Cobb-Douglas-Produktionsfunktion und ihre Eigenschaften

Während der Diskussion über die Produktionstheorie des Unternehmens verwendeten die Ökonomen CW Cobb und PH Douglas eine spezielle Form der Produktionsfunktion, die als Cobb-Douglas-Produktionsfunktion bekannt ist. Die Produktionsfunktion von Cobb-Douglas (CD) ist von der Form

Q = ALαKβ (8, 100)

Wobei L = verwendete Arbeitsmenge

K = eingesetzte Kapitalmenge

Q = Produktionsmenge

A, α, β = positive Konstanten.

Tatsächlich ist der Parameter A der Effizienzparameter. Es dient als Indikator für den Stand der Technik. Je höher der Wert von A ist, desto höher ist der Ausgangspegel, der durch eine bestimmte Kombination der Eingänge erzeugt werden kann.

Auch α und β sind die Verteilungsparameter. Sie haben mit den relativen Faktoranteilen im Produkt zu tun. Hier wird angenommen, dass das Unternehmen zwei Inputs verwendet, Arbeit (L) und Kapital (K) und nur ein Produkt (Q) produziert.

Eigenschaften der Cobb-Douglas- Produktionsfunktion :

Die CD-Produktionsfunktionen besitzen eine Reihe wichtiger Eigenschaften, die sie für die Analyse wirtschaftlicher Theorien von großem Nutzen gemacht haben. Wir werden sie jetzt diskutieren.

Die CD-Produktionsfunktion (8.100) ist eine homogene Funktion, wobei der Homogenitätsgrad der Funktion α + β ist. Denn hier erhalten wir

A (tL) α (tK) β = tα + β A LαKβ = ta + β Q (8.100a)

Dabei ist t eine positive reelle Zahl.

Wir erhalten aus (8.100a), dass, wenn L und K um den Faktor t erhöht werden, Q um den Faktor tα + β erhöht wird. Auch (8.100a) gibt uns die Bedingung, dass die CD-Funktion (8.100) homogen von Grad eins (oder linear homogen) wird

α + β = 1. (8.101)

In diesem Fall würde (8.100) ergeben, dass, wenn L und K um den Faktor t erhöht werden, Q auch um den Faktor t erhöht wird. Wenn die CD-Produktionsfunktion in einem beliebigen Grad α + β wie in (8.100) und (8.100a) homogen ist, kann (8.100) die verallgemeinerte Version der CD-Funktion genannt werden.

Wenn andererseits die CD-Funktion homogen ist, wie in (8.100) und (8.101) angegeben, wird die Funktion als linear homogene CD-Funktion bezeichnet.

Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, homogen von Grad Eins :

Die CD-Produktionsfunktion des ersten Grades kann geschrieben werden

Q = ALαKβ.α + β = 1 (8, 102)

Die Eigenschaften dieser Funktion, dh (8, 102), sind

(i) Durchschnittliche und marginale Produkte von L und K, dh AP L, AP K, MP L und MP K, wären alle Funktionen des LK- oder KL-Verhältnisses. Lassen Sie uns nun diese Eigenschaft festlegen.

Wir erhalten:

Q = ALαK1, 0 <α <1 (... α, β> 0 und α + β = 1) (8, 103)

⇒ Q / L = ALα-1K1-α

⇒ Q / L = A (K / L) 1-α

⇒AP L = g (K / L) [ . . . Per Definition ist Q / L = AP L ] (8.104)

dh AP L ist eine Funktion des KL-Verhältnisses.

In ähnlicher Weise haben wir ab (8.103):

Q / K = ALαK - α

⇒ Q / K = A (L / K) α

⇒ AP K = h (L / K) [. . . Q / K = AP K ] (8, 105)

dh AP K ist eine Funktion des KL-Verhältnisses.

Wiederum haben wir ab (8.103)

∂Q / ∂L = αA.Lα − 1. K1-α

= αA (K / L) 1 - α

⇒ MP L = ϕ (K / L) [ . . . ∂Q / ∂L = MP L ] (8, 106)

Das heißt, MP L ist eine Funktion des KL-Verhältnisses.

Schließlich haben wir ab (8.103)

∂Q / ∂K = (1 - α) ALαK - α

= (1-α) A (L / K) α

⇒ MP K = Ψ (L / K) [ . . . ∂Q / ∂K = MP K ] (8, 107)

Das heißt, MP K ist eine Funktion des LK-Verhältnisses.

Wir haben oben gesehen, dass AP L, AP K, MP L und MP K alle Funktionen des KL-Verhältnisses sind. Wenn das Unternehmen die Mengen von L und K unter Beibehaltung des Verhältnisses ändert, bleiben daher alle diese Durchschnitts- und Grenzprodukte konstant. Mit anderen Worten, sie können sich nur ändern, wenn die Firma L und K in unterschiedlichen Anteilen ändert.

(ii) Da im Fall der CD-Produktionsfunktion (8.103) sowohl MP L als auch MP K als Funktionen des LK-Verhältnisses erhalten wurden, hat diese Funktion auch die folgende Eigenschaft:

MRTS LK = MP L / MP K = Funktion des L / K-Verhältnisses. (8.108) würde

Wie wir wissen, ist MRTS L, K die Grenzrate der technischen Substitution von L für K.

(iii) Im Fall der CD-Produktionsfunktion (8.103) wären die AP L - und MP L -Kurven und die AP K - und MP K -Kurven alle abwärts geneigt. Das heißt, wenn die Firma die Verwendung eines der Eingänge erhöht, während die des anderen unverändert bleibt, würden der AP und der MP des früheren Eingangs abnehmen. Lassen Sie uns diese Eigenschaft einrichten.

Aus Gl. (8.104) und (8.106) erhalten wir:

MP L = αA (K / L) 1 - α = αAP L

⇒ MP L <AP L (... 0 <α <1) (8, 109)

Wiederum erhalten wir aus (8.106)

∂ / ∂L (MP L ) = αAK1 - α (α - 1) Lα - 2

= α (α - 1) AK1 - αL α - 2 <0 (8, 110)

[ . . . 0 <α <1]

Aus (8.110) ist ersichtlich, dass die Steigung der MP L -Kurve negativ ist, dh diese Kurve ist nach rechts abwärts geneigt. Mit anderen Worten, wenn L ansteigt, K konstant bleibt, verringert sich MP L.

Wiederum erhalten wir aus (8.104):

∂ / ∂L (AP L ) = AK1 - α (α - 1) Lα - 2

= A (α - 1) K1 - αL α - 2 <0 (8, 111)

[ . . . 0 <α <1]

(8.111) gibt an, dass die Steigung der AP L -Kurve negativ ist, dh diese Kurve ist wie die MP L -Kurve auch abwärts geneigt.

Wie wir aus der Beziehung AP L - MP L wissen, würde, wenn die AP L -Kurve nach unten abfällt, MP L <AP L sein, dh die MP L -Kurve würde unter der AP L -Kurve liegen (8.6.4, 8.6.5). Wir haben natürlich bereits in (8.109) erhalten, dass MP L kleiner als AP L wäre .

Wir haben darüber erhalten, dass im Fall der CD-Produktionsfunktion (8.102) sowohl die AP L - als auch die MP L -Kurve nach rechts abwärts geneigt wären und die MP L -Kurve unter der AP L -Kurve liegen würde. In ähnlicher Weise können wir aus den Gleichungen (8.105) und (8.107) feststellen, dass sowohl die AP K - als auch die MP K -Kurve abwärts geneigt sind und die MP K -Kurve unter der AP K -Kurve liegt.

(iv) Im Fall der CD-Produktionsfunktion (8.103) wäre der Teilelastizitätskoeffizient von Q bezüglich einer Änderung von L, wobei K konstant bleibt, EQ L = a = konstant und der Teilelastizitätskoeffizient von Q bezüglich einer Änderung in K wäre L, das konstant bleibt, EQ L = 1 - α = konstant. Wir können diese Eigenschaft auf folgende Weise einrichten.

Per Definition haben wir

Wir haben auch

Somit ist die Eigenschaft (iv) festgelegt. Diese Eigenschaft gilt für die allgemeine CD-Funktion jeden Grades (α + β) nach (8.99). In diesem Fall wären die Elastizitäten durch α bzw. β gegeben.

(v) Für die CD-Produktionsfunktion (8.103) wären die Isoquanten der Firma negativ geneigt und diese Kurven wären konvex zum Ursprung. Lassen Sie uns diese Eigenschaft einrichten. Die CD-Produktionsfunktion ist

Q = f (L, K) = ALαK1 - α [(8.103)]

Nimmt man die Gesamtdifferenz von (8.103), so erhält man

dQ = (∂f / ∂L) dL + (∂f / ∂K) dK (8, 114)

Nun, für eine Bewegung von einem Punkt auf einem IQ zu einem anderen (sehr nahen) Punkt, würde dQ = 0 und in diesem Fall (8.114) geben

0 = (Δf / ΔL) dL + (Δf / ΔK) dK

Wir haben also für die CD-Funktion (8.103) die Steigung eines IQ erhalten, nämlich

wäre negativ. Wieder (8.115) würde uns geben

d2K / dL2 = - α / 1 - α (- K / L2) = (α / 1 - α) (K / L2)> 0 (8, 116)

Aus (8.116) ist klar, dass mit steigendem L auch die Steigung des IQ, dh dK / dL, steigt oder die absolute Steigung des IQ abnimmt. Dies impliziert, dass ein IQ zum Ursprung konvex wäre. Diese Eigenschaft kann auch festgelegt werden, wenn wir die durch (8.100) und (8.100a) gegebene allgemeine Version der CD-Funktion verwenden, dh diese Eigenschaft gilt für die CD-Funktion in jedem Grad homogen, nämlich a + p, a + P muss nicht gleich 1 sein.

(vi) Für die CD-Funktion (8.103) wäre die Expansion der Firma eine gerade Linie. Wir können diese Eigenschaft auf folgende Weise einrichten.

Die Produktionsfunktion (8.103) ist

Q = f (L, K) = A.Lα. K1 - α

Wie wir wissen, lautet die Gleichung des Expansionspfads

Wobei r L = Arbeitspreis (L) = konstant ist

Und r K = Kapitalpreis (K) = konstant

Da r L, r K, α = Konstante und die Potenz von Land K = 1 ist, ist Gleichung (8.118) eine lineare Gleichung. Die Steigung dieser Geraden beträgt r L / r K. 1 –α / α = positive Konstante [ . . . 0 <α <1 und r L, r K > 0].

Diese Gerade beginnt am Ursprung, denn wenn in (8.118) L = 0 ist, haben wir K = 0. Daher würde für die CD-Homogenitätsfunktion des Grades 1 (8.103) der Expansionspfad der Firma am Ursprung beginnen und es wäre eine gerade Linie, die nach rechts oben abfällt.

In der obigen Analyse verwenden wir Gl. (8.100) anstelle von Gl. (8.103) erhalten wir, dass der Expansionspfad für eine in jedem Grad homogene CD - Produktionsfunktion vom Ursprung ausgeht und eine gerade Linie ist, die nach rechts oben abfällt, dh diese Eigenschaft gilt auch für die allgemeine Version von CD-Funktion, in jedem Grad homogen, α + β.

(vii) Für die CD-Produktionsfunktion (8.103) wäre die Gesamtleistung erschöpft, wenn die Eingaben L und K zum Satz ihres jeweiligen Grenzprodukts gezahlt würden, dh L. MP L + K. MP K = Q.

Wir können dies auf folgende Weise beweisen.

LMP L + KMP K

= LAαLα - 1K1 - α + KALα (1 - α) K - α

= αALαK1 - α + (1 - α) ALαK1 - α

= ALαK1 - α (α + 1 - α)

= ALαK1 - α

= Q (8, 119)

Somit ist die Immobilie eingerichtet. Diese Eigenschaft kann auch unter Verwendung der allgemeinen Version der CD-Funktion (8.100) festgelegt werden, dh diese Eigenschaft gilt für eine CD-Funktion, die in jedem Grad homogen ist.

(viii) Wenn für die CD-Produktionsfunktion (8.103) Arbeit (L) und Kapital (K) zum Satz ihrer jeweiligen Abgeordneten gezahlt werden, sind die relativen Anteile von Arbeit und Kapital a bzw. 1 - a. Wir können dies auf folgende Weise beweisen.

Absoluter Anteil von L an der Gesamtleistung = LMP L

Und der relative Anteil der Arbeit = LMP L / Q

= LAαLα-1K1-α / ALαK1-α = α (8, 120)

Auch der absolute Anteil von L an der Gesamtleistung = KMP K

Und der relative Anteil von K = KMP K / Q

= KALα (1 - αK - α)

= 1 - α (8, 121)

Somit ist die Immobilie eingerichtet. Diese Eigenschaft kann auch unter Verwendung der allgemeinen CD-Funktion (8, 99) hergestellt werden, die in jedem Grad α + β homogen ist. In diesem Fall wären die relativen Anteile von Arbeit und Kapital α bzw. β.

 

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