Lineare Programmierung (erklärt mit Diagrammen)

I. Allgemeine Hinweise:

Die lineare Programmierung ist eine kürzlich entwickelte Technik zur Bereitstellung spezifischer numerischer Lösungen von Problemen, die früher nur in vagen qualitativen Begriffen unter Verwendung des Apparats der allgemeinen Theorie der Firma gelöst werden konnten.

Die lineare Programmierung hat somit dazu beigetragen, die Lücke zwischen abstrakter Wirtschaftstheorie und Managemententscheidungen in der Praxis zu schließen.

Die Verwendung der linearen Programmierung nimmt aufgrund des Einsatzes von Computern rasch zu, mit denen komplexe Probleme, bei denen viele Ressourcen, die dem Unternehmen zu einem bestimmten Zeitpunkt zur Verfügung gestellt werden, optimal genutzt werden und die Auswahl des Unternehmens eingeschränkt werden, schnell gelöst werden können. Die lineare Programmierung kann als operationelle Methode für den Umgang mit wirtschaftlichen Beziehungen angesehen werden, die Diskontinuitäten beinhalten. Es ist ein spezifischer Ansatz im allgemeinen Rahmen der Wirtschaftstheorie.

Die wichtigsten Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen der traditionellen Wirtschaftsanalyse und der linearen Programmierung lassen sich wie folgt skizzieren. Beide Ansätze zeigen, wie Wirtschaftsakteure (Konsumenten oder Produzenten) optimale Entscheidungen treffen, wie sie planen oder programmieren, um maximalen Nutzen, maximalen Gewinn, minimale Kosten usw. zu erzielen. Weder die ökonomische Theorie noch die lineare Programmierung sagen etwas über die Implementierung der optimaler Plan oder Lösung.

Sie leiten einfach die optimale Lösung für jede spezielle Situation ab. In diesem Sinne handelt es sich bei beiden Ansätzen um Ex-ante-Methoden, die den Wirtschaftseinheiten helfen sollen, die Lösung zu finden, mit der sie ihr Ziel (Nutzenmaximierung, Gewinnmaximierung, Kostenminimierung) angesichts ihrer Ressourcen (Einnahmen oder Faktoren) zu einem bestimmten Zeitpunkt erreichen.

In der Wirtschaftstheorie wird die optimale Lösung jedoch normalerweise in qualitativ abstrakten Begriffen, Diagrammen oder allgemeinen mathematischen Symbolen dargestellt, während die lineare Programmierung spezifische numerische Lösungen für die jeweiligen Optimierungsprobleme liefert.

Ein weiterer Unterschied zwischen der ökonomischen Analyse und der linearen Programmierung besteht darin, dass die Beziehungen der ökonomischen Theorie in der Regel nicht linear sind und durch Kurven (keine geraden Linien) dargestellt werden, während bei der linearen Programmierung alle Beziehungen zwischen den beteiligten Variablen als linear angenommen werden.

In jüngster Zeit wurden Methoden der nichtlinearen Programmierung entwickelt, deren Darstellung jedoch eine ausgefeilte Mathematik erfordert und hier nicht versucht wird. Wir werden die Verwendung der linearen Programmierung durch ein einfaches Beispiel eines Unternehmens veranschaulichen, das eine gegebene Menge von drei Produktionsfaktoren hat, mit denen es zwei Waren erzeugen kann, x und y. Das Problem des Unternehmens besteht angesichts seiner Ressourcen darin, den optimalen Produktmix zu wählen, der den Profit des Unternehmens maximiert.

II. Erklärung des linearen Programmierproblems:

Angenommen, ein Unternehmen hat die folgenden Mengen an Produktionsfaktoren

L = 400 Arbeitseinheiten (Stunden)

K = 300 Kapitaleinheiten (Maschinenstunden)

S = 1000 Einheiten Land (Quadratfuß)

Die Firma kann entweder Ware x oder Ware y mit den folgenden verfügbaren Prozessen (Aktivitäten) produzieren

Mit anderen Worten, die Produktion einer Einheit von x erfordert 4 Arbeitsstunden, 1 Maschinenstunde und 2 Quadratfuß Land. In ähnlicher Weise erfordert die Herstellung einer Einheit von y 1 Stunde Arbeit, 1 Maschinenstunde und 5 Quadratfuß Land. Commodity x ergibt einen Einheitsgewinn von £ 2, und Commodity y ergibt einen Einheitsgewinn von £ 1, 5. Das Ziel des Unternehmens ist es, den optimalen Produktmix zu wählen, dh den Mix, der seinen Gesamtgewinn maximiert.

Die Gesamtgewinnfunktion kann wie folgt geschrieben werden:

Z = 2X + 1Y

Wobei Z = Gesamtgewinn

X = Warenmenge x (oder Aktivitätsstufe A 1 )

Y = Warenmenge y (oder Aktivitätsstufe A 2 )

2 und 1 sind die Einheitsgewinne der beiden Waren. Die Gesamtgewinnfunktion wird als Zielfunktion bezeichnet, da sie das Ziel des Unternehmens ausdrückt, das in unserem speziellen Beispiel die Maximierung des Gewinns ist. Im Allgemeinen ist die Zielfunktion die Funktion, die die Ziele des Wirtschaftsagenten repräsentiert.

Das Unternehmen hat bei der Maximierung seiner objektiven Funktion mehrere Einschränkungen. Wir unterscheiden zwei Gruppen von Einschränkungen, technische (oder funktionale) Einschränkungen und Nicht-Negativitäts-Einschränkungen. Die technischen Einschränkungen werden durch den Stand der Technik und die Verfügbarkeit von Produktionsfaktoren bestimmt.

Es gibt so viele technische Einschränkungen wie die Produktionsfaktoren. Sie drücken die Tatsache aus, dass die Mengen der Faktoren, die bei der Herstellung der Waren absorbiert werden, die verfügbaren Mengen dieser Faktoren nicht überschreiten können. Die technologischen Zwänge treten also in Form von Ungleichheiten auf.

In unserem Beispiel sind die technischen Einschränkungen die folgenden drei:

4X + 1 Y <400

1x + 1Y <300

2X + 5Y <1000

Dabei sind X und Y die Warenniveaus x und y (Nutzungsniveaus der Aktivitäten A 1 und A 2 ) und die Ganzzahlen auf der linken Seite die technischen Produktionskoeffizienten, dh die für die Produktion erforderlichen Faktor-Inputs von einer Einheit der Produkte x und y. Die Zahlen auf der rechten Seite sind die Ressourcen, über die das Unternehmen verfügt. Diese Ungleichheitsbeschränkungen besagen, dass die X- und Y-Werte im Optima-Produktmix nicht mehr als die verfügbaren Mengen der drei Ressourcen erfordern sollten.

Die Nicht-Negativitätsbeschränkungen drücken die Notwendigkeit aus, dass das Produktionsniveau der Waren nicht negativ sein darf, da negative Mengen in der Wirtschaft nicht sinnvoll sind. Das Produktionsniveau einer Ware kann entweder Null oder positiv sein

X> 0

y> 0

In Anbetracht der obigen Informationen kann das lineare Programmierproblem formell wie folgt angegeben werden:

Beachten Sie, dass alle Einschränkungen in Form von Ungleichungen vorliegen. Daher kann das System nicht mit den üblichen Methoden zur Lösung simultaner Gleichungen gelöst werden. Die lineare Programmiertechnik wurde entwickelt, um mit der Lösung von Problemen umzugehen, die mit Ungleichungen verbunden sind. Sein grundlegender Ansatz ist der der Iteration. Die optimale Lösung wird definiert, indem die Menge möglicher alternativer Lösungen untersucht und die suboptimalen Lösungen schrittweise beseitigt werden, bis das Optimum erreicht ist.

III. Bestimmung der optimalen Lösung:

Die optimale Lösung ergibt sich aus dem Tangentialpunkt der Grenze des Bereichs der realisierbaren Lösungen zur höchstmöglichen Isoprofit-Kurve. Die optimale Lösung ist ein Punkt an der Grenze der Region aller möglichen Lösungen, da jeder Punkt innerhalb dieser Region auf einer unteren Isoprofit-Linie liegt. Es ist klar, dass die optimale Lösung von der Steigung der Isoprofit-Linien abhängt, dh vom Verhältnis der Einheitsgewinne der beiden Waren. In unserem Beispiel ist Punkt G in Abbildung 20.7 die optimale Lösung.

Zu diesem Zeitpunkt beträgt der Produktmix 178 Einheiten von y und 56 Einheiten von x, und der maximale Gewinn beträgt 290 GBP, wie aus der Gewinnfunktion hervorgeht

Z = 2X + 1Y = 2 (56) + 1 (178) = 290

Wenn die Steigung der Isoprofit-Linie gleich der Steigung einer der Grenzlinien ist, die den Bereich der möglichen Lösungen definieren, gibt es keine eindeutige optimale Lösung für das lineare Programmierproblem. Wenn zum Beispiel π x / π y = l x / l y (= Steigung von AB, die die Grenze für den Faktor 'Arbeit' ist, sind alle Punkte auf dem Segment GB optimale Lösungen.

Wenn πx / πy - sx / sy (= Steigung von EF, die die Grenze für den Faktor "Land" ist), sind alle Punkte auf dem Segment EG der Produktionsmöglichkeitsgrenze optimale Lösungen. Aus der obigen Diskussion sollte es offensichtlich sein, dass eine eindeutige optimale Lösung vorliegt, wenn die Steigung der Linie, die die Zielfunktion darstellt, einen Wert hat, der innerhalb des Bereichs liegt, der durch die Steigungen der Grenzlinien festgelegt ist, die die technischen Beschränkungen des linearen Programmierproblems bezeichnen.

Wir können das obige Verfahren zur Bestimmung der optimalen Lösung wie folgt verallgemeinern:

Schritt 1:

Schreiben Sie die technischen Ungleichungen in Form von Gleichungen und lösen Sie sie für Y

l 1 x + / l 2 y = L

k 1 X + k 2 Y = K

s 1 X + s 2 Y = S

Wenn wir diese Gleichungen nach Y lösen, erhalten wir die Gleichungen der drei Grenzlinien:

Die Gleichung der Grenze L ist

Die Steigung der L-Grenze beträgt

∂Y / ∂X = - l 1 / l 2

Wir können die L-Grenze zeichnen, indem wir X verschiedene Werte zuweisen und die resultierenden Punkte in einem Diagramm zeichnen. (Der Wert von L ist gegeben.)

Die Gleichung der Grenze K ist

Die Steigung der K-Grenze beträgt

∂Y / ∂X = - k 1 / k 2

Wir können die K-Grenze zeichnen, indem wir X verschiedene Werte zuweisen (unter Berücksichtigung des Wertes von K) und die resultierenden Punkte in einem Diagramm darstellen.

Die Gleichung der Grenze S ist

Die Steigung der S-Grenze beträgt

∂Y / ∂X = - s 1 / s 2

Wir können die S-Grenze zeichnen, indem wir X (unter Berücksichtigung der S-Menge) unterschiedliche Werte zuweisen und die resultierenden Punkte in einem Diagramm darstellen.

Schritt 2:

Bestimmen Sie die Region der möglichen Lösungen. Dies ist der Bereich innerhalb aller Grenzen, die durch die technischen Beschränkungen festgelegt sind. Nur die Teile der Bereiche unterhalb der einzelnen Grenzlinien, die beim Kombinieren der verschiedenen Diagramme (von Schritt 1) ​​zusammenfallen, erfüllen alle Einschränkungen.

Schritt 3:

Definieren Sie die Isoprofit-Linien, indem Sie die Gewinngleichung für Y lösen

Der Satz von Isoprofit-Linien kann gezeichnet werden, indem Z und X unterschiedliche Werte zugewiesen werden.

Schritt 4:

Bestimmen Sie die optimale Lösung, indem Sie die Steigung der Isoprofit-Linie mit der Steigung der Grenzlinien vergleichen, die den Bereich der möglichen Lösungen definieren. Da alle Linien negative Steigungen haben, können wir ihre Vorzeichen beim Vergleich ignorieren. In unserem Beispiel definieren nur zwei Grenzlinien den Bereich der möglichen Lösungen. (Der Faktor K schränkt die Wahl des Unternehmens in Anbetracht der anderen Faktoren L und S nicht ein.)

Die Steigungen der Grenzlinien lassen den Schluss zu, dass es eine eindeutige Lösung gibt und dass diese optimale Lösung durch den Schnittpunkt der beiden Grenzlinien definiert ist, die den Bereich der möglichen Lösungen definieren.

IV. Die Simplex-Methode:

Wenn die Variablen, deren Werte mit der linearen Programmiermethode bestimmt werden müssen, mehr als zwei sind, ist die grafische Lösung schwierig oder unmöglich, da wir mehrdimensionale Diagramme benötigen. Die folgende iterative Methode zum Erreichen der optimalen Lösung, die als Simplex-Methode bezeichnet wird, kann verwendet werden.

Wir werden die Simplex-Methode anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen.

Angenommen, ein Unternehmen kann fünf Waren produzieren, x 1, x 2, ..., x 5, mit drei Produktionsfaktoren F 1, F 2, F 3 .

Die verfügbaren Mengen von Faktoren sind:

F 1 = 100 Arbeitseinheiten

F 2 = 80 Kapitaleinheiten

F 3 = 150 Landeinheiten

Die bekannten Produktionsmethoden (Prozesse oder Aktivitäten) für jedes Produkt sind

Das Unternehmen möchte den Produktmix wählen, der seinen Gesamtgewinn maximiert, z. Bezeichnen wir die Produktionsmengen der fünf Waren mit dem Großbuchstaben X und dem entsprechenden Index.

Mit den obigen Informationen können wir das lineare Programmierproblem formell wie folgt angeben:

Durch Ersetzen der technischen Informationen unseres Beispiels:

Um die Schwierigkeiten zu überwinden, die durch die Ungleichheiten in den Bedingungen entstehen, wandeln wir die technischen Bedingungen in Gleichheiten um, indem wir in jede eine Variable einführen, die als "lockere Variable" bezeichnet wird und die nicht genutzten Einheiten des entsprechenden Produktionsfaktors anzeigt. Offensichtlich wird es so viele Durchhangvariablen geben, wie es Produktionsfaktoren gibt. Es wird davon ausgegangen, dass nicht genutzte Faktoren keine Rentabilität aufweisen (weder Gewinn noch Verlust).

Mit der Einführung der Slack-Variablen ergeben sich folgende Einschränkungen:

ein. Das iterative Verfahren

Iteration I:

Wir gehen von einer realisierbaren Lösung aus, ermitteln ihre Rentabilität und prüfen, ob sie im Vergleich zu anderen realisierbaren Lösungen den größtmöglichen Gewinn bringt. Die Leistungsniveaus und nicht verwendeten Faktoren in einer Lösung bilden eine Grundlage. Der einfachste Weg, die Iterationen zu beginnen, besteht darin, von der Basis auszugehen, auf der die Nullproduktion angezeigt wird, d. H., Sie umfasst die drei lockeren Aktivitäten mit Werten, die den verfügbaren Mengen der drei Produktionsfaktoren entsprechen, da ohne Produktion alle Faktoren nicht genutzt werden . Die Ausgangslösung (Basis I) ist also der Ursprung, in dem alle Ausgabeebenen Null sind

X 1 = X 2 = X 3 = X 4 = X 5 = 0

und alle eingänge sind arbeitslos, so dass

S 1 = F 1 = 100

5 2 = F 2 = 80

5 3 = F 3 = 150

Dies ist eine praktikable Lösung, da alle Bedingungen erfüllt sind. Natürlich ist es nicht optimal, da die Gewinne Null sind, wenn es keine Produktion gibt

Z = 2 (0) + 2 (0) + 3 (0) + 4 (0) + 6 (0) 4 0 (S 1 ) + 0 (S 2 ) + 0 (S 3 ) = 0

Bevor wir fortfahren, eine bessere realisierbare Lösung zu finden, werden wir die erste Lösung (Basis I) in einer Tabelle (Tabelle 20.1) präsentieren.

In der ersten Spalte zeigen wir die Aktivitäten, die in der untersuchten Lösung (Basis) enthalten sind, und deren Auslastung. Die Basis I enthält die Schlupfaktivitäten S 1, S 2, S 3, und ihr Nutzungsgrad entspricht den nicht verwendeten Produktionsfaktoren 100 Einheiten von f 1, 80 Einheiten von f 2 und 150 Einheiten von f 3 .

In die Spalten der fünf produktiven Tätigkeiten tragen wir die Inputs der drei Produktionsfaktoren ein, die für die Produktion einer Einheit der entsprechenden Waren erforderlich sind.

In den Spalten der Slack-Aktivitäten wird für den entsprechenden Produktionsfaktor die Einheit und für alle anderen Faktoren die Null eingefügt.

In der letzten Zeile der Tabelle tragen wir den Gesamtgewinn (Z) der Basis und den Einheitsgewinn der Aktivitäten mit negativem Vorzeichen ein. Diese Zeile (die wir als "Rentabilitätszeile" bezeichnen) ist für das iterative Verfahren der Simplex-Methode von entscheidender Bedeutung, da sie zeigt, welche Aktivität die rentabelste ist, die in der nächsten Iteration eingeführt werden sollte. Wenn alle Elemente in dieser Zeile positiv oder null werden, stoppen wir die Iterationen.

Positive Elemente in der „Rentabilitätsreihe“ lassen darauf schließen, dass die Einführung der entsprechenden Aktivitäten in der Basis zu einem Rückgang des Gesamtgewinns führen wird. Nullelemente in der 'Rentabilitätszeile' (in den Spalten der produktiven Aktivitäten A 1, …, A 5 ) implizieren, dass es andere optimale Lösungen gibt, die den gleichen Gesamtgewinn erzielen. Wenn also die Elemente der 'Rentabilitätszeile' (der Spalten der produktiven Aktivitäten) entweder positiv oder null sind, stoppen wir (normalerweise) die Iterationen, da eine optimale Lösung erreicht wurde.

Iteration II:

Wir müssen die eingehende Aktivität und die ausgehende Aktivität finden, das ist die Aktivität, die wir in die Basis einführen müssen und die, die ersetzt wird.

Als eingehende Aktivität wählen wir die Aktivität mit dem höchsten Einheitsgewinn, dh die Aktivität mit dem größten negativen Element in der 'Rentabilitätszeile'. In unserem Beispiel ist die rentabelste Aktivität A 5 .

Die ausgehende Aktivität wird ermittelt, indem jede Aktivitätsstufe in der ersten Basis (F 1, F 2 und F 3 in unserem Beispiel) durch den relevanten Eingabekoeffizienten der eingehenden Aktivität dividiert und die Aktivität der alten Basis ersetzt wird das verhältnis ist das kleinste. In unserem Beispiel haben wir

Das kleinste Verhältnis ist F 2 / k 5, daher ist die ausgehende Aktivität S 2 . Die neue Basis umfasst die Aktivitäten S 1, A 5 und S 3 . Wir ersetzen die lockere Aktivität, deren Verhältnis am kleinsten ist, da die entsprechende Ressource als erste erschöpft sein wird, wenn wir die Produktion von Ware x 5 (produziert durch die eingehende Aktivität) ausweiten.

Unser nächster Schritt besteht darin, die Elemente der neuen Iterationstabelle zu finden.

Die folgenden Schritte sind an diesem Prozess beteiligt:

1. Wir definieren das Pivot-Element, das das Element am Schnittpunkt der eingehenden und ausgehenden Aktivitäten ist. In unserem Beispiel ist das Drehelement 2 am Schnittpunkt von A 5 und S 2 .

2. Wir finden die Elemente der Pivot-Reihe, dh die Reihe, die von der eingehenden Aktivität belegt wird und die Stelle der ausgehenden Aktivität einnimmt. Die Elemente der Pivot-Reihe werden ermittelt, indem die Elemente der ursprünglichen Reihe (der ausgehenden Aktivität) durch das Pivot-Element (in unserem Beispiel 2) geteilt werden. Die Elemente der Pivot-Zeile sind die Elemente der eingehenden Aktivität (A 5 ) in der neuen Iterationstabelle.

In unserem Beispiel sind die Elemente der Pivot-Reihe:

3. Jedes andere Element in der zweiten Iterationstabelle bi wird gefunden, indem von dem entsprechenden ursprünglichen Element a (in der ersten Iterationstabelle) das Produkt des Elements der Pivot-Zeile subtrahiert wird, das sich in derselben Spalte wie a befindet, multipliziert mit das Element der eingehenden Aktivität, das sich in derselben Zeile befindet wie ein i .

Die Berechnungen sind in Tabelle 20.2 dargestellt. Die zu diesem Zeitpunkt erforderlichen entscheidenden Daten sind die Elemente der Pivot-Reihe (b 10, b 1 1 …, b 18 ) und die Elemente der Spalte der ausgehenden Aktivität (a 6 = 2, a 15 = 2, a 24 = 2).

Die Elemente der ersten und dritten Zeile der zweiten Iterationstabelle sind:

4. Der Gesamtgewinn der neuen Lösung (Z ll ) ergibt sich aus der Multiplikation der Aktivitätsstufen auf dieser Basis mit ihren Einheitsgewinnen

Z II = & pgr; 6 (S 1 ) + & pgr; 5 (/ A 5 ) + & pgr; 8 (S 3 ) = (20) (0) + (40) (6) + (70) (0) = 240

5. Die Elemente der Rentabilitätszeile werden auf die gleiche Weise geschätzt wie die anderen Elemente der zweiten Iterationstabelle. Das heißt, von den anfänglichen 'Rentabilitätselementen' subtrahieren wir das Produkt des Elements der Pivot-Reihe (das sich in derselben Spalte wie π iI befindet ) mal das 'Rentabilitätselement' der eingehenden Aktivität

Wir haben nun die Berechnung der Elemente der zweiten Iteration abgeschlossen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 20.3 gezeigt.

S 1 = 20 A 5 = 40 S 3 = 70

Es ist klar, dass die zweite Basis besser ist als die ursprüngliche Lösung, da sie einen Gesamtgewinn von 240 Geldeinheiten ergibt. Solange jedoch negative Elemente in der letzten Zeile der Iterationstabelle erscheinen, können wir unsere Lösung weiter verbessern (den Gewinn steigern), indem wir die Aktivität in die Basis einführen, die das größte negative „Rentabilitätselement“ aufweist.

In unserer Beispielaktivität ist eine 2, die Ware x 2 erzeugt, die eingehende Aktivität in der neuen Lösung (Basis III). Die ausgehende Aktivität wird auf dieselbe Weise wie in der vorherigen Iteration bestimmt. Das heißt, wir teilen die Slack-Aktivitäten in Basis II durch die entsprechenden Elemente in der Spalte der eingehenden Aktivität (A 2 ) und streichen die Aktivität mit dem kleinsten Verhältnis. In unserem Beispiel haben wir

20/2 = 10 und 70/1 = 70

Da (20/2) <(70/1) ist die ausgehende Aktivität bei dieser Iteration 5, . (Tabelle 20.4.)

Bevor wir mit den Berechnungen der dritten Iteration fortfahren, ist es nützlich, die Implikationen des Simplex-Kriteriums anzugeben. Dieses Kriterium dient dazu zu definieren, ob die optimale Lösung erreicht wurde oder ob eine weitere Verbesserung durch zusätzliche Iterationen erreicht werden kann.

Das Simplex-Kriterium kann in den folgenden Sätzen zusammengefasst werden:

Wenn eines oder mehrere Elemente in der 'Rentabilitätszeile' negativ sind, ist eine weitere Verbesserung der Lösung möglich, und die Iterationen sollten fortgesetzt werden, sofern nicht alle Elemente der eingehenden Aktivität positiv oder null sind. In diesem Fall schließen wir, dass das Problem keine Lösung hat oder nicht korrekt angegeben wurde.

Wenn alle Elemente in der 'Rentabilitätszeile' positiv oder null sind, ist die Basis in dieser Tabelle eine optimale Lösung, und weitere Iterationen sind (normalerweise) nicht erforderlich. Die Einbeziehung von Aktivitäten mit positiven „Rentabilitätselementen“ in die Basis verringert den Gesamtgewinn des Unternehmens, weshalb solche Aktivitäten nicht als Mittel zur Verbesserung der Lösung angesehen werden sollten.

Wenn einige der produktiven Aktivitäten im Final Table keine „Rentabilitätselemente“ enthalten, gibt es mehr als eine optimale Lösung. Wenn wir in der Basis eine Aktivität mit Null 'Rentabilität' einführen, wird der Gesamtgewinn nicht beeinflusst.

Iteration III:

Die letzte Zeile der zweiten Iterationstabelle enthält negative Elemente und daher kann die Lösung verbessert werden. Die eingehende Aktivität ist die mit dem größten negativen 'Rentabilitätselement' (A 2 in unserem Beispiel), und die ausgehende Aktivität ist S 1, die das kleinste Verhältnis aufweist (S 1/2 = Stufe von S 1 in Basis II geteilt durch entsprechendes Element der Spalte der eingehenden Aktivität).

Nachdem wir die eingehenden und ausgehenden Aktivitäten definiert haben, wiederholen wir die Berechnungen der zweiten Iteration:

1. Das Pivot-Element ist 2, definiert durch den Schnittpunkt der ankommenden und abgehenden Aktivitäten.

2. Die Elemente der „Pivot-Reihe“ werden durch die Aufteilung der Elemente der ausgehenden Aktivität in das Pivot-Element definiert. Sie sind

20/2 = 10, 0/2 = 0, 2/2 = 1, 0/2 = 0, 1/2, 0/2 = 0, 1/2, -1/2, 0/2 = 0

3. Die verbleibenden Elemente (c i ) der dritten Iterationstabelle werden durch Subtrahieren des Produkts des Elements der „Pivot Row“ (das sich in derselben Spalte wie befindet) von den entsprechenden Elementen der zweiten Iterationstabelle (b i ) gefunden b i ) mal das Element der eingehenden Aktivität (die in der gleichen Zeile wie b i ist ).

Die Werte der Elemente der dritten Iteration sind:

4. Der Gesamtgewinn der Basis III ergibt sich aus der Addition der Produkte der in dieser Basis enthaltenen Aktivitätsstufen zu den entsprechenden Einheitsgewinnen (wie in der Zielfunktion angegeben).

ZIII = (10) (2) + (40) (6) + (60) (0) = 260

Dies ist höher als der Gewinn der vorherigen Lösung (Z II = 240).

5. Die Elemente der 'Rentabilitätszeile' der dritten Iteration werden wie in der zweiten Iteration berechnet

Damit haben wir die Berechnungen der Elemente der dritten Basis abgeschlossen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 20.5 gezeigt.

Unter Verwendung der Aussagen des Simplexkriteriums beobachten wir das Folgende. Alle Elemente in der letzten Zeile ('Rentabilitätszeile') sind entweder positiv oder null. Dies impliziert, dass diese Tabelle eine optimale Lösung enthält.

Die Aktivitäten dieser Basis sind:

A 2 = 10 Wareneinheiten x 2

A 5 - 40 Wareneinheiten x 5

S 3 = 60 Einheiten des nicht genutzten Faktors F 3

Der Gesamtgewinn dieser optimalen Lösung beträgt 260 Geldeinheiten. Angesichts der Tatsache, dass in der letzten Zeile (und in den Spalten der produktiven Aktivitäten) Nullen stehen, schließen wir, dass die obige Lösung nicht eindeutig ist. Das heißt, es gibt andere optimale Lösungen (zu denen die produktiven Aktivitäten mit null „Rentabilitätselementen“ gehören). Diese alternativen optimalen Lösungen bringen natürlich den gleichen Gesamtgewinn. Da wir eine optimale Lösung gefunden haben, werden wir keine weiteren Iterationen durchführen. Es gibt jedoch Fälle, in denen der Ort zusätzlicher optimaler Lösungen nützlich sein kann.

V. Das doppelte Problem und die Schattenpreise:

Das Grundproblem, dessen Lösung durch die lineare Programmiertechnik versucht wird, heißt das Grundproblem. Zu jedem Urproblem gehört ein Doppelproblem, das dem Entscheider zusätzliche Informationen liefert. Die Natur des doppelten Problems hängt vom ursprünglichen Problem ab. Wenn das Hauptproblem ein Maximierungsproblem ist, ist sein Doppeltes ein Minimierungsproblem. In ähnlicher Weise ist, wenn das Ursprüngliche ein Minimierungsproblem ist, das Doppelte ein Maximierungsproblem.

Die detaillierte Untersuchung des doppelten Problems würde den Rahmen dieses Buches sprengen. Wir werden uns hier auf das doppelte Problem unseres früheren Beispiels der Gewinnmaximierung konzentrieren. In diesem Fall liegt das doppelte Problem in der Kostenminimierung. Aus dieser Lösung leiten wir die Schattenpreise der vom Unternehmen verwendeten Produktionsfaktoren ab.

Das doppelte Problem kann unabhängig von seinem Ursprung durch ein ähnliches Verfahren wie das oben beschriebene gelöst werden. Die aus der Lösung des Dualen erhaltenen Werte werden jedoch auch als Nebenprodukt aus der letzten Iteration des Primären erhalten, was die optimale Lösung ergibt.

In unserem Beispiel sind die Schattenpreise der drei Produktionsfaktoren die Elemente, die in den letzten drei Zellen der 'Rentabilitätszeile' von Tabelle 20.5 erscheinen.) Wenn die optimale Lösung eine lockere Aktivität enthält, aus der hervorgeht, dass eine bestimmte Menge des entsprechenden Faktors arbeitslos bleibt Dieser Faktor hat einen Schattenpreis von Null.

Wenn die Faktoren voll ausgeschöpft sind, sind ihre Schattenpreise positiv. In unserem Beispiel erscheinen die Schattenpreise des Faktors Arbeit (F 1 ) und des Faktors Kapital (F 2 ), die in der optimalen Lösung voll eingesetzt sind, als positiv und entsprechen 1 bzw. 2 Geldeinheiten. Der Schattenpreis des Faktors Land (F 3 ) ist Null, da dieser Faktor in der optimalen Lösung nicht voll ausgenutzt wird.

Die Schattenpreise der Faktoren sind die kalkulatorischen Kosten oder Opportunitätskosten der Faktoren für das jeweilige Unternehmen. Als solche sind sie entscheidende Indikatoren für die Expansion des Unternehmens. Sie zeigen, welche Faktoren Engpässe für die weitere Expansion des Unternehmens darstellen, da diese Faktoren bei einem positiven Schattenpreis (Opportunitätskosten) in der optimalen Lösung auftreten werden.

Darüber hinaus können die Schattenpreise der Ressourcen mit ihren Marktpreisen verglichen werden und dem Unternehmer helfen, zu entscheiden, ob es rentabel ist, zusätzliche Einheiten dieser Faktoren einzustellen. Der Schattenpreis eines Faktors gibt an, um wie viel sich der Gewinn des Unternehmens erhöht, wenn das Unternehmen eine zusätzliche Einheit dieses Faktors einsetzt.

In unserem Beispiel sehen wir, dass der Gewinn des Unternehmens um eine Währungseinheit steigen würde, wenn es eine zusätzliche Arbeitseinheit einstellen würde. In ähnlicher Weise würde der Gewinn des Unternehmens um 2 Geldeinheiten steigen, wenn das Unternehmen eine zusätzliche Kapitaleinheit beschäftigen würde. Um jedoch zusätzliche Einheiten von L und / oder K zu mieten, müsste die Firma ihren Marktpreis (Lohn oder Miete des Kapitals) zahlen.

Wenn also der Schattenpreis eines Faktors größer ist als sein Marktpreis, würde er das Unternehmen dafür bezahlen, diesen Faktor stärker einzusetzen, da sich der Nettogewinn des Unternehmens erhöhen würde. Offensichtlich sind die Schattenpreise, deren Werte aus der linearen Programmiertechnik geschätzt werden, für das Unternehmen von großer praktischer Bedeutung.

 

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