Homothetische Produktionsfunktionen eines Unternehmens

Die breite Klasse der monoton ansteigenden Funktionen homogener Produktionsfunktionen, zu der auch die zugrunde liegenden homogenen Funktionen gehören, wird als homothetisch bezeichnet. Wenn die Produktionsfunktion homogen ist (in beliebigem Maße), sind die Isoklinen des Unternehmens einschließlich des langfristigen Expansionspfads vom Ursprung aus gerade Linien.

Die homothetische Produktionsfunktion hat die gleichen Isoquanten wie die ihrer zugrunde liegenden homogenen Funktion, jedoch im Allgemeinen mit unterschiedlichen Mengenindizes.

Aus diesem Grund wären der Expansionspfad des Unternehmens und seine Isoklinen vom Ursprung her auch für eine homothetische Produktionsfunktion gerade Linien, und zwar entlang einer solchen geraden Linie mit einem festen Verhältnis der Eingaben, dem MRTS des Unternehmens von L für K oder dem Verhältnis von MP L zu MP K wäre konstant.

Dies liegt daran, dass für die zugrunde liegende homogene Funktion sowie für die monotonen Transformationen dieser Funktion das MRTS eine Funktion des Verhältnisses der Eingangsgrößen ist. Mit anderen Worten, das Verhältnis von MP L zu MP K würde nicht von absoluten, sondern von relativen Eingangsgrößen abhängen.

Daher würde uns in Abb. 8.26 die homothetische Produktionsfunktion geben

Steigung von IQ 1 bei A 1 = Steigung von IQ 2 bei A 2 und

Steigung von IQ 1 bei B 1 = Steigung von IQ 2 bei B 2 .

wobei A 1, A 2 und B 1, B 2 Punkte auf zwei verschiedenen Strahlen vom Ursprung sind. Das heißt, die Steigung der IQs entlang einer bestimmten geraden Linie vom Ursprung wäre eine Konstante. Wenn nun die Steigungen der IQs entlang eines Strahls gleich sind, darf sich MP L / MP K an keiner Stelle im Eingangsraum mit einer proportionalen Änderung von L und K ändern.

Auf der anderen Seite sind die Iso-Cost-Linien (ICLs) für verschiedene Kostenniveaus parallel, da das Input-Preis-Verhältnis konstant ist. Daher wäre an den Tangentialpunkten zwischen den ICLs und IQs die Steigung der IQs oder des MRTS oder MP L / MP K eine Konstante, die gleich der Steigung der ICLs ist.

Dies impliziert, dass, wenn die Produktionsfunktion homothetisch sein soll, das Verhältnis der Eingangsgrößen an den Tangentialpunkten eine Konstante wäre, dh die Tangentialpunkte liegen auf einem Strahl vom Ursprung. Mit anderen Worten, Homothetik erfordert, dass der Expansionspfad des Unternehmens mit einem solchen Strahl zusammenfällt.

Eine homogene Produktionsfunktion ist auch homothetisch - vielmehr handelt es sich um einen Sonderfall homothetischer Produktionsfunktionen. In Abb. 8.26 ist die Produktionsfunktion homogen, wenn zusätzlich f (tL, tK) = tnQ gilt, wobei t eine positive reelle Zahl ist und n der Homogenitätsgrad ist.

Daraus folgt, dass jede homogene Funktion eine homothetische Funktion ist, aber jede homothetische Funktion keine homogene Funktion ist. Zum Beispiel ist Q = f (L, K) = a - (1 / LαK) eine homothetische Funktion, denn sie gibt uns f L / f K = αK / L = Konstante. Aber es ist keine homogene Funktion, denn es gibt uns nicht f (tL, tK) = tnQ.

 

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