maß an Nützlichkeit darstellt.

Wenn sich der Verbraucher beispielsweise vertikal von Punkt A auf IC 2 zu Punkt D auf einem höheren IC bewegt, d. H. IC 3, steigt sein Zufriedenheitsgrad, weil er am Punkt D im Vergleich zu A a hätte größere Menge der MIB gut, Y, zusammen mit der gleichen Menge von gut X. (Natürlich war es hier auch dann egal, wenn es eine Änderung in der Menge von X gegeben hätte, da MU X = 0)

Wenn die ICs negativ geneigte gerade Linien sind und flacher als die Budgetlinie des Verbrauchers sind, wäre seine Gleichgewichtslösung eine Eck- oder Grenzlösung am Eckpunkt der Budgetlinie mit der vertikalen Achse.

Auch hier passiert dasselbe. Da die ICs am flachsten bis zur Grenze sind und horizontale gerade Linien sind, würde die Gleichgewichtslösung des Verbrauchers am Eckpunkt der Budgetlinie mit der vertikalen Achse erhalten.

In Abb. 6.47 (a) ist dies Punkt L, an dem die Haushaltslinie den Verbraucher zum höchstmöglichen IC führt, nämlich IC 4 . Zu diesem Zeitpunkt würde der Verbraucher nur Y und kein X kaufen. Die Wirtschaftlichkeit dieser Entscheidung beruht auf unseren Annahmen von MU X = 0 und MU Y > 0.

In einer ähnlichen Analyse ist zu sehen, dass, wenn MU X > 0 und MU Y = 0, die ICs des Verbrauchers vertikale gerade Linien sind, wie in Fig. 6.47 (b) gezeigt. In diesem Fall wird von zwei ICs der eine, der sich rechts vom anderen befindet, einen höheren Grad an Zufriedenheit darstellen. Zum Beispiel der Nutzwert von IC 4 > der Nutzwert von IC 3 > der Nutzwert von IC 2 > der Nutzwert von IC 1 .

Dies liegt daran, dass der Verbraucher, wenn er sich horizontal von einem Punkt auf einem IC zu einem anderen Punkt auf einem IC nach rechts bewegt, mehr von Gut X hat, wobei die Menge an Gut Y gleich bleibt. Da MU X > 0 und MU Y = 0 ist, würde er dabei eine höhere Zufriedenheit erreichen.

Wenn die ICs eine negative Neigung aufweisen und steiler als die Budgetlinie sind, ist der Gleichgewichtspunkt des Verbrauchers der Eckpunkt der Budgetlinie mit der horizontalen Achse. In dem Fall wäre der Gleichgewichtspunkt des Verbrauchers der Eckpunkt M der Haushaltslinie mit der horizontalen Achse, da die ICs der vertikalen geraden Linie bis zur Grenze am steilsten sind.

Zu diesem Zeitpunkt wäre der Verbraucher auf dem höchstmöglichen IC, nämlich IC 4, und er würde nur gutes X und kein Y kaufen. Die wirtschaftliche Interpretation, warum er nur X und kein Y kaufen würde, ergibt sich aus der Tatsache, dass hier es wird angenommen, dass MU X > 0 und MU Y = 0 ist.

Erhöhte marginale Substitutionsrate :

Ein Fall kann wie folgt beobachtet werden: Ein Verbraucher mit zwei Gütern mag es, mehr von beiden Gütern zu haben, dh, beide Güter sind für ihn MIBs, aber er mag es nicht, beide Güter gleichzeitig zu haben, z. B. er Vielleicht möchten Sie sowohl Tee als auch Kekse, aber nicht beide gleichzeitig. In einem solchen Fall hätte der Verbraucher offensichtlich nur eine der beiden Waren und keine der anderen.

Um in einem solchen Fall zum Gleichgewichtspunkt des Verbrauchers zu gelangen, ist ganz am Anfang zu beachten, dass hier, wenn die beiden Güter X und Y sind, der Verbraucher sich aufgrund der Art des Problems entlang seiner Gleichgültigkeit bewegt Kurve möchte auf eine der Waren, z. B. Y, verzichten, um eine weitere Einheit des anderen Gutes, X, mit zunehmender Geschwindigkeit zu haben, dh hier die marginale Substitutionsrate von X für Y (MRS X, Y ) würde zunehmen, wenn der Verbraucher weiterhin Y durch X ersetzt. Mit anderen Worten, dies ist ein Fall, in dem die MRS erhöht wird, im Gegensatz zu unserer üblichen Annahme, die MRS zu verringern.

(A) Implikationen der Erhöhung der MRS für die Indifferenzkurven und das Verbrauchergleichgewicht :

Untersuchen wir nun die Auswirkungen einer Erhöhung der MRS auf die Analyse der Indifferenzkurven. Wenn die MRS X, V zunimmt, während der Verbraucher gutes Y durch gutes X ersetzt, wären die ICs des Verbrauchers nicht konvex zum Ursprung.

Da MRS X, Y an jedem Punkt auf einem IC gleich der numerischen Steigung der Kurve an diesem Punkt ist, impliziert das Erhöhen von MRS XY, dass der Verbraucher immer mehr von X und immer weniger von Y hat, dh wie er Bewegt sich der IC nach unten, nimmt die numerische Steigung der Kurve zu, dh die Kurve wird steiler, was uns ergibt, dass die ICs hier konkav zum Ursprung sind.

Nun wollen wir sehen, was diese Konkavität für das Gleichgewicht des Verbrauchers bedeutet. Der Tangentialpunkt ist der Zustand erster Ordnung (FOC) und die Konvexität zum Ursprung der ICs ist der Zustand zweiter Ordnung (SOC) für das Verbrauchergleichgewicht oder die Maximierung des Nutzens.

Wenn der FOC am Tangentialpunkt zwischen der Haushaltslinie und einem IC erfüllt ist, die ICs jedoch konkav sind, dh der SOC nicht erfüllt ist, ist der Tangentialpunkt nicht der Maximumpunkt Nutzen, eher wäre es der Punkt des minimalen Nutzens.

Es ist in jedem Teil von Abb. 6.48 zu sehen. Hier ist der Tangentialpunkt E auf der Haushaltslinie LM nicht der Nutzenmaximierungspunkt, da der Verbraucher, wenn er sich entlang seiner Haushaltslinie abwärts nach rechts oder aufwärts nach links von dem Punkt E bewegt, zu immer höheren ICs übergeht.

Daher ist der Tangentialpunkt E auf seiner Budgetlinie nicht der Punkt, an dem der Nutzen maximiert wird, sondern der Punkt, an dem der Nutzen minimiert wird. Der Verbraucher kann zu diesem Zeitpunkt nicht im Gleichgewicht sein. Also würde er diesen Punkt verlassen und entlang seiner Budgetlinie nach unten nach rechts oder nach oben nach links vorgehen und zu immer höheren ICs übergehen.

Letztendlich würde der Verbraucher den Punkt M auf der x-Achse oder den Punkt L auf der y-Achse erreichen. Nun müsste er die Zufriedenheitsgrade an den Punkten M und L vergleichen. Hier ist in Abb. 6.48 (a) zu sehen, dass der Punkt M auf einem höheren IC liegt, nämlich IC 4 als der Punkt L, der liegt auf IC 3 .

Daher wäre der Verbraucher in dieser Figur letztendlich am Punkt M auf IC 4 im Gleichgewicht. Da der Punkt M ein Eckpunkt der Haushaltslinie ist, gibt es hier eine Ecklösung. Am Punkt M würde der Verbraucher nur gutes X (OM von X) und kein Y kaufen. Das Gleichgewicht ist hier jedoch ein einzigartiges Gleichgewicht.

Wiederum liegt in Fig. 6.48 (b) der Punkt L auf einem höheren IC, nämlich IC 4, als der Punkt M, der auf IC 3 liegt . Daher wäre in dieser Figur der Verbraucher am Eckpunkt L auf dem IC 4 im Gleichgewicht. Auch hier gibt es also eine einzigartige Ecklösung. An dieser Ecke würde der Verbraucher nur gutes Y (OL von Y) und kein X kaufen.

Schließlich liegen in Fig. 6.48 (c) beide Eckpunkte L und M auf der Haushaltslinie auf demselben IC, nämlich IC 4 . Daher ist der Verbraucher in diesem Fall zwischen den Punkten L und M gleichgültig - beide Punkte können sein Gleichgewichtspunkt sein, da beide auf dem höchstmöglichen IC liegen, das seinem Budget unterliegt.

Wenn er sich entscheidet, an Punkt M zu bleiben, kauft er nur X und wenn er sich dafür entscheidet, an Punkt L zu bleiben, kauft er nur Y. Daher hat der Verbraucher in diesem dritten Fall eine Ecklösung, aber die Lösung ist nicht einzigartig.

Es kann nun versucht werden, das Entscheidungsverhalten des Verbrauchers in diesem Fall ökonomisch zu interpretieren. Wenn die MRS zunimmt, wären seine ICs konkav zum Ursprung und er hätte eine Eckgleichgewichtslösung.

Da die ICs konkav zum Ursprung sind, stellt der Verbraucher fest, dass die ICs steiler sind als die Budgetlinie, dh die marginale Bedeutung von X in Bezug auf X, wenn er den Tangentenpunkt E verlässt und sich entlang seiner Budgetlinie nach unten bewegt von Y ist größer als der Marktpreis von X in Bezug auf Y. Daher möchte er mehr von X kaufen und sich immer noch nach rechts abwärts bewegen.

Der Prozess würde fortgesetzt, bis der Verbraucher den Eckpunkt M erreicht, an dem er sein gesamtes Geld für X ausgibt und die maximal mögliche Menge von X (OM) und natürlich Null von Y kauft.

Wenn sich der Verbraucher entlang seiner Budgetlinie nach links nach oben bewegt und dabei den Punkt E verlässt, stößt er auf ICs, die flacher als die Budgetlinie sind, dh die marginale Bedeutung von Y für X ist größer als der Marktpreis von Y in Bezug auf X.

Der Verbraucher möchte nun also mehr Y kaufen und bewegt sich entlang seiner Budgetlinie nach oben nach links, bis er den Eckpunkt L erreicht, an dem er sein gesamtes Geld für Y ausgibt und den maximal möglichen Betrag von Y (OL) kauft ) und Null von X.

Standardindifferenzkurven, die zu ungewöhnlichen Ergebnissen führen :

Manchmal kann es vorkommen, dass die Indifferenzkurven alle ihre "Standard" -Eigenschaften besitzen, jedoch nicht zu einer Tangentialität oder inneren Gleichgewichtslösung führen.

Wenn die negativ geneigten, zum Ursprung konvexen und sich nicht schneidenden ICs, die auf allen Standardaxiomen und Präferenzannahmen basieren, über ihre gesamte Länge steiler oder flacher sind als die Budgetlinie, wäre die Gleichgewichtslösung eine Ecke Lösung, dh der Verbraucher würde in diesem Fall nur eine der Waren kaufen.

Der Fall wird anhand der Abbildungen 6.49 (a) und (b) veranschaulicht. In Abb. 6.49 (a) sind die ICs steiler als die Budgetlinie. Hier ist an jedem Punkt der Haushaltslinie die Grenzbedeutung von Gut X in Bezug auf Gut Y größer als der Marktpreis von X in Bezug auf Y, und die Grenzbedeutung von Y in Bezug auf X ist kleiner als der Marktpreis von Y in Bezug auf X.

Daher würde der Verbraucher seinen Kauf von X weiter erhöhen und den von Y verringern, dh er würde sich entlang seiner Budgetlinie nach rechts abwärts bewegen, bis er die Ecke M der Budgetlinie erreicht. Am Punkt M würde er nur gutes X kaufen und nichts für gutes Y ausgeben.

Andererseits sind in Abb. 6.49 (b) die ICs flacher als die Budgetlinie. Daher wäre hier an jedem Punkt der Haushaltslinie die marginale Bedeutung von Gut X für Gut Y geringer als der Marktpreis von X für Y und die marginale Bedeutung von Y für X wäre größer als der Marktpreis von Y in Bezug auf X.

Jetzt würde der Verbraucher seinen Einkauf von Y weiter erhöhen und den von X verringern, dh er würde sich entlang seiner Budgetlinie nach links oben bewegen, bis er die Ecke L erreicht. Bei Punkt L würde er nur Gutes kaufen Y und nichts für gutes X ausgeben.

Die positiv indifferenten Kurven:

Von den beiden Waren (z. B. X und Y), die der Verbraucher kauft, ist eine mit MU> 0 „mehr ist besser“ (MIB) und die andere mit MU <0 „mehr ist schlechter“ (MIW) Die ICs des Verbrauchers wären positiv geneigt. Angenommen, gutes X ist eine MIB mit MU X > 0 und gutes Y ist ein MIW mit MU Y <0.

Wenn der Verbraucher von den beiden Punkten A und B auf einem beliebigen IC, z. B. IC 3 in Abb. 6.50, mehr von X bei B hat, sollte er auch mehr von Y bei B haben, um gleichgültig zu sein zwischen den beiden Punkten. Denn eine Verbesserung seines Zufriedenheitsniveaus, die durch mehr von X ermöglicht wird, sollte gebührend aufgehoben werden, indem sein Zufriedenheitsniveau in gleichem Maße durch eine Erhöhung seines Verbrauchs des MIW-Gutes Y verschlechtert wird.

Daher wäre der IC in diesem Fall zwischen einem MIB-Gut und einem MIW-Gut positiv geneigt. Die Indifferenzkarte eines Verbrauchers aus positiv geneigten ICs ist in Abb. 6.50 dargestellt. Beachten Sie nun, dass in Abb. 6.50 ein weiter von der y-Achse entfernter IC ein höheres Maß an Zufriedenheit darstellt, wenn gut X eine MIB und gut Y ein MIW ist.

Wenn sich der Verbraucher nämlich horizontal vom Punkt B auf dem IC 3 zum Punkt C auf dem IC 4 bewegt, hat er am letzteren Punkt mehr von dem MIB-Gut X zusammen mit einer unveränderten Menge des MIW-Guts Y Hier würde IC 4 eine höhere Zufriedenheit darstellen als IC 3 .

Wenn andererseits X ein MIW-Gut und Y ein MIB-Gut ist, würde ein weiter von der x-Achse entfernter IC ein höheres Maß an Zufriedenheit darstellen. Wenn sich der Verbraucher beispielsweise vom Punkt D auf IC 5 zum Punkt C auf IC 4 bewegt, hat er auf IC 4 mehr von der MIB-Ware Y zusammen mit der gleichen Menge der MIW-Ware X dh hier würde IC 4 eine höhere Zufriedenheit darstellen als IC 5 .

Dass der IC zwischen einer MIB (mit MU> 0) und einem MIW (mit MU <0) positiv geneigt wäre, lässt sich mathematisch leicht feststellen.

Die Steigung eines IC ist:

Die Gleichgewichtslösung :

Aus Abb. 6.50 ist ersichtlich, dass die Gleichgewichtslösung bei positiv geneigten ICs eine Ecklösung wäre. Wenn MU X > 0 und MU Y <0, dh wenn ein weiter von der y-Achse entfernter IC ein höheres Maß an Zufriedenheit darstellt, dann würde ein Gleichgewicht am Eckpunkt M auf der Budgetlinie mit der x-Achse auftreten. Der Punkt M bringt den Verbraucher zu der Kurve IC 6, die von der y-Achse abhängig von seinem Budget am weitesten entfernt ist.

Zu diesem Zeitpunkt würde der Verbraucher nur gutes X und kein Y kaufen. Dies liegt einfach daran, dass X hier ein MIB-Gut und Y ein MIW-Gut ist. Wenn andererseits MU X <0 und MU Y > 0, dh wenn ein weiter von der x-Achse entfernter IC ein höheres Maß an Zufriedenheit darstellt, dann würde ein Gleichgewicht am Eckpunkt L auf der Haushaltslinie mit dem stattfinden y-Achse.

Der Punkt L bringt den Verbraucher zu der Kurve IC 1, die von der x-Achse abhängig von seinem Budget am weitesten entfernt ist. Zu diesem Zeitpunkt würde der Verbraucher nur gutes Y und kein X kaufen. Dies liegt daran, dass hier Y ein MIB-Gut und X ein MIW-Gut ist.

Die Einkommens-, Substitutions- und Preiseffekte für die Präferenzmuster mit einer Ecklösung :

If the equilibrium solution is obtained at the corner of the budget line with the horizontal axis along which the quantity of good X is measured, then the following will be obtained:

(i) The substitution effect of a change in the price of X upon its purchase is zero.

(ii) Therefore, the price effect of this price change is identical with its income effect.

(iii) That is why both the income-consumption and price-consumption curves would be identical and would coincide with the horizontal axis.

The substitution is not obtained individually, income and price effects, and the ICC and the PCC is not derived because all these characteristics would be the same in these cases and mentioned in (i), (ii) and (iii) above.

The Negatively Sloped ICs with the Higher Curve Representing a Lower Level of Utility :

If both the goods (say, X and Y) that the consumer purchases are more-is-worse (MIW), then the consumer's ICs would be negatively sloped with the higher curve (ie the one farther from the origin) representing a lower level of satisfaction.

In this case, the ICs would be negatively sloped because if the consumer moves from one point to another on the same curve getting a larger quantity of good X, and therefore, obtaining a lower level of satisfaction at the second point, then the quantity of good Y at this point must be appropriately smaller so that his level of satisfaction might increase to the initial level and he might be indifferent between the two points.

The negative slope of the ICs can be easily established if MU X < 0 and MU Y < 0 in eq. (6.8). Also, in this case, a higher IC would represent a lower level of satisfaction. This is because, as the consumer moves horizontally or vertically from a lower IC to a higher IC, he would obtain more of the MIW good, X or Y, the amount of the other MIW good, Y or X, remaining unchanged.

Now, assuming that as the consumer gets more of an MIW good, its negative utility on the margin increases (from, say, -2 to -3), then the MRS X, Y in this case where both the goods are MIWs, would increase as the consumer substitutes X for Y, ie, his ICs here would be concave to the origin. Therefore, his indifference map consisting of these ICs would be like the one shown in Fig. 6.51.

The Equilibrium Solution :

If the consumer is subject to no constraint, then the maximum amount of utility that he would be willing to obtain from the two goods, is zero, because, here both the goods give him negative utility. Therefore, and so the equilibrium point of the consumer here would be the point of origin (x = 0, y = 0) in Fig. 6.51. Since both the goods give him a negative utility, he would prefer not to buy the goods.

On the other hand, if, theoretically, he is constrained to spend a certain sum of money on the two goods at given prices, he would have a budget line like LM in Fig. 6.51. Now, if the consumer's indifference map is the one given in Fig. 6.51, then his equilibrium point would be the point of tangency E between the curve IC 2 and his budget line.

Since the ICs here are concave to the origin, the point of tangency E takes the consumer to the lowest possible IC subject to his budget, ie, to the highest possible level of utility, for here a lower IC represents a higher level of utility.

It may be noted here that the highest possible level of utility here would be negative with minimum absolute value, since the MUs for both the goods are negative. It may also be noted here that although the ICs here are concave to the origin, the equilibrium solution obtained here is not a corner solution—it is an interior solution.

Implications for the Shape of the Indifference Curves and the Equilibrium of the Consumer if the Marginal Utility of the Goods becomes Negative Eventually :

One of the standard assumptions of the indifference curve theory is that both the goods, say, X and Y, that the consumer uses are of more-is-better (MIB) type, ie, the MUs of both the goods are positive. On the basis of this assumption, the standard properties of the ICs is obtained, viz., the ICs are negatively sloped curves.

Now, if this assumption is restricted to one where it is said that each good is an MIB for the consumer up to a certain quantity and then it would have negative MU for him, ie, the good would become a more-is-worse (MIW) good, then the standard IC analysis would change in important ways. In order to proceed further, remember certain points.

Refer to Fig. 6.52. Suppose that good X is an MIB for the consumer up to the quantity x 0 and for x > x 0, good X becomes an MIW. Similarly, good Y is an MIB for the consumer up to y = y 0 and for y > y 0, Y becomes an MIW.

In Fig. 6.52, the commodity space has been divided into four quadrants with the help of the vertical and the horizontal lines drawn at x = x 0 and y = y 0, respectively.

It follows from the assumptions:

(i) In quadrant I, both the goods are MIBs. So, the ICs going through the points in this quadrant would be negatively sloped, the higher IC representing a higher level of utility,

(ii) In quadrant II, one of the goods, X, becomes an MIW, although Y is an MIB.

Therefore, the portion of an IC passing through the points in this quadrant would be positively sloped, the higher (farther from the x-axis) IC here representing a higher level of utility,

(iii) In quadrant III, both the goods are MIWs. Therefore, the ICs passing through the points in this quadrant would be negatively sloped, but a higher IC here would represent a lower level of utility,

(iv) In quadrant IV, one of the goods, Y, is an MIW, but X is an MIB. So, here also, like quadrant II, the ICs would be positively sloped, but a higher IC (one farther from the x-axis) would represent a lower level of utility.

It follows from above that ICs under the given assumptions would be circular or elliptical, somewhere convex and somewhere concave, depending on the preference-indifference pattern of the consumer. Some such ICs have been given in Fig. 6.52.

Now go into the implications for the equilibrium of the consumer if his ICs are like those given in Fig. 6.52. Let's first make it clear that if looking at IC in Fig. 6.52 in its totality, it is found that all its segments except that lying in the first quadrant are to be rejected prima facie by the utility-maximising consumer.

The reasons may be given in this way. Along the segment of an IC in the second quadrant, as the consumer moves upward towards right, he uses more of both the goods, but his utility remains the same. This follows from the fact that one of the goods, X, is MIW here. But this cannot be accepted by the consumer if he pays positive prices for the goods, which, is assumed, he does.

Again, as compared to the points on the segment of an IC in quadrant II, there are points on the quadrant III portion of the same IC that contain more of both the goods (compare the points A and B on IC 1 ) or more of one good and the same quantity of the other (compare the points A and C on IC 1 ). This follows from the fact that both the goods are MIWs in the third quadrant.

That is why the quadrant III segment of an IC becomes irrelevant for the consumer's consideration. Lastly, as the consumer moves upward towards right along the positively sloped quadrant IV segment of an IC, he uses more of both the goods, but his level of utility remains unchanged.

This follows from the fact that one of the goods, Y, is MIW here. Therefore, the consumer would keep this segment of an IC out of his consideration.

However, the consumer cannot prima facie reject the points on an IC that lie in quadrant I. For, here, as he moves along an IC, his utility remains the same and it is not that he uses more of both the goods— rather as his use of one of the goods increases, that of the other good decreases. This follows from the fact that both the goods are MIBs in this quadrant, which is consistent with the assumption of utility maximisation.

From the analysis, it may be concluded that the ICs given in Fig. 6.52, only quadrant I is relevant for the consumer, and his equilibrium may be obtained only in this quadrant.

For example, if his budget line is L 1 M 1, he would be in equilibrium at the point E 1 on IC 2, and if his budget increases, prices of the goods remaining constant, his budget line would have a parallel rightward shift to say L 2 M 2, and now his equilibrium point would move from E 1 to E 2 .

It may be noted here that as the ICs become higher in quadrant I representing a higher level of utility, the 'circle' of the IC would become smaller, and in the limit it would become a point. That point in Fig 6.52 is the point E 3 which is the point of intersection of the horizontal and vertical lines at y = y 0 and x = x 0, respectively.

It may also be noted that under the circumstances given in Fig. 6.52, the consumer may go on increasing his expenditure till his budget line becomes L 3 M 3 .

With this budget line, he would be in equilibrium at the point E 3 (x 0, y 0 ) which is the limiting point of both the goods being MIBs. Under the given circumstances, the consumer need not spend more money than that associated with the budget line L 3 M 3, to maximise his level of satisfaction.

Implications for the ICs and Consumer Equilibrium if the Goods are to be used in a Fixed Proportion :

The standard assumption of the indifference curve analysis is that the two goods, say, X and Y, that the consumer uses can be substituted for one another subject to diminishing MRS. On the basis of this assumption, it is obtained that the ICs are convex to the origin.

If this assumption is replaced by the assumption that the goods, X and Y, are to be used in a fixed proportion, ie, they are perfect complements to each other, no longer the ICs gets to be convex to the origin. Rather, it obtained to be L-shaped.

The point may now be explained with the help of Fig. 6.53, where it is assumed that the goods are always to be used in the ratio 1:1, which implies that the consumer has to use the combinations of the goods like A(1, 1), B(2, 2), C(3, 3), etc.

Since the goods are MIBs a combination of more of the goods gives the consumer a higher level of satisfaction, ie, the IC on which the combination B (2, 2) lies is higher than that on which A (1, 1) lies.

Similarly, the IC on which C (3, 3) lies is higher than the one on which B(2, 2) lies, and so on. Again, since the goods are to be used in a fixed ratio, here 1:1, more of any good out of the ratio would add nothing to the consumer's satisfaction level.

Thus, the consumer would be indifferent between the combinations (1, 1), (2, 1), (3, 1), . . ., (1, 2), (1, 3), (1, 4), . . and the formation shall be obtained when these points are joined, is an L-shaped IC, viz., IC 1 .

Similarly, the consumer would be indifferent between the combinations (2, 2), (3, 2), (4, 2), . . ., (2, 3), (2, 4), (2, 5), . . . and if these points are joined by a curve another L-shaped IC is is obtained like IC 2 ; IC 2 would be a higher curve and it would give the consumer a higher level of satisfaction, since B(2, 2) is preferable to A(l, 1).

Again, the consumer would be indifferent between the combinations (3, 3), (4, 3), (5, 3)…………… (3, 4), (3, 5), (3, 6), . .. and through these combinations shall get another L-shaped IC, viz., IC 3 ; IC 3 would be higher than IC 2 and it would give the consumer a higher level of satisfaction than the latter, since C(3, 3) is preferable to B(2, 2).

Therefore it is seen that if the goods are to be used in a fixed ratio, then the ICs would be L-shaped—the horizontal arm of the L contains the combinations of the same quantity of Y and more and more of X, and the vertical arm of the L contains the same quantity of X and more and more of Y, and the meeting point of these two arms like the point A or B, etc. in Fig. 6.53 represents the combination where the quantities of the goods are in the required ratio (here 1:1).

Let's now see the implications of the L-shaped ICs for the equilibrium of the consumer. Suppose, the consumer's ICs are those given in Fig. 6.53, and his budget line is the line EF.

In this figure, the line OR joining the points A, B, C, etc. and the point of origin 'O' may be called the line of XY relationship—it gives what should be the value of Y for any particular value of X, and what should be the value of X for any particular value of Y, so that the required ratio is maintained.

Now, the consumer's equilibrium point, in this case, would be the point of 'tangency', T, between his budget line and the line of XY relationship. For, the point T on the budget line EF takes the consumer to the highest possible IC, viz., the dotted IC', and any other point on the budget line takes him to a lower IC.

It is seen in Fig. 6.53 that the point T is a combination of 2.5 units of good X and 2.5 units of good Y. Since T is also a point on the XY relationship, it is ensured that the quantities of the goods are in the required ratio (here 1:1).

(A) Mathematical Expression for Perfect Complements:

Suppose, a two-good consumer is required to consume the two goods in a fixed ratio. For example, he has to use the left shoe and the right shoe in a 1 : 1 ratio.

So it is natural in this case that the level of utility is a function of the number of complete pairs of shoes, not of the total number of left and right shoes. Now, the number of complete pairs of shoes the consumer may have is the minimum of the number of right shoes, say, x and the number of left shoes, say, y.

Thus the utility function of perfect complements takes the form:

U (x, y) = min {x, y} (6.100)

Also, any monotonic transformation of (6.100) would also be a suitable utility function, representing the same preferences.

There may also be cases where the consumer has to use the goods in a ratio other than 1:1. Let's see how to obtain the utility function in such a case. Suppose that the consumer uses 2 teaspoons of sugar with each cup of tea—the number of cups of tea being denoted by x and the number of teaspoons of sugar by y. Therefore, in this case, the number of

As usual, any monotonic transformation of (6.101) will also represent the same preferences.

So, here, to get rid of the fraction 1/2, shall apply a monotonic transformation by multiplying (6.101) by 2, and then the utility function can be obtained as

U (x, y) = min {2x, y} …(6.102)

In general, a utility function that describes the perfect complement preferences is given by

U (x, y) = min {ax, by} …(6.103)

where a and b are positive numbers and the goods X and Y are consumed in the ratio b : a.

(B) Demand Relations under Perfect Complementarity :

For a given money income, M, and for the given prices p x and p Y of the goods, the consumer's budget constraint is

pxx + pyy = M …(6.104)

The consumer can purchase at any point on the budget line (6.104), eg, the line L 1 M 1 in Fig. 6.54. But the optimal choice will be obtained at the point H 1 on L 1 M 1 where the consumer is on the highest possible IC subject to his budget.

Now, under perfect complementarity, the consumer has to use the goods in a fixed ratio, say, m : n. Therefore, at the equilibrium choice like H 1 we would have

Eqn (6.106) gives the demand function for good X under conditions of perfect complementarity—demand for X is a function of p x, p y and M. In the same way, the demand function for good Y would be obtained to be

It is seen from (6.106) and (6.107) that, since the goods X and Y are complements, increase in p x and/or p Y would cause a fall in the demand for each good. [ . . . p x and p Y are in the denominator of the RHS expressions of (6.106) and (6.107). However, an increase in M would cause a rise in their demands ( . . . M is in the numerator of the RHS expressions)].

From (6.106), we have

Gl. (6.108) gives the slope of the demand function for good X, which has been obtained to be negative. Similarly, the slope of the demand function (6.107)is obtained for good Y as

Therefore, as already obtained and now (6.108) and (6.109), also, gives that, under conditions of perfect complementarity, the demand for each good is inversely related to its price. It is also obtained in Fig. 6.54, that as the price of good X falls and the budget line rotates from L 1 M 1 to L 1 M 2, the consumer's purchase of good X increases from OA 1 to OA 2 .

(C) Income-Demand Relations :

If p x and p Y remain constant, then demand function (6.106) itself becomes the income-demand relation for good X, known as the Engel curve for good X. The slope of this curve is

Similarly, if p x and p Y remain constant, (6.107) becomes the income-demand relation for good Y or the Engel curve for good Y. The slope of this curve is

Under conditions of perfect complementarity, the Engel curve is obtained for each good as a positively sloped straight line from the origin, ie, as income increases, demand for each good also increases in the same proportion. This is already noted by inspection of (6.106) and (6.107).

(D) Price Effect, Income Effect and Substitution Effect under Perfect Complementarity :

Let's now discuss the nature of consumer equilibrium and the effects of changes in money income and relative prices of the goods, upon this equilibrium under conditions of perfect complementarity. In Fig. 6.54, a negatively sloped linear budget line of the consumer like L 1 M 1 would 'touch' one of the L-shaped ICs at its corner point, and this IC is the highest one that the budget line can take the consumer to.

For example, the budget line L 1 M 1 would 'touch' IC 1 at its corner point H 1 At any other point on this budget line, eg, at J or K, the consumer is on a lower IC. So when the budget line is L 1 M 1, the consumer is in equilibrium at the corner point H 1 on IC 1 .

Suppose, initially, the budget line of the consumer is L 1 M 1 and he is in equilibrium at the point H 1 where he purchases OA 1 of good X and OB, of Y. Again suppose, the price of X falls, ceteris paribus, and the budget line of the consumer rotates as a result, from L 1 M 1 to L 1 M 2 .

The new budget line 'touches' IC 2 at the point H 2 . So the new equilibrium point is H 2 . The consumer is now on a higher IC, since his real income has increased. By definition, the movement of the equilibrium point of the consumer from H 1 to H 2 is the price-effect movement. On account of the price effect, the consumer purchases A 1 A 2 more of X and B 1 B 2 more of Y.

In order to isolate the substitution effect portion of the price effect, now notionally reduce the money income of the consumer by the amount of “compensating variation” so that his budget line would now have a leftward parallel shift to FG and it would 'touch' IC 2 at the point H 2 . Under conditions of perfect complementarity, both the lines L 1 M 1 and FG 'touch' IC 1 at the same corner point H 1 .

So, in this case, the substitution effect (SE) movement of the consumer's equilibrium point is from H 1 to H 2 ie, here there is no SE movement and the SE upon both the goods is zero. This is what is expected because, under conditions of perfect complementarity, substitution between the goods is not possible.

In order to obtain the income effect (IE) portion of the price effect, now return the money to the consumer, which is taken away from him in order to know the SE. His money income now increases, prices remaining constant.

As a result, due to IE, there would be a parallel rightward shift in his budget line from FG to L 1 M 2 and his equilibrium point will move from H 1 to H 2, which is the same as the PE movement, ie, the IE movement in his equilibrium point is the same as the PE movement. This is again expected because in this case SE movement is absent.

Because of the IE, the consumer purchases A 1 A 2 more of X and B 1 B 2 more of Y. Thus, under perfect complementarity, income effect is the same as the price effect, since the substitution effect is zero.

One more point should be noted. Under conditions of perfect complementarity, the (income-consumption curve) ICC of the consumer is obtained by joining the equilibrium points like H 1 H 2, etc. lying on the fixed xy ratio line OA, and the (price-consumption curve) PCC of the consumer for good X is also obtained by joining the points H 1 H 2 etc.

Therefore, here the PCC for good X is the same as the ICC—this is the line OA. Also, it can be seen in the same way that PCC for good Y is the same as the ICC which is also OA; so here PCC for good X and that for good Y, and ICC, all are the same line OA. All this is due to the fact that the substitution effect is zero under conditions of perfect complementarity.

Cobb-Douglas Preference :

If the utility function of a consumer is of the form:

U(x, y) = xαyβ ….(6.112)

then his preference pattern would be called Cobb-Douglas preference. The function (6.112) is known as the Cobb-Douglas function named after the economists Cobb and Douglas. In (6.112) α and β are positive numbers and they describe the preferences of the consumer.

Cobb-Douglas ICs are well-behaved negatively sloped and convex-to-the-origin ICs. A positive monotonic transformation of a utility function will represent exactly the same preferences, and the Cobb-Douglas utility function is no exception. Here a couple of examples can be examined for such transformation.

First, if the natural log of utility is taken in (6.112) we would have

The ICs for the utility (V) function (6.113) will look just like those for the function (6.112), since taking logarithm is a positive monotonic transformation.

In the second case, suppose let's with the Cobb-Douglas form:

This means that it can always take a monotonic transformation of the Cobb-Douglas utility function that makes the sum of the exponents equal to 1.

The optimal choices for the utility function (6.112) are

where p x and p Y are the prices of goods X and Y, and M is the money income of the consumer. The Cobb-Douglas preferences have a convenient property. The fraction of his income that a Cobb-Douglas consumer spends on good X is p x x. Substituting from demand function, we have

p x x/M = p x /M. α/α +β. M/p x = α/α +β = constant (6.117)

Similarly, the fraction of his income that the consumer spends on good Y is

p y .y/M = β/α +β = constant (6.118)

It is evident from (6.117) and (6.118) that the Cobb-Douglas consumer always spends a fixed fraction of his income on each good. The size of the fraction is determined by his preference- indicating parameters α and β.

It is also clear from above that it would be quite convenient for us to work with a form of the Cobb-Douglas utility function in which the sum of the exponents is equal to 1. For, if our function is U = xα y1- α, then it can immediately interpret a as the fraction of income spent on good X and 1 – α as the fraction of income spent on good Y.

Quasilinear Preferences :

In order to understand quasilinear preferences, suppose that a consumer has indifference curves (ICs) that are vertical translates of one another as given in Fig. 6.55. This means that all of the ICs are just vertically shifted versions of one IC.

It follows that the equation of an IC here takes the form:

y = k – v (x) (6.119)

where U = U (x, y) (6.120)

is the ordinal utility function of the consumer.

Gl. (6.119) says that the height of each IC (ie, y) is some function of x, viz., – v(x), plus constant k. Higher values of k give higher ICs. The significance of the minus sign before the function of x would be clear in the discussion below.

The natural way to label the ICs here is with k—roughly speaking, the height of the IC along the vertical axis. Solving for k and setting it equal to ordinal utility, we have

U (x, y) = k = v (x) + y. (6.121)

In this case, the utility function is linear in the quantity of good Y, but (possibly) non-linear in the quantity of good X; hence the name quasilinear utility, meaning “partly linear” utility. Specific examples of quasilinear utility would be

U = √x + y (6.122)

and U (x, y) = In x + y (6.123)

Quasilinear utility functions are not particularly realistic, but they are very easy to work with. Let's first see what happens if the budget line is shifted outward. In this case, if an IC is tangent to the budget line at a bundle (x*, y*), then another IC must also be tangent at money income (M) (x*, y* + b) for any constant b.

Therefore, an increase in income does not change the demand for good X at all, and all the extra income goes entirely to the consumption of good Y.

If preferences are quasilinear, sometimes say that there is a zero income effect for good X. Thus, the consumer's income-consumption curve and the Engel curve for good X are both vertical straight lines as shown in Figs. 6.56 and 6.57. As change in income, demand for good X remains constant. This is true of course, for his money income ≥ p x .x*, where p x is the price of good X.

Price Effect, Income Effect and Substitution Effect under Quasilinear Preferences (QLP) :

PCC under QLP for price-changes of good X has been shown in Fig. 6.58. Here the initial budget line of the consumer is L 1 M 1 and the initial equilibrium point is E 1 .

As the price of X falls, ceteris paribus, the budget line rotates from L 1 M 1 to L 2 M 2 to L 3 M 3 … and the consumer's equilibrium point moves from E 1 to E 2 to E 3, …. Join the points L 1 E 1 E 2, E 3, .. ., by a curve, the consumer's PCC under QLP for price changes of good X is obtained.

The price-effect, income effect and substitution effect under QLP have been explained in Fig. 6.59. In this figure, the consumer's initial budget line is L 1 M 1 and his initial equilibrium point is E 1 on IC 1 . At this point he purchases OA 1 of good X and OB 1 of good Y. Suppose, the price of good X falls, ceteris paribus.

As a result, the consumer's budget line would rotate anticlockwise about the point L 1 —it would now be, say, L 1 M 2 . In this new situation, the consumer would be in equilibrium at the point E 2 where his budget line L 1 M 2 would touch a higher IC, viz., IC 2, and he would now purchase a larger quantity of X, viz., OA 2 and a smaller quantity of Y, viz., OB 2 .

He is now on a higher IC since his real income has improved. Here the movement in his equilibrium point from E 1 to E 2 is the price effect movement—his purchase plan changes from the point E 1 to the point E 2 on account of the price-effect (PE). Specifically, here PE for good X has been + A 1 A 2 and that for good Y has been – B 1 B 2 .

Now break up this price effect (PE) into a substitution effect (SE) and an income effect (IE). In order to isolate the SE portion of the PE, let's apply the compensating variation in consumer's money income, ie, let's notionally reduce his money income by M 2 G in terms of good X or L 1 F in terms of good Y, so that his budget line now would have a parallel shift to FG and it would touch IC 1 at some point like E 3 ; this indicates that the consumer's real income now has been brought back to its initial level while there has been a change in the relative prices of the goods.

Therefore, by definition, the movement from point E 1 to E 3 is the SE movement and due to SE, the consumer purchases A 1 A 2 more of X and B 1 B 3 less of Y, since X now is relatively cheaper and Y is relatively dearer. So the SE here has been obtained to be +A 1 A 2 for good X and -B 1 B 3 for good Y.

The IE portion of the PE is obtained if the consumer is given back the amount of compensating variation in income. As this is done, the consumer's budget line would have a parallel rightward shift from FG to L 1 M 2 .

Under QLP, his equilibrium point would now move vertically from point E 3 to point E 2 . This movement is the IE movement. Since the movement is vertical, IE for good X is zero, as it should be under the QLP under consideration, and the IE for good Y has been +B 2 B 3 in Fig. 6.59.

It may be now verified:

For good X, SE + IE = + A 1 A 2 + 0 = + A 1 A 2 = PE

and for good Y, SE + IE = – B 1 B 3 + B 2 B 3 = – B 1 B 2 = PE

Therefore, it is verified, for both the goods:

PE = SE + IE.

 

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