Homogene Produktionsfunktion Wirtschaft

Eine Funktion wird als homogen vom Grad n bezeichnet, wenn die Multiplikation aller unabhängigen Variablen mit derselben Konstante, beispielsweise λ, zur Multiplikation der abhängigen Variablen mit λn führt. Also die Funktion

Y = X2 + Z2

ist homogen von Grad 2 da

(λX) 2 + (λZ) 2 = λ2 (X2 + Y2) = λ2Y

Eine vom Grad 1 homogene Funktion soll linear homogen sein oder lineare Homogenität aufweisen. Eine Produktionsfunktion, die homogen vom Grad 1 ist, zeigt konstante Skalenerträge, da eine Verdoppelung aller Eingaben zu einer exakten Verdoppelung der Ausgabe führt. Diese Art der Produktionsfunktion weist also über den gesamten Leistungsbereich konstante Skalenerträge auf. Wenn die Produktionsfunktion Q = f (K, L) im Allgemeinen linear homogen ist, dann

F (λK, λL) = λf (K, L) = λQ

für jede Kombination von Arbeit und Kapital und für alle Werte von λ. Wenn λ gleich 3 ist, führt eine Verdreifachung der Eingänge zu einer Verdreifachung des Ausgangs.

Es gibt verschiedene Beispiele für linear homogene Funktionen.

Zwei solche Beispiele sind die folgenden:

Q = aK + bL

und Q = A Kα L1 - α 0 <α <1

Das zweite Beispiel ist als Cobb-Douglas-Produktionsfunktion bekannt. Um zu sehen, dass es in der Tat homogen ist, nehmen wir an, dass das Unternehmen zunächst Q 0 mit den Inputs K 0 und L 0 erzeugt und dann seinen Einsatz von Kapital und Arbeit verdoppelt.

Die resultierende Ausgabe wäre gleich:

Dies zeigt, dass die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion linear homogen ist.

Eigenschaften:

Es gibt verschiedene interessante Eigenschaften linear homogener Produktionsfunktionen. Erstens können wir die Funktion Q = f (K, L) in einer von zwei alternativen Formen ausdrücken.

(1) Q = kg (l / k) oder

(2) Q = Lh (K / L)

Diese Eigenschaft wird oft verwendet, um zu zeigen, dass Grenzprodukte von Arbeit und Kapital nur Funktionen des Verhältnisses von Kapital und Arbeit sind.

Insbesondere sind die Grenzprodukte wie folgt:

MP k = g (L / K) - (L / K) g '(L / K)

und MP L = g '(L / K)

wobei g '(L, K) die Ableitung von g (L / K) bezeichnet. Dies hat die Bedeutung, dass sich die Grenzprodukte der Inputs nicht ändern, wenn beide Inputs proportional zunehmen. Da die Grenzrate der technischen Substitution gleich dem Verhältnis der Grenzprodukte ist, ändert sich das MRTS nicht entlang eines Strahls durch den Ursprung, der ein konstantes Kapital-Arbeit-Verhältnis aufweist. Da das MRTS die Steigung des Isoquanten ist, erzeugt eine linear homogene Produktionsfunktion Isoquanten, die entlang eines Strahls durch den Ursprung parallel sind.

Expansionspfad:

Wenn ein Unternehmen eine linear homogene Produktionsfunktion verwendet, verläuft sein Expansionspfad geradlinig. Um diesen Punkt zu überprüfen, gehen wir von einem anfänglichen Punkt der Kostenminimierung in Fig. 12 aus, mit einer Ausgabe von 10 Einheiten und einer Beschäftigung (Nutzung) von 10 Arbeitseinheiten und 5 Kapitaleinheiten. Nehmen wir an, das Unternehmen möchte seine Produktion auf 15 Einheiten ausweiten. Da sich die Eingangspreise nicht ändern, muss die Steigung der neuen Isoquante gleich der Steigung der ursprünglichen sein.

Die Steigung des Isoquanten ist jedoch die MRTS, die entlang eines Strahls vom Ursprung für eine linear homogene Produktionsfunktion konstant ist. Folglich bleibt die Kostenminimierung des Verhältnisses von Kapital und Arbeit konstant. Da die Produktion um 50% gestiegen ist, werden auch die Produktionsmengen von 10 Arbeitseinheiten auf 15 und von 5 Kapitaleinheiten auf 7, 5 um 50% steigen. Somit ist der Expansionspfad eine gerade Linie.

Produktionsfunktionen können viele spezifische Formen annehmen. Typischerweise arbeiten Ökonomen und Forscher mit einer homogenen Produktionsfunktion. Eine Funktion wird als homogen vom Grad n bezeichnet, wenn die Multiplikation aller unabhängigen Variablen mit derselben Konstante, beispielsweise λ, zur Multiplikation der unabhängigen Variablen mit λn führt. Somit ist die Funktion:

Q = K2 + L2

ist homogen von Grad 2 da

(λK) 2 + (λL) 2 = λ2 (K2 + L2) = λ2Q

Eine vom Grad 1 homogene Funktion soll linear homogen sein oder lineare Homogenität aufweisen. Eine Produktionsfunktion, die homogen vom Grad 1 ist, zeigt konstante Skalenerträge, da eine Verdoppelung aller Eingaben zu einer Verdoppelung der Ausgabe führt.

Eine Produktionsfunktion ist vom Grad n homogen, wenn bei der Multiplikation von Eingaben mit einer Konstanten, z. B. α, die resultierende Ausgabe ein Vielfaches des a2-fachen der ursprünglichen Ausgabe ist.

Das heißt für eine Produktionsfunktion:

Q = f (K, L)

dann genau dann, wenn

Q = f (& agr; K, & agr; L) = & agr; nf (K, L)

ist die Funktion homogen. Der Exponent n bezeichnet den Homogenitätsgrad. Wenn n = 1 ist, wird die Produktionsfunktion als homogen von Grad eins oder linear homogen bezeichnet (dies bedeutet nicht, dass die Gleichung linear ist). Eine linear homogene Produktionsfunktion ist von Interesse, weil sie CRS aufweist.

Dies ist leicht zu erkennen, da der Ausdruck αn. f (K, L), wenn n = 1 ist, reduziert sich zu α. (K, L), so dass das Multiplizieren von Eingaben mit einer Konstanten die Ausgabe einfach um das gleiche Verhältnis erhöht. Beispiele für linear homogene Produktionsfunktionen sind die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion und die CES-Produktionsfunktion (Constant Elasticity of Substitution). Wenn n> 1 ist, zeigt die Produktionsfunktion IRS. Wenn n <1, herrscht DRS.

Cobb-Douglas-Produktionsfunktion:

Wirtschaftswissenschaftler haben zu verschiedenen Zeiten viele tatsächliche Produktionsfunktionen untersucht, und eine berühmte Produktionsfunktion ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. Eine solche Funktion ist eine Gleichung, die die Beziehung zwischen der Eingabe von zwei Faktoren (K und L) in einen Produktionsprozess und der Ausgabeebene (Q) zeigt, bei der die Elastizität der Substitution zwischen zwei Faktoren gleich eins ist.

In Bezug auf die verarbeitende Produktion gibt diese Produktionsfunktion grob gesagt an, dass die Arbeitskraft etwa drei Viertel des Anstiegs der verarbeitenden Produktion und des Kapitals des verbleibenden Viertels beiträgt.

Angenommen, die Produktionsfunktion ist vom folgenden Typ:

Q = AKα Lβ

wobei Q ausgegeben wird, A konstant ist, K der Kapitaleinsatz ist, L der Arbeitseinsatz ist und a und (3 die Exponenten der Produktionsfunktion sind. Dies ist als Cobb-Douglas-Produktionsfunktion bekannt. Es hat eine wichtige Eigenschaft.

Die Summe der beiden Exponenten gibt die Skalenerträge an:

(i) Wenn α + β> 1 ist, zeigt die Produktionsfunktion zunehmende Skalenerträge.

(ii) Wenn α + β = 1 ist, gibt es konstante Skalenerträge.

(iii) Wenn schließlich α + β <1 ist, gibt es abnehmende Skalenerträge.

Angenommen, die Produktion ist vom folgenden Typ:

Q = AK0. + 75 L0.25

Es zeigt eine konstante Rückkehr zum Maßstab, da α = 0, 75 und β = 0, 25 und α + β = 1 sind.

 

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