Differenzierungsrechnung: Konzept und Regeln der Differenzierung Optimierungstechnik

Optimierungstechniken sind ein wichtiges Instrumentarium zur effizienten Verwaltung der Unternehmensressourcen.

Im Folgenden konzentrieren wir uns auf die Verwendung der Differentialrechnung zur Lösung bestimmter Arten von Optimierungsproblemen.

Differentialrechnung: Das Konzept einer Ableitung :

Bei der Erklärung der Steigung einer kontinuierlichen und glatten nichtlinearen Kurve, wenn eine Änderung der unabhängigen Variablen, d. H. AX, kleiner wird und sich Null nähert, wird ∆Y / ∆X eine bessere Approximation der Steigung der Funktion, Y = f (X ), zu einem bestimmten Zeitpunkt. Wenn also ∆X unendlich klein ist, misst measuresY / ∆X die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt und wird als Ableitung der Funktion in Bezug auf X bezeichnet. Die Ableitung dY / dX oder genauer die erste Ableitung von a Die Funktion wird als Grenze des Verhältnisses ∆Y / ∆X definiert, wenn sich ∆X Null nähert. Somit

dY / dX = Grenze ∆X → 0 ∆Y / ∆X

Es ist somit offensichtlich, dass die Ableitung einer Funktion die Wertänderung der abhängigen Variablen anzeigt, wenn die Änderung der unabhängigen Variablen (∆X) infinitesimal klein wird. Beachten Sie, dass die Ableitung einer Funktion [Y = f (X)] auch als d (fX) / dX geschrieben wird. Oder f '(X).

Wie oben erläutert, misst die Ableitung einer Funktion an einem Punkt die Steigung der Tangente an diesem Punkt. Betrachten Sie Abbildung 5.6, wenn ∆X = X 3 - X 1 ist, wird die Steigung der entsprechenden geraden Linie AB gleich Y 3 -Y 1 / X 3 -X 1 kleiner und gleich X 2 -X 1, deren Steigung Die entsprechende Leitung AC ist gleich Y 2 -Y 1 / X 2 -X 1 .

Aus Abbildung 5.6 ist ersichtlich, dass die Steigung der Linie AC näher an der Steigung der Tangente tt liegt, die am Punkt A der Funktionskurve gezeichnet wurde. Wenn X weiter reduziert wird, nähert sich die Steigung der Geraden zwischen den beiden entsprechenden Punkten immer mehr der Steigung der Tangente tt an Punkt A der Kurve an. Bei der Grenze von & Dgr; Y / & Dgr; X, wenn & Dgr; X sich Null nähert, wird die Steigung der Tangente, wie z. B. tt an einem Punkt einer Funktion, die Ableitung dY / dX der Funktion in Bezug auf X.

Somit ist die Ableitung dY / dX die Steigung einer Funktion, unabhängig davon, ob sie linear oder nicht linear ist, und stellt eine Änderung der abhängigen Variablen aufgrund einer kleinen Änderung der unabhängigen Variablen dar. Das Konzept eines Derivats wird in der Wirtschaft und bei der Entscheidungsfindung in Führungspositionen in großem Umfang verwendet, insbesondere bei der Lösung von Optimierungsproblemen wie Gewinnmaximierung, Kostenminimierung, Produktions- und Ertragsmaximierung. Es gibt verschiedene Arten von Funktionen und für sie gibt es unterschiedliche Regeln zum Auffinden der Ableitungen. Im Folgenden werden die Grundregeln für das Auffinden von Ableitungen der verschiedenen Arten von Funktionen erläutert.

Differenzierungsregeln:

Der Vorgang des Findens der Ableitung einer Funktion wird als Differenzierung bezeichnet. Wie oben angegeben, repräsentiert die Ableitung einer Funktion die Änderung der abhängigen Variablen aufgrund einer unendlich kleinen Änderung der unabhängigen Variablen und wird für eine Funktion Y = f (X) als dY / dX geschrieben. Es wurden eine Reihe von Regeln zur Unterscheidung verschiedener Arten von Funktionen abgeleitet. Nachfolgend beschreiben wir diese Differenzierungsregeln.

Ableitung einer konstanten Funktion:

Eine konstante Funktion wird ausgedrückt als

Y = f (X) = a

Wo 'a' konstant ist. Die Konstante 'a' impliziert, dass sich Y nicht ändert, wie sich X ändert, das heißt. Y ist unabhängig von X. Daher ist die Ableitung einer konstanten Funktion gleich Null. Also in dieser konstanten Funktion

dy / dx = 0

Zum Beispiel sei die konstante Funktion Y = 2, 5

Dies ist in Abbildung 5.7 (a) dargestellt. Es ist ersichtlich, dass eine konstante Funktion eine horizontale gerade Linie (mit einer Steigung von Null) ist, die zeigt, dass sich der Wert von Y unabhängig vom Wert der Variablen X überhaupt nicht ändert. Daher ist die Ableitung dY / dX = 0.

Ableitung einer Potenzfunktion:

Eine Potenzfunktion hat folgende Form:

Y = aXb

Wobei a und b Konstanten sind. Hier ist a der Koeffizient des X-Terms und die Variable X wird auf die Potenz b angehoben. Die Ableitung dieser Potenzfunktion ist gleich der Potenz b multipliziert mit dem Koeffizienten a multipliziert mit der Variablen X, die auf die Potenz b - 1 angehoben wird. Somit gilt die Regel für die Ableitung der Potenzfunktion (Y = a Xb)

dY / dX = ba Xb-

Nehmen wir einige Beispiele zur Bestimmung der Ableitung einer Potenzfunktion.

Übernehmen Sie zunächst die folgende Potenzfunktion:

Y = 1, 5 X

In dieser Funktion ist 1.5 der Koeffizient der Variablen X, dh a und die Potenz b von X ist 1 (implizit). Unter Verwendung der obigen Regel für die Ableitung einer Potenzfunktion haben wir

dY / dX = 1 × 1, 5 × 1–1 = 1 × 1, 5 × 0 = 1, 5 × 0 = 1, 5

Dies ist in Abbildung 5.7 (b) grafisch dargestellt. Aus dieser Figur ist ersichtlich, dass die Steigung der linearen Funktion (Y = 1, 5 X) konstant ist und über einen beliebigen Bereich der Werte der Variablen X gleich 1, 5 ist.

Quadratische Potenzfunktion:

Nehmen wir das folgende Beispiel einer quadratischen Potenzfunktion:

Y = X2

Ihre Ableitung ist dy / dx = 2X2-1 = 2X1 = 2X

Zur Veranschaulichung haben wir die Werte von Y berechnet, die mit verschiedenen Werten von X wie 1, 2, 2, 5 und -1, -2, -2, 5 assoziiert sind, und sind in Tabelle 5.3 gezeigt.

Wir haben die Werte von X und die entsprechenden Werte von Y aufgetragen, um eine U-förmige parabolische Kurve in Abbildung 5.8 zu erhalten. Es ist ersichtlich, dass sich die Ableitung dY / dX oder mit anderen Worten die Steigung dieser quadratischen Funktion bei verschiedenen Werten von X ändert.

Einige andere Beispiele für Potenzfunktionen und ihre Ableitungen sind:

Es ist zu beachten, dass jede Variable, die auf die Null-Potenz angehoben wird (wie in unserem Beispiel X0), gleich ist

Für power funktion,

Y = 3X-2

dY / dX = -2 × 3.X-2-1 = -6X-3

Ableitung einer Summe oder Differenz zweier Funktionen :

Die Ableitung einer Summe der beiden Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen, die getrennt von den beiden Funktionen erhalten werden.

Derivat eines Produkts der beiden Funktionen :

Angenommen, Vis ist das Produkt der beiden getrennten Funktionen f (X) und g (X).

Y = f (X). g (X)

Die Ableitung des Produkts dieser beiden Funktionen ist gleich der ersten Funktion multipliziert mit der Ableitung der zweiten Funktion plus der zweiten Funktion multipliziert mit der Ableitung der ersten Funktion. Somit,

Ableitung des Quotienten der beiden Funktionen:

Angenommen, die Variable 7 ist gleich dem Quotienten der beiden Funktionen f (X) und g (X). Das ist,

Y = f (X) / g (X)

Ableitung der Funktion einer Funktion (Kettenregel) :

Wenn eine Variable Y eine Funktion einer Variablen U ist, die wiederum mit einer anderen Variablen X in Beziehung steht, und wir eine Ableitung von Y in Bezug auf X erhalten möchten, verwenden wir zu diesem Zweck die Kettenregel. Angenommen, die Variable Vis ist eine Funktion der Variablen U, dh Y = f (U), und die Variable U ist eine Funktion der Variablen X, dh U = g (X). Um die Ableitung von Y in Bezug auf X zu erhalten, dh dY / dX, finden wir zunächst die Ableitung der beiden Funktionen Y = f (U) und U = g (X) getrennt und multiplizieren sie dann miteinander. Somit,

Somit kann gemäß der Kettenregel, wenn Y = f (U) und U = g (X), die Ableitung von Y in Bezug auf X erhalten werden, indem die Ableitung von Y in Bezug auf U und die Ableitung von U mit multipliziert werden in Bezug auf X

Nehmen wir einige Beispiele, um diese Kettenregel zu veranschaulichen

Angenommen, Y = U3 + 15 und a = 3X2

 

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