Die Hicksian-Demand-Funktion: Mit Diagramm | Dienstprogramm | Mikroökonomie

Die Hicksian-Wohlfahrtsmaßnahmen können zur Bewertung von Zustandsänderungen herangezogen werden, solange der indirekte Nutzen des Agenten für das Einkommen vor und nach der Änderung genau definiert ist. Die Menge der optimalen Warenvektoren in der EMP wird als h (p, u) ≤ RL + bezeichnet . Es ist bekannt als Hicksian oder kompensierter Bedarf, der entspricht oder funktioniert, wenn er einwertig ist. Die Abbildung zeigt die Lösungsmenge h (p, u) für zwei verschiedene Preisvektoren p und p '.

Die grundlegenden Eigenschaften der Hicksian-Demand-Funktion werden wie folgt erklärt:

Angenommen, u (.) Ist eine stetige Nutzfunktion, die eine lokal nicht gesättigte Präferenzrelation ≥ darstellt, die auf der Verbrauchsmenge X = RL + definiert ist . Dann besitzt für jedes p »0 die Hicks'sche Anforderungskorrespondenz h (p, u) die folgenden zwei Eigenschaften. Homogenität vom Grad Null in P folgt da dem optimalen Vektor. Das minimierende px unterliegt u (x) ≥ u. Es ist dasselbe wie das zum Minimieren von ∝px. Es unterliegt dieser Einschränkung für jeden Skalar ∝> 0.

Wir werden Eigenschaften und Beweise im folgenden Absatz erläutern:

Eigenschaft 1:

Kein Mehrnutzen für x x h (p, u), u (x) = u

Beweis:

Diese Eigenschaft folgt aus der Kontinuität von u (.). Angenommen, es existiert ein xϵh (p, u), so dass u (x)> u.

Betrachten wir ein Bündel x '= ϵ x, wobei ∝ϵ (0, 1). Durch Kontinuität für ∝ nahe genug an 1.u (x ') ≥ u und p.x' <p.x1, wobei x im EMP mit dem erforderlichen Nutzwert u optimal ist.

Eigenschaft 2:

Konvexität / Einzigartigkeit:

Wenn ≥ streng konvex ist, ist u (.) Streng quasi-konkav. Dann gibt es ein eindeutiges Element in h (P, u).

Wenn es eine Hilfsfunktion gibt, ist u (x 1, x 2 ) = ∝ In x 1 + (1 - ∝) lnx 2 . Dann setzen wir x 1 (p, w) und x 2 (p, w) in u (x),

Wie der UMP kann, wenn u (.) Differenziert wird, das optimale Verbrauchsbündel im EMP unter Verwendung der Bedingung erster Ordnung charakterisiert werden. Die Bedingung erster Ordnung weist eine enge Ähnlichkeit mit der der UMP auf.

Satz 1:

Wenn wir annehmen, dass u (.) Differenzierbar ist und die Bedingung erster Ordnung für die EMP wie folgt lautet:

Und

Vergleichen Sie dies für einige λ ≥ 0 mit den Bedingungen erster Ordnung für den UMP.

Unter Verwendung des obigen Satzes können wir die Hicksian- und Walrasian-Nachfragekorrespondenz wie folgt in Beziehung setzen:

Die erste dieser Beziehungen erklärt die Verwendung des Ausdrucks Kompensierte Nachfragekorrespondenz zur Beschreibung von h (p, u). Nehmen wir an, wenn sich der Preis ändert, gibt h (p, u) das Niveau der Nachfrage an, das entstehen würde, wenn das Vermögen der Verbraucher gleichzeitig angepasst würde, um sein Versorgungsniveau bei u zu halten. Regierung hilft Verbraucher durch subventionierte Waren. In Indien erfolgt dies über das öffentliche Vertriebssystem. Diese Art der Vermögensentschädigung für den Verbraucher ist im obigen Diagramm dargestellt. Es ist bekannt als Hicksian Vermögensausgleich.

Das obige Diagramm zeigt, dass die Ausgangssituation der Verbraucher das Preis-Vermögens-Paar (p, w) ist; Die Preise ändern sich dann zu p ', wobei p ' 1 = p 1 und p ' 2 > p 2 .

Der Hicksian Vermögensausgleich ist wie folgt definiert:

Daher hält die Nachfragefunktion h (p, u) das Gebrauchsniveau des Verbrauchers fest, wenn sich die Preise ändern. In Übereinstimmung mit der walrasianischen Nachfragefunktion wird das Geldvermögen konstant gehalten, der Nutzen kann jedoch variieren.

Wie bei den Wertefunktionen EMP und UMP ermöglichen die Beziehungen die Entwicklung einer engen Verknüpfung zwischen den Eigenschaften der hicksianischen Anforderungskorrespondenz h (p, u) und der walrasianischen Anforderungskorrespondenz x (p, w).

Hicksian Demand und das Compensated Law of Demand :

Die Eigenschaft der Hicksian-Forderung ist, dass sie das kompensierte Gesetz der Forderung erfüllt. Der Preis und die Nachfrage nach Waren bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen. Die Preisänderung wird von einer Hicksian Vermögenskompensation begleitet.

Proposition1:

Wenn u (.) Eine stetige Nutzenfunktion ist, die eine lokal nicht gesättigte Präferenzrelation ≥ darstellt und dass h (p, u) aus einem einzigen Element für alle p »0 besteht.

Dann erfüllt die Hicks'sche Anforderungsfunktion h (p, u) das kompensierte Anforderungsgesetz:

Für alle p 'und p ”,

Beweis:

Für jedes Paket ist das Verbrauchsbündel h (p, u) im EMP optimal und erzielt daher einen geringeren Aufwand zu Preisen p als jedes andere Paket, das einen Versorgungsgrad von mindestens u bietet.

Deshalb:

und

Das Subtrahieren dieser beiden Ungleichungen ergibt die Ergebnisse.

Hicksian Demand and Expenditure Functions für die Cobb-Douglas Utility Function :

Wenn wir davon ausgehen, dass der Verbraucher über die beiden Waren eine Cobb-Douglas-Versorgungsfunktion verfügt. Das heißt u (x 1, x 2 ) = x 1 ax 1 1-a. Durch Ableiten der Bedingungen erster Ordnung für die EMP und Ersetzen der Bedingungen u (h 1 (p, u), h 2 (p, u) = u erhalten wir die Hicks'schen Nachfragefunktionen.

&

Wenn wir es wie folgt berechnen:

E (p, u) = ph (p, u) ergibt die folgende Gleichung

Die obige Funktion ist die Hicksian-Nachfrage- und Ausgabenfunktion für die Cobb-Douglas-Versorgungsfunktion.

 

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