Eigenschaften der linear homogenen Produktionsfunktion

Nehmen wir an, dass ein Unternehmen zwei Inputs verwendet, Arbeit (L) und Kapital (K), um seinen Output (Q) zu produzieren, und seine Produktionsfunktion ist

Q = f (L, K) (8, 122)

[wobei L und K die Mengen sind, die für die Inputs Arbeit (L) und Kapital (K) verwendet werden, und Q die Menge der produzierten Outputs ist]

Die Funktion (8.122) ist homogen vom Grad n, wenn wir haben

f (tL, tK) = tn f (L, K) = tnQ (8, 123)

Dabei ist t eine positive reelle Zahl.

In der Produktionstheorie ist das Konzept der homogenen Produktionsfunktionen des Grades eins [n = 1 in (8.123)] weit verbreitet. Diese Funktionen werden auch als "linear" homogene Produktionsfunktionen bezeichnet.

Wenn die Produktionsfunktion (8.122) linear homogen ist, hätten wir

f (tL, tK) = tf (L, K) = tQ (8, 124)

Aus (8.124) ist klar, dass lineare Homogenität bedeutet, dass eine Erhöhung aller Eingaben (unabhängige Variablen) um den Faktor t die Ausgabe (den Wert der Funktion) immer genau um den Faktor t erhöht. Die Annahme einer linearen Homogenität würde daher der Annahme einer konstanten Skalenrendite in der Wirtschaftstheorie gleichkommen.

Lassen Sie uns im Folgenden die Eigenschaften einer linear homogenen Produktionsfunktion nach (8.122) und (8.124) diskutieren.

Eigentum I:

Das durchschnittliche (physische) Produkt der Arbeit (AP L ) und des Kapitals (AP K ) kann als Funktion des Verhältnisses von Kapital und Arbeit (K / L) ausgedrückt werden.

Um dies zu beweisen, multiplizieren wir L und K in (8.122) mit dem Faktor t = 1 / L. Dann hätten wir aufgrund der linearen Homogenität

f (L / L, K / L) = Q / L

⇒ f [(1, K / L)] = Q / L

⇒ g (K / L) = AP L (8, 125)

Ebenso hätten wir

Q / K = h (L / K)

⇒ APK = h (L / K) (8, 126)

Gl. (8.125) und (8.126) geben an, dass, wenn L und K von der Firma im gleichen Verhältnis erhöht werden und das K / L-Verhältnis konstant bleibt, sich AP L und AP K, dh der AP, absolut nicht ändern würden L- und APK-Funktionen sind in L und K homogen vom Grad Null.

Eigenschaft II:

Die physikalischen Grenzprodukte MP L und MP K sind ebenfalls die Funktionen des K / L-Verhältnisses.

Wir können dies auf folgende Weise feststellen.

Q = Lg (K / L) [von (8, 125)] (8, 127)

Deshalb haben wir

MP L = & Dgr; Q / & Dgr; L = g (K / L) + L g '(K / L) (- K / L2)

= g (K / L) - (K / L) g '(K / L)

= Ψ (K / L)

Auch aus (8.127) haben wir

MPK = Q / K = Lg '(K / L) (1 / L)

= g '(K / L)

(8.128) und (8.129) stellen Eigenschaft II her. Das heißt, wenn die Produktionsfunktion homogen vom Grad Eins ist, sind sowohl MP L als auch MP K homogene Funktionen von K und L vom Grad Null.

Eigenschaft III:

Für die homogene Produktionsfunktion des ersten Grades nach (8.122) und (8.124) hätten wir

Wir können diese Eigenschaft auf folgende Weise einrichten. Ab (8.128) und (8.129) haben wir

L (Q / L) + K (Q / K) = Q

Wir können diese Eigenschaft auf folgende Weise einrichten.

Ab (8.128) und (8.129) haben wir

L (∂Q / ∂L) + K (∂Q / ∂K)

= Lg (K / L) - L (K / L) g '(K / L) + Kg' (K / L)

= Lg (K / L) - Kg '(K / L) + Kg' (K / L)

= Lg (K / L) = Q [von (8, 127)] (8, 130)

(8.130) begründet die Eigenschaft III, auch bekannt als Euler-Theorem.

Diese Eigenschaft kann auch so angegeben werden. Wenn die Vorleistungen Arbeit (L) und Kapital (K) zum Satz ihrer jeweiligen Grenzprodukte (∂Q / ∂L und ∂Q / ∂K) gezahlt werden, wäre das Gesamtprodukt (Q) erschöpft, sofern die Produktionsfunktion erfüllt ist ist homogen von Grad eins.

Eigenschaft IV:

Das MRTS ist im Fall einer homogenen Produktionsfunktion (eines beliebigen Grades n) eine Funktion des K / L-Verhältnisses, und der Expansionspfad für eine solche Funktion ist eine gerade Linie.

Ab (8.122) und (8.123) haben wir

Q = f (L, K)

und f (tL, tK) = tnQ.

Dabei ist t eine positive reelle Zahl.

Da angenommen wurde, dass (8.122) eine homogene Produktionsfunktion des Grades n ist, haben wir (8.123).

Das heißt, entlang des Expansionspfads MRTS L ist K = φ (K / L) = konstant, dh entlang dieses Pfadverhältnisses ist konstant, was impliziert, dass der Expansionspfad eine gerade Linie vom Ursprung ist. Somit ist die Eigenschaft IV festgelegt. Es ist anzumerken, dass wir, wenn wir in den obigen Berechnungen n = 1 setzen, die Eigenschaft feststellen können, wenn die Produktionsfunktion linear homogen ist.

An dieser Stelle sei angemerkt, dass der Expansionspfad der festen und der Kammlinien per Definition alle Isoklinen sind und die Gleichung einer Isokline im Allgemeinen ist

Auch für eine bestimmte Isokline, nämlich die obere und die untere starre Linie, sind die Gleichungen jeweils

Und für die beiden anderen Isoklinen, nämlich die obere und die untere Gratlinie, sind die Gleichungen jeweils

Daher kann das Argument, das wir oben vorgebracht haben, um festzustellen, dass der Expansionspfad einer homogenen Produktionsfunktion (von jedem Grad) eine gerade Linie ist, auch angewendet werden, um uns zu geben, dass unter einer solchen Produktionsfunktion die Isokline im Allgemeinen und insbesondere die Gratlinien sind alle gerade Linien vom Ursprung.

Eigenschaft V:

Wenn die Produktionsfunktion der Firma linear homogen ist, dann würde die Kenntnis der Position einer Isoquante es uns ermöglichen, die gesamte IQ-Karte der Firma zu erhalten. Diese Eigenschaft können wir mit Hilfe von Abb. 8.25 ermitteln.

Nehmen wir in dieser Abbildung an, dass IQ 1 eine Isoquante einer Firma für Q = Q 1 ist und OE und OF zwei beliebige Strahlen vom Ursprung sind. Die Kurve IQ 1 hat diese Strahlen an den Punkten A 1 bzw. B 1 getroffen . Nehmen wir an, dass die Firma den IQ für Q = 2Q 1 haben möchte. Dies kann auf folgende Weise erreicht werden.

Bewegt sich die Firma entlang des Strahls OE vom Punkt A 1 nach A 2, so dass OA 2 = 2. OA 1, so würden sich bei A 2 beide Eingangsgrößen im Vergleich zu A 1 und damit auch die Produktion verdoppeln Funktion ist homogen von Grad eins, würde die Produktionsmenge des Unternehmens auch verdoppelt. Das heißt, wenn bei A 1 der Ausgang Q 1 ist, dann wäre bei A 2 der Ausgang 2Q 1 .

In ähnlicher Weise, wenn entlang des Strahls OF OB 2 = 2. OB 1 ist, würde sich die Ausgabe von Q 1 an B 1 verdoppeln und am Punkt B 2 zu 2Q 1 werden . Nun wäre die Kurve, die durch die Punkte B 1, B 2 usw. verläuft, die auf den verschiedenen Strahlen liegen, der erforderliche IQ für Q = 2Q 1 .

Wenn die Firma den IQ für Q = 3Qi haben möchte, dann müsste sie sich entlang der Strahlen wie OE und OF zu den Punkten A 3, B 3 usw. bewegen, so dass OA 3 = 3. OA 1, OB 3 = 3. OB 1 und so weiter. Infolgedessen würden sich die Eingangsgrößen und die Ausgangsgröße ebenfalls um den Faktor 3 erhöhen. Daher wäre die durch die Punkte A 3, B 3 usw. verlaufende Kurve der erforderliche IQ für Q = 3Q 1 .

Wenn also die Produktionsfunktion linear homogen ist und das Unternehmen einen seiner IQs für Q = Q 1 kennt (etwa), dann wäre es in der Lage, den IQ für Q = tQ 1 zu erhalten, wobei t eine positive reelle Zahl ist . Somit ist die Eigenschaft V festgelegt.

 

Lassen Sie Ihren Kommentar