Das Cobweb-Modell (mit Gleichungen) | Marktgleichgewicht

In diesem Artikel werden wir über das Spinnennetzmodell diskutieren, um das Marktgleichgewicht zu untersuchen.

Angenommen, auf dem Markt für ein einzelnes Gut sind die Gleichungen von Angebot und Nachfrage für die Periode t gegeben durch:

wo die Symbole ihre übliche Bedeutung haben. Es wird davon ausgegangen, dass der Preis in jedem Zeitraum festgelegt wird, um den Markt zu klären. Beachten Sie hier, dass dies ein Modell mit verzögertem Angebot ist - wie in Gl. (4.25) hängt die Lieferung dieser Periode vom Preis der Vorperiode ab oder der Preis dieser Periode beeinflusst die Lieferung der folgenden Periode.

Da die Produktion Zeit braucht, sind die Anpassungen auf der Angebotsseite möglicherweise nicht unmittelbar, sondern werden erst nach einer gewissen Zeit auf dem Markt wahrgenommen. Agrarrohstoffe liefern oft gute Beispiele für ein verspätetes Angebot.

Wenn nun die Steigung der Angebotsfunktion (β 1 ) positiv und die der Nachfragefunktion (β 2 ) negativ ist, dann wird die Konvergenz oder Divergenz des aktuellen Preises zum Gleichgewichtspegel hin oder von diesem weg untersucht. Dieses Modell ist als Cobweb-Modell bekannt, da der vom beobachteten Preis und der beobachteten Menge eingeschlagene Weg einem Spinnennetz ähnelt.

Kommen wir nun zur Frage der Konvergenz oder auf andere Weise des aktuellen Preises gegenüber dem Gleichgewichtspreis. Da hier davon ausgegangen wird, dass der Preis in jedem Zeitraum festgesetzt wird, um den Markt abzuräumen,

S t = D t …… (4, 27)

Um das Verhalten des Modells außerhalb des Gleichgewichts zu untersuchen, wenn β 1 > 0 und β 2 <0 sind.

Ersetzen Sie (4.25) und (4.26) in (4.27) und wir erhalten:

Gleichung (4.34) ist eine Differenzgleichung erster Ordnung und gibt uns

t als eine Funktion von

t − 1, wobei β 1 und β 2 gegeben und konstant sind. Die Lösung für

zu jeder Zeit ist t gegeben durch

t = A.

t − 1 = At.

0 (4, 35)

Die Lösung (4.35) kann auf folgende Weise erhalten werden:

1 = A.

0

2 = A

1 = A2

0

3 = A.

2 = A3.

0 und so weiter auf diese Weise

t = At

0.

Gleichung (4.35) gibt die allgemeine Lösung für das lineare Spinnennetzmodell gemäß Gleichung (4.25) - (4.27) an. Das gibt

t unter Berücksichtigung der Steigungen der Nachfrage- und Angebotsfunktionen und der Werte von

0 . Dieser Wert von

0 = (

- p 0 ) heißt die anfängliche willkürliche Störung, die jedes Vorzeichen und jede Größe annehmen kann, die sie geben möchte.

Das Original

0 ≠ 0 könnte durch eine Verschiebung der Nachfrage- oder Angebotskurve verursacht worden sein

0 ist die Differenz zwischen dem neuen und dem alten Gleichgewichtspreis.

Wenn β 1 > 0 und β 2 <0, dh die Angebotsfunktion steigt und die Nachfragefunktion sinkt, ist A negativ. Somit wechselt At im Vorzeichen, wobei es in ungeradzahligen Perioden negativ und in geradzahligen Perioden positiv ist.

Dies beweist, dass das Spinnennetz bei normal geformten Nachfrage- und Angebotskurven immer eine Zwei-Perioden-Schwingung erzeugt, wobei der tatsächliche Preis (p t ) abwechselnd über und unter dem Gleichgewichtspreis liegt (

). Wenn diese Schwingungen konvergieren, um, oder divergieren von,

. Beachten Sie jedoch, dass Sie in den Nachfrage-Angebot-Kurvendiagrammen im Allgemeinen die Menge entlang der horizontalen Achse und den Preis entlang der vertikalen Achse messen. In diesem Fall wären die Steigungen der Angebots- und Nachfragekurven jeweils die Kehrwerte der Steigungen der Angebots- und Nachfragefunktionen (dh β 1 und β 2 ).

Es ist auch zu beachten, dass, wenn β 1 positiv ist, die Steigung der Angebotskurve 1 / β 1 ebenfalls positiv ist, und wenn β 2 negativ ist, die Steigung der Nachfragekurve 1 / β 2 ebenfalls negativ ist . Nun, auch wenn die Angebots- und Nachfragefunktionen und -kurven ihre normalen Steigungen haben (dh positiv bzw. negativ), sind auch drei Fälle in Bezug auf Konvergenz oder Divergenz zu berücksichtigen.

Aus der obigen Analyse geht hervor, dass das lineare Cobweb-Modell eine negative Rückkopplung aufweist

Wenn der Preis über dem Gleichgewicht liegt, fällt er in der nächsten Periode und wenn der Preis unter dem Gleichgewicht liegt, steigt er in der nächsten Periode. Die Anpassung ist jedoch immer zu groß und der Gleichgewichtspreis wird immer überschritten.

Im stabilen Fall wird der Überschuss immer kleiner, so dass sich der Gleichgewichtspreis nähert. Andererseits ist im instabilen Fall jede Überschreitung größer als die vorherige, so dass der tatsächliche Preis mit der Zeit immer mehr vom Gleichgewicht abweicht.

Aus der obigen Analyse wird die negative Rückkopplung erhalten, obwohl eine notwendige Bedingung für die Stabilität keine ausreichende Bedingung ist. Versuchen Sie nun eine schematische Darstellung des Cobweb-Modells in Abb. 4.8. Nehmen wir an, dass das Angebot des betreffenden Gutes anfangs aufgrund von Störungen wie Dürre oder Überschwemmung unter dem Gleichgewichtsniveau liegt. Die Anfangsversorgung sei q 0 .

Dieser Betrag würde in der Anfangsperiode verlangt, wenn der Preis p 0 wäre . Bei p = p 0 fordern die Verbraucher P 0 M 0 und diese Menge entspricht der Anfangsversorgung. Das heißt, p 0 ist der Markträumungspreis in Periode 0.

Im Cobweb-Modell beeinflusst der Preis dieses Zeitraums das Angebot des nächsten Zeitraums. Deshalb bestimmt der Preis p 0 der Anfangsperiode (Periode 0) die Lieferung der Periode 1, die P 0 N 1 ist . Mit anderen Worten, der Preis p 0 veranlasst die Unternehmer, p 0 N 1 in Periode 1 zu liefern.

Nun würden die Käufer diese Menge, p 0 N 1, nur dann verlangen, wenn der Preis in Periode 1 auf p 1 fällt. Daher ist p 1 der Markträumungspreis in Periode 1. Der Preis P 1 in Periode 1 veranlasst die Produzenten jedoch zur Lieferung die Menge von p 1 N 2 in Periode 2.

Auf diese Weise wird der Prozess auf unbestimmte Zeit fortgesetzt und ein Cobweb-Muster erzeugt. In Abb. 4.8 ist zu sehen, dass das Preisniveau schwankt, in einer Periode höher als der Gleichgewichtspreis p e und in der nächsten Periode niedriger als p e ist, sich jedoch am Schnittpunkt der Nachfrage- und Angebotskurve dem Gleichgewichtspegel annähert.

Diese Konvergenz würde erreicht, wenn die Nachfragekurve flacher ist als die Angebotskurve.

In Abb. 4.9 funktioniert derselbe Prozess wie in Abb. 4.8, jedoch werden die Preisschwankungen tendenziell immer größer und der Markt unterliegt explosiven Schwankungen, dh hier weicht der Preis vom Gleichgewicht ab und der Markt ist instabil. Dies ist, wie bereits erwähnt, der Fall, wenn die Nachfragekurve steiler ist als die Angebotskurve.

Beispiel 1:

Betrachten Sie das folgende Cobweb-Modell (die Notationen haben ihre übliche Bedeutung):

Finden Sie den Zeitpfad von Q und analysieren Sie die Bedingungen für dessen Konvergenz.

Lösung:

Die Gleichungen des gegebenen Cobweb-Modells sind

Beispiel 2:

Betrachten Sie die folgenden zwei Wettbewerbsmärkte:

Markt I: (i) qd t = 1200 - 6p t ; (ii) qs t = 2p t - 2,

Markt II: (i) qd t = 2700 - 4p; (ii) qs t = 5p t-1

Dabei beziehen sich qd t und qs t auf Nachfrage- und Angebotsfunktionen und t auf den Zeitraum.

(a) Finden Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge in beiden Märkten heraus.

(b) Berücksichtigen Sie die Stabilität der Anpassung an eine Störung in jedem Markt.

(c) Zeichnen Sie ein Zeitreihendiagramm für p in den ersten fünf Perioden nach einer Störung, die den Preis auf Markt I um 200 Einheiten über und auf Markt II um 20 Einheiten unter das Gleichgewicht bringt.

(d) Die explosiven Schwingungen in einem Markt können nicht auf unbestimmte Zeit ansteigen. Welche wirtschaftlichen Grenzen der Schwingung sind endlich erreicht?

Lösung:

a) Die Nachfrage- und Angebotsfunktion für Markt I:

Die Preiszahl auf Markt I in Periode 0 (Null) und in den nächsten fünf Perioden ergibt sich aus (8) - (13). Auf der Grundlage dieser Werte wurde in Abb. 1 das Zeitreihendiagramm für den Preis auf Markt I erstellt. 4.10.

Auf dem Markt II sind aufgrund der Störung, die den Preis um 20 Einheiten unter sein Gleichgewicht bringt, folgende Punkte zu beachten:

Der zeitliche Verlauf des Preises in Markt II ist nun:

Mit t = 0, 1, 2, 3, 4 und 5 in (15) ergeben sich die Preisangaben für diesen Zeitraum als: p 0 = 280, p 1 = 325, p 2 = 268, 75, p 3 = 339, 06, p 4 = 251, 17 und p 5 = 361, 04. Auf der Grundlage dieser Werte wird das Zeitreihendiagramm für den Preis auf Markt II wie in Abb. 4.1 dargestellt erhalten

(d) Nach unseren Annahmen hat der Marktpreis einer Ware keine Obergrenze, aus unerlaubter Handlung eine Untergrenze von Null. Wirtschaftliche Grenzen für explosive Schwankungen auf dem Markt II sind also erreicht, wenn der Preis letztendlich auf Null oder unter Null sinkt und dies in der 14. Periode der Fall ist. Der folgende Weg wird erhalten.

Aus (15) ist ersichtlich, dass p t in geraden Perioden kleiner als p than = 300 wird, und daher würde p t in geraden Perioden gegen Null gehen oder ein negativer Wert sein. Aber lassen Sie uns

Setzen Sie vorerst p t = 0 in (15) unter der Annahme von A = 5/4, was positiv und größer als 1 ist, und dann:

Was hier erhalten wird, ist, dass, wenn t eine kontinuierliche Variable wäre und angenommen wird, dass A positiv und größer als 1 (= 5/4) ist, sich p monoton nach unten bewegen würde (dh ohne Schwingung) und Null werden würde (0) ) in der Periode t = 12, 14 (ungefähr). Das heißt, in der Periode t = 12 wäre p immer noch positiv (es kann berechnet werden als p = 9).

Daher würde in unserem diskreten Zeitfall p in t = 13 bis zu p 13 oszillieren, was darüber liegt

= 300. Und der Schwingungsprozess endet in der Periode t = 14, weil nun p negativ werden würde [er kann berechnet werden als, p 14 = - 154, 6 (ungefähr).]

Beispiel 3:

Betrachten Sie die folgenden Märkte, die durch eine verzögerte Angebotsreaktion gekennzeichnet sind:

(a) D t = 40 - 10 P t ; S t = 2 + 9 P t - 1

(b) D t = 30 - 5 P t ; S t = 20 - P t - 1

Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und die Menge für jeden Markt. Nehmen Sie für jeden Markt einen Anfangspreis an, der 20% unter dem Gleichgewichtspreis liegt, und bestimmen Sie die Anzahl der Zeiträume, die erforderlich sind, damit sich jeder Preis auf 1% des Gleichgewichts einstellt.

Lösung:

(a) Die Nachfrage- und Angebotsfunktionen sind:

 

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