Hausarbeit zur Utility-Funktion | Verbraucher | Mikroökonomie

Hier ist eine Hausarbeit über die 'Utility Function' für die Klassen 9, 10, 11 und 12. Hier finden Sie Absätze, Kurz- und Langzeitarbeiten über die 'Utility Function', die speziell für Schüler und Studenten geschrieben wurden.

Hausarbeit zur Utility-Funktion


Inhalt der Hausarbeit:

  1. Hausarbeit zur Einführung in die Utility-Funktion
  2. Hausarbeit zur Lexikografischen Bestellung
  3. Term Paper on the Demand-Funktion
  4. Hausarbeit über die indirekte Utility-Funktion
  5. Hausarbeit über die Ausgabenfunktion
  6. Hausarbeit zu den Maßnahmen der Risikoaversion


Hausarbeit # 1. Einführung in die Utility-Funktion:

In der Mikroökonomie kann der Nutzen des Verbrauchers durch den Verbrauch verschiedener Waren gemessen werden. Angenommen, die Hilfsfunktion u (x) weist jedem Element von x einen numerischen Wert zu, dann wird die Rangfolge der Elemente von x gemäß den Präferenzen des Individuums markiert. Dann ist eine Funktion u: X → R eine Hilfsfunktion. Es repräsentiert die Präferenzrelation »wenn für alle x, y ϵ x, x ≥ y ↔ u (x) ≥ u (y) für eine beliebige streng ansteigende Funktion f: R → R und U (x) = f (u (x) ) ist eine neue Utility-Funktion.

Es repräsentiert die gleichen Präferenzen wie u (.). Es ist nur das Ranking, das über alternative Entscheidungen entscheidet. Es ist schließlich die Präferenz des Verbrauchers und ihm werden einige Nummern zugewiesen. Wir können es an verschiedenen Beispielen messen. Die ordinale Utility-Funktion ist als die Eigenschaften der Utility-Funktion bekannt. Sie sind für jede streng ansteigende Transformationspräferenzbeziehung konstant und mit einer Nutzenfunktion verbunden. Es ist eine ordinale Eigenschaft der Utility-Funktion.

Eigenschaft 1:

Die Verbraucherpräferenzrelation ≥ kann nur dann durch eine Nutzenfunktion dargestellt werden, wenn sie rational ist.

Lösung:

Angenommen, eine Utility-Funktion, die die Kundenpräferenzen repräsentiert, ≥ dann ≥ muss vollständig und transitiv sein.

Es wird mit Hilfe von Eigenschaften wie folgt erklärt:

1. Vervollständige:

Angenommen, das Dienstprogramm {u (.)} Ist eine von x definierte reelle Wertfunktion, dann muss es sein, dass für jedes x, y ϵ x entweder u (x) ≥ u (y) oder u (y) ≥ u (x) gilt. Aber u (.) Ist eine Hilfsfunktion und stellt ≥ dar. Dies impliziert, dass x ≥ y oder y ≥ x ist. Hier muss ≥ vollständig sein.

2. Transitivität:

Angenommen, x ≥ y und y ≥ z, weil u (.) ≥ darstellt. Wir müssen u (x) ≥ u (y) und u (y) ≥ u (z) haben. Daher ist u (x) ≥ u (z). Dies liegt daran, dass u (.) ≥ darstellt und dies impliziert, dass x ≥ z ist. Es wird gezeigt, dass x ≥ y und y ≥ z bedeuten, dass x ≥ z auf diese Weise die Transitivität hergestellt wird. Wir haben es bereits im obigen Absatz erklärt. Die obigen zwei Eigenschaften werden auch mit der Verbraucherauswahlregel erläutert.

Wahlregel des Verbrauchers:

Die Vorlieben für Waren sind nichts anderes als die Entscheidungen des Verbrauchers. Der Verbraucher hat in seinem Alltagsleben eine Reihe von Möglichkeiten. Die Auswahl für bestimmte Waren ist perfekt und erfolgt nach etwas gedanklicher Anstrengung oder Psychologie. Bei der Auswahl der Vorlieben ist der Verbraucher bereit, je nach seinen Gewohnheiten und Ähnlichkeiten verschiedene Produkte auszuwählen. Mit anderen Worten, die Präferenz ist eine Wahl oder eine Entscheidung des Verbrauchers. Verbraucher stehen häufig vor einem Kompromiss zwischen dem Kauf kleiner Mengen hochwertiger und teurer Produkte und großen Mengen minderwertiger und damit billigerer Produkte.

Im einfachsten Modell wählt eine Folge von Personen nacheinander eine der beiden Optionen A oder B aus, wobei jede Person die Auswahl ihrer Vorgänger beachtet. Sie haben gemeinsame Vorlieben gegenüber den beiden Möglichkeiten, wissen aber nicht, welche besser ist. Sie erhalten vielmehr unabhängige und gleich starke private Binärsignale über die richtige Wahl. In diesem Umfeld tummeln sich rationale Agenten. Sobald das Signalmuster zu zwei mehr Auswahlmöglichkeiten für eine Aktion als für die andere führt, ignorieren alle nachfolgenden Personen ihre Signale und ergreifen dieselbe Aktion.

Das Auswahlverhalten ist eine Auswahlstrukturmenge, und jede Menge weist zwei Typen auf. Erstens ist S eine Familie von nicht leeren Teilmengen von x. Jedes Element von s ist eine Menge $ ϵx. Das Element $ ϵs ist Budgetsets. Das s-Set ist eine Liste aller dem Verbraucher zur Verfügung stehenden Optionen. Es enthält alle Teilmengen von x. Zweitens ist c eine Auswahlregel, die eine nicht leere Menge ausgewählter Elemente c (h, i) zuweist. Für jeden Budgetsatz wird er als $ ϵs geschrieben. Wenn c ($) ein einzelnes Element von c ($) enthält, sind es die Alternativen in $. Der Verbraucher könnte solche Alternativen wählen. Sie sind seine akzeptablen Alternativen. Der Verbraucher steht wiederholt vor dem Problem, eine Alternative aus dem Set $ ​​zu wählen.


Hausarbeit # 2. Lexikografische Reihenfolge:

Die lexikografische Reihenfolge wird als lexikalische Reihenfolge bezeichnet. Es ist ein mathematisches Konzept und unterstützt die Annahme der Kontinuität. Es funktioniert mit einer numerischen Darstellung der Kundenpräferenzreihenfolge. Manchmal stimmen die Zahlen nicht, weil es sich um eine individuelle Reihenfolge handelt und sie sich von Zeit zu Zeit ändern. Die lexikografische Reihenfolge übernimmt die einfache Maximierung und Funktion des Dienstprogramms. Es erfüllt die vier Annahmen der lexikografischen Ordnung: Kontinuität, Transitivität, Reflexivität und Nicht-Sättigung. Solche Annahmen sind wichtig, um die Nachfragefunktion aufzubauen.

Für eine solche Anforderungsfunktion ist die Kontinuitätsannahme nicht erforderlich. Wenn ein Verbraucher zwei Waren bestellt und beide Waren für ihn notwendig sind, verbraucht er die Waren in einem bestimmten Verhältnis. Die beiden Waren werden auf unterschiedliche Art und Weise oder in unterschiedlicher Form bestellt. Der Verbrauch beider Waren wird zu einer Nutzfunktion beitragen.

Es kann gezeigt werden, dass die ersten vier Annahmen erfüllt sind:

1. Vollständigkeit,

2. Transitivität,

3. Reflexivität und

4. Nicht-Sättigung.

Es kann gezeigt werden, dass es zu einer genau definierten Nachfragefunktion kommt, was impliziert, dass die Kontinuitätsannahme für ihre Existenz nicht notwendig ist.

Satz :

Angenommen, es gibt zwei Waren, die vom Verbraucher bestellt werden, weil er diese Waren mag.

Die Bestellung kann in folgendem Formular erfolgen:

Im Modell bevorzugt der Verbraucher ein Bündel mit mehr Erstwaren im Verbrauchskorb. Verbraucher ist unabhängig von der zweiten Warenmenge. Manchmal enthält das Bündel des Verbrauchers die gleiche Menge an erstem und zweitem Gut. Die Menge der zweiten Ware ist jedoch für den Verbraucher von Bedeutung. Die Präsenz der beiden Waren hängt jedoch von der Konsumgewohnheit und den Vorlieben des Verbrauchers ab. Wir können ein Beispiel für einen Betrunkenen nehmen.

Er benötigt Wein und Brot im Konsumkorb. Er bevorzugt mehr Wein in seinem Bündel, aber gleichzeitig ist ihm auch Brot wichtig. Es ist seine Wahl, die verschiedenen Kombinationen von Wein und Brot zu haben. Ein Betrunkener würde mehr Wein und weniger Brot in seinem Konsumbündel bevorzugen. Manchmal sorgt er für die gleiche Menge Brot und Wein. Es wird als lexikografische Reihenfolge bezeichnet.

Betrachtet man ein Verbrauchsbündel x '(x' 1, x ' 2 ) mit Wein und Brot, so werden alle Punkte in B dem Wein vorgezogen. Die andere Menge wird von Brot bevorzugt. Es gibt drei Figuren mit verschiedenen Kombinationen von Brot und Wein. Die erste Abbildung zeigt den gleichen Anteil von Wein und Brot im Verbrauchskorb. Das zweite Diagramm zeigt weniger Wein und das Brot wird bevorzugt. Das dritte Diagramm zeigt, dass mehr Wein und weniger Brot bevorzugt werden. Es ist eine individuelle Präferenz und es ist schwierig, solche Entscheidungen zu messen. Sie sind die Vorlieben von betrunkenen Männern oder Frauen. Eine solche Bestellung ist die ganze Zeit schwer zu studieren.

Kritik :

Angenommen, der Betrunkene wählt Wein willkürlich aus, dann sind die anderen Punkte in der Form nur für Brot, aber die lexikografische Reihenfolge wird kritisiert. Erstens erfüllt es nicht die Kontinuitätsannahme. Für die Kontinuitätsannahme sollten die Punkte eine kontinuierliche Kurve haben. Die Abbildung 2.2 zeigt jedoch die Indifferenzmenge, bei der es sich um die angenommenen Punkte handelt, und es handelt sich nicht um eine kontinuierliche Kurve. Die Indifferenzkurve geht davon aus, dass die beiden Waren indifferent sind.

Nehmen wir an, wir reduzieren die kleine Menge Wein im Bündel, um das Brot zu ersetzen, und stellen dann fest, dass keine Brotmenge durch Wein ersetzt werden kann. Daher gibt es keine Kontinuität in der lexikografischen Reihenfolge. Allen Betrunkenen ist bekannt, dass sie mehr Wein als Brot bevorzugen. Zweitens ist es nicht möglich, die Verwendung von Utility-Funktionen durch lexikografische Reihenfolge darzustellen.

Wenn wir die reale Linie in nicht leere nicht zusammenhängende begrenzte Intervalle teilen, ist die Menge dieser Intervalle nicht zählbar. Die positive Hälfte der reellen Linie ist abzählbar und muss falsch sein. Es ist schwierig, lexikografische Bestelldaten zu sammeln. In ähnlicher Weise unterscheiden sich die Entscheidungen zwischen und innerhalb eines Individuums ständig.


Hausarbeit Nr. 3. Bedarfsfunktion :

Aus der lexikografischen Reihenfolge können wir annehmen, dass der betrunkene Mann / die betrunkene Frau ein M-Einkommen hat. Angenommen, er / sie muss einen Preis p 1 für eine Flasche Wein und einen Preis p 2 für Brot zahlen, dann kann er / sie sein gesamtes Einkommen für Wein ausgeben.

Daher kann die Nachfragefunktion wie folgt geschrieben werden:

Hier ist X 2 = 0, weil der Säufer sein Einkommen nicht für Brot ausgibt. Die Nachfrage nach dem betrunkenen Mann / der betrunkenen Frau ist nur eine rechteckige Hyperbel (x 1, p 1 ). Die Nachfragefunktion für Brot (x 2, p 2 ) ist ein Raum in der vertikalen Achse.

Existenz der Nutzfunktion :

Die lexikografische Reihenfolge stellt die Vollständigkeit, Reflexivität, Transitivität und neue Sättigung zufrieden. Die lexikografische Bestellung befriedigt jedoch nicht die Nachfrage nach Waren. Es werden nur zwei Waren bevorzugt. Die Kontinuitätsannahme garantiert, dass eine kontinuierlich zunehmende Nutzfunktion gefunden werden kann, um die Präferenzreihenfolge darzustellen.

Die Abbildung 2.3 zeigt, dass die Indifferenzkurve stetig ist. Es gibt zwei Waren x 2 und x 1, die auf der x- und der y-Achse gezeigt werden. Der Gleichgewichtspunkt E schneidet sich bei 45 °. Jeder Punkt auf der Indifferenzkurve (x0) ist der reellen Zahl u (x0) zugeordnet. In dem Diagramm ist E ein Punkt, an dem die Indifferenzkurve x0 die 45 ° -Linie schneidet. Die Utility (u) -Werte auf der Achse sind eine Utility-Funktion für den Verbraucher. Die Gleichgültigkeitsbündel haben die gleichen Gebrauchswerte, aber die höheren bevorzugten Bündel haben höhere Gebrauchswerte.

In der Abbildung 2.3 gibt es die Utility-Funktion u (x '). In einem gegebenen Bündel x0 = (x0 1 …… .x0 n ) wählt der Verbraucher X0 und X̅0. Wir haben angenommen, dass zwei Waren gleichgültig sind. Es bedeutet X̅0 = X0. Eine solche Annahme erfüllt die Kontinuität, Transitivität usw. Wir haben auch angenommen, dass u (x0) = X̅0 gleich u (X0) = X̅0 ist.

Solche Punkte werden wie folgt gezeigt:

Die Annahme der Transitivität und Nicht-Sättigung zeigt, dass x-Werte für 1 .x> x0 streng größer sind als das komplementäre Unterintervall, für das x0> 1 .x. Das formale Regelintervall hat auf unterer Ebene eine Untergrenze. Das letztere Regelintervall hat eine Mindestobergrenze. Diese Grenzen müssen gleich sein.

Gebrauchssatz :

Das für zwei Bündel x0, x1 konstruierte u (x) erfüllt die Definition einer Nutzfunktion.

Die obige Funktion kann auf zwei Arten wie folgt bewiesen werden:

Um den obigen Satz zu beweisen, müssen wir annehmen, dass u (x0) ≥ x1, aber x1> x0, dann 1.u (x0) ≥ 1 .u (x1). Unter der Annahme der Transitivität zeigt es 1.u (x1) ∼ x1> x0 ~ 1.u (x0). Die Nicht-Sättigung ergibt den Widerspruch U (x1)> u (x0).

Angenommen, x0 ≥ x1, aber u (x1)> u (x0) dann 1.u (x1)> 1.u (x0). Durch Anwenden der Kettenregel ergibt x1∼ 1.u (x1)> 1.u (x0) den Widerspruch. Das u (x) ist eine stetige Funktion. Um das u (x) zu beweisen, ist es zweckmäßig, die Eigenschaft der stetigen Funktion zu übernehmen. Eine Funktion u (x), X ϵ Rn + ist stetig mit Rn + . Es ist nur, wenn für jedes Paar von Teilmengen von Funktionswerten von u 1 und u 2 . U 1 und u 2 werden getrennt, dann werden auch u-1 (u 1 ) und u-1 (u 2 ) getrennt. Angenommen, die beiden Mengen sind getrennt, dann ist kein Punkt in einer Menge ein Grenzpunkt der anderen. U 1 und u 2 sind in diesem Fall getrennt. Diese Teilmengen liegen auf beiden Seiten von (x0).

Sie sind getrennt und es gehört ihnen nicht. Da x0, u und u̅ beliebig waren, ist die Funktion u (x) stetig.


Hausarbeit Nr. 4. Indirekte Hilfsprogrammfunktion:

Es gibt direkte und indirekte Nutzenfunktionen für den Verbraucher. Die Direct Utility Function (DUF) ist eine Funktion, deren Argumente die Mengen sind, die von verschiedenen Gütern verbraucht werden, und zwei ihrer Grundeigenschaften sind (zunehmende) Monotonie und Quasi-Konkavität. Eine indirekte Gebrauchsfunktion (IUF) ist eine Funktion, deren Argumente die normalisierten Preise der Waren sind. Die entsprechenden Eigenschaften sind (abnehmende) Monotonie und Quasikonvexität.

Für beide Arten von Funktionen sind die Indifferenzkurven (dh die Konturen) zum Ursprung konvex. Diese bekannten Beobachtungen legen eine einfache Methode nahe, um eine Nutzenfunktion von einer anderen zu erhalten - die Umkehrung des Vorzeichens. Das Umkehren des Vorzeichens eines DUF, der die grundlegenden Axiome der Verbrauchertheorie erfüllt, führt zu einer IUF, die auch die grundlegenden Axiome erfüllt, und umgekehrt. Wir werden ein solches Funktionspaar als "Spiegelpaar" bezeichnen.

Die mikroökonomische Theorie erklärt, dass jeder Verbraucher seinen Nutzen nach Preis und Einkommen maximiert. Diese werden durch eine indirekte Nutzfunktion definiert, die die Präferenzen der Verbraucher und die Technologien zusammenfasst. Schwache Konkavitätsannahmen der indirekten Nutzfunktion ermöglichen den Nachweis der Differenzierbarkeit optimaler Lösungen und der Stabilität des stationären Zustands. Diese Studie zeigt, dass die indirekte Nutzfunktion schwach konkav ist und ihre Krümmungskoeffizienten von oben durch eine Funktion von γ und ρ begrenzt sind, wenn die Konsumgüterproduktionsfunktion konkav γ und die momentane Nutzfunktion konkav ρ ist.

Wir werden solche Notationen im folgenden Absatz betrachten:

Das Dienstprogramm-Maximierungspaket kann als x (p, y) geschrieben werden. Die Stufe der Maximierung des Nutzens wird auf der höchsten Stufe aufgrund der Budgetbeschränkungen des Verbrauchers gewählt. Es steht dem Preis p und dem Einkommen y gegenüber. Für eine Gruppe von Einzelpersonen ergeben sich aus dem Preis und dem Einkommen unterschiedliche Budgetbeschränkungen. Solche Kombinationen geben den Verbrauchern die unterschiedliche Kombination von Indifferenzkurven. Die Realwertfunktion zeigt die Beziehung zwischen Preis, Einkommen und maximalem Nutzwert.

Es kann durch eine reelle Wertfunktion wie folgt zusammengefasst werden:

Die obige Funktion wird als indirekte Nutzfunktion bezeichnet. Wenn u (x) stetig ist, ist u (x, y) für alle p »0 und y ≥ 0 gut definiert. Dies liegt daran, dass eine Lösung für das Maximierungsproblem existiert. Der Verbraucher erreicht ein Höchstmaß an Zufriedenheit, abhängig von Preis (p) und Einkommen (y). Dies gilt für alle Verbraucher. Es wird weiter geschrieben als

Das u (p, y) gibt den Nutzwert der höchsten Indifferenzkurve an. Eine solche Utility-Funktion ist im Diagramm dargestellt. Der Verbraucher kann bei gegebenen Preisen p und Einkommen y die höchste Indifferenzkurve erreichen. Der Preis p und y ist ausreichend, um zu gewährleisten, dass u (p, y) in p und y auf R ” ++ * R + + stetig ist. Die Kontinuität von u (p, y) folgt positiven Preisen. Eine kleine Änderung in einem der Parameter (p, y) legt die Position der Budgetbeschränkung fest. Dies wird nur zu geringfügigen Änderungen des maximalen Nutzens führen, den der Verbraucher erreichen kann.


Hausarbeit # 5. Ausgabenfunktion:

Die Ausgabenfunktion geht davon aus, dass die Warenpreise fest sind. Um das Versorgungsniveau zu erreichen, muss der Verbraucher bestimmte Ausgaben zu bestimmten Preisen tätigen. Konsumenten stoßen regelmäßig auf die Vielfalt der Waren und Preise. Die meisten Verbraucher haben ein festes Einkommen. Daher entscheidet der Verbraucher, wie viel er für verschiedene Waren ausgibt und welchen Nutzen er erzielt. Das Diagramm zeigt, dass alle Bündel von x den gleichen Aufwand erfordern. Dem Verbraucher stehen die Preise p = (p 1, p 2 ) gegenüber.

Die Iso-Ausgabenkurven werden implizit durch e = p 1 × 1 + p 2 × 2 für die unterschiedliche Höhe der Gesamtausgaben mit e> 0 definiert. Daher gibt es die gleiche Steigung - p 1 / p 2 . Unterschiedliche horizontale und vertikale Abschnitte e / p 1 bzw. e / p 2 . Aniso-Ausgabenkurve enthält Bundle und kostet mehr. Der Konsument verlagert sich auf den Iso-Ausgabenlinien nach oben. Wenn wir den Nutzwert auf u setzen, dann ist die Indifferenzkurve u (x) = u. Es gibt alle Bundles, die dem Verbraucher den gleichen Nutzen bringen.

Die Indifferenzkurve u gibt den e3-Punkt an. Geld reicht bei diesen Preisen nicht aus, um maximalen Nutzen zu erzielen u. Im Diagramm hat jede der Kurven e1 und e * mindestens einen Punkt mit u gemeinsam. Ein solcher Punkt zeigt, dass die Höhe der Gesamtausgaben für den Verbraucher ausreicht, um Nutzen u. Manchmal tätigt der Verbraucher die regulären Mindestausgaben für verschiedene Waren, um ein festes Versorgungsniveau zu erreichen. Sie wissen auch, dass sie nicht mehr für den regulären Kauf solcher Waren ausgeben können.

Die Ausgabenfunktion erklärt nur, dass der Verbraucher die minimalen Ausgaben benötigt, um Nutzen u. Es handelt sich um den Kauf verschiedener Waren und Dienstleistungen. Es ist die geringstmögliche Aufwandskurve, die mit der Indifferenzkurve u noch mindestens einen Punkt gemeinsam hat. Die Stufe von e * ist das Bündel mit den geringsten Kosten. Es erzielt Nutzwert u zu Preisen p. wir können es als Gleichgewichtspunkt bezeichnen. Es wird das Bündel xh = (xh 1 (p, u) .xh 2 (p, u)) sein. Der Mindestaufwand u ist erforderlich, um den Nutzen u zu Preisen p von e (p, u) zu erzielen. Dies bedeutet, dass der erwartete Mindestnutzen eine Funktion des Preisniveaus ist. Die Höhe der Ausgaben entspricht den Kosten für Bündel xh. Es kann in Form einer Gleichung dargestellt werden als e (p, u) = p 1 x h 1 (pu) p 2 x h 2 (p, u) = e *

Die Ausgabenfunktion ist die Minimalwertfunktion. Es ist wie folgt:

Zur Erreichung des Versorgungsniveaus u ist der geringste Aufwand erforderlich.

Eigenschaften der Ausgabenfunktion:

Wenn u (.) Stetig und streng ansteigend ist, ist e (p, u) in sieben Eigenschaften definiert.

Sie sind wie folgt:

Eigenschaft 1:

Null, wenn Sie die niedrigste Stufe des Dienstprogramms in u einnehmen:

Der niedrigste Wert im Utility ist u (0). Dies liegt daran, dass u (.) Bei Rh + streng zunimmt. Folglich ist (p, u (o)) = 0, weil x = o die Nützlichkeit u (o) erreicht. Es erfordert einen Aufwand von p 0 = 0

Eigenschaft 2:

Kontinuierlich auf seiner Domain Rn ++ * u:

Eine solche Eigenschaft ergibt sich aus dem Satz vom Maximum.

Eigenschaft 3: Für alle p »0, streng steigend und oben in u unbegrenzt:

Die dritte Eigenschaft, die durch die zusätzliche Hypothese Xh (p, u) »0 gezeigt wird, bei der ∀p» 0, u> u (0) und u (.) Mit ∂u (x) / ∂x> 0 ∀i differenziert werden . Wir haben angenommen, dass das u (.) Stetig und streng ansteigt. Das p »0 ist die Bedingung und es ist bindend. Für u (x ')> u gibt es bei ϵ (0, 1), das nahe genug bei 1 liegt. Es ist u (tx1)> u. Außerdem impliziert u ≥ u (0) u (x1)> u (0), so dass x1 ≤ 0. Daher ist p (tx1) <p.x1, weil p.x1> 0, wenn die Beschränkung nicht bindend ist. Es gibt ein streng günstigeres Paket, das auch die Anforderungen erfüllt.

Wenn wir es anders schreiben, dann:

Die Lagrange-Funktion wird für die obige Funktion verwendet, daher heißt es:

Nun gilt für p »und u> ​​u (0) x * = xh (p, u) k” 0

Wir müssen Gleichung 33 lösen. Es gibt ein λ *, das wie folgt dargestellt wird:

P i und ∂u (x *) / ∂x i sind positiv. Aufgrund der Hypothese kann der Hüllkurvensatz verwendet werden, um zu zeigen, dass e (p, u) in u streng zunimmt. Nach dem Hüllkurvensatz ist die partielle Ableitung der Minimalwertfunktion e (p, u) in Bezug auf u gleich der partiellen Ableitung.

Es ist Lagrange in Bezug auf u und wird mit (x *, λ *) bewertet, daher:

Nehmen wir an, wir halten für alle u> u (0) und e (.) Ist stetig. Wir können daraus schließen, dass für alle p »0 e (p, u) in u auf u (einschließlich u (0)) streng zunimmt. ). Das e ist in u unbegrenzt und es kann gezeigt werden, dass u (x) folgt. Es ist kontinuierlich und nimmt strikt zu.

Eigenschaft 4:

Ausgabenfunktion steigt in p:

Der Nachweis der obigen Funktion wird in der Eigenschaft 7 gezeigt.

Die Eigenschaft 5:

Homogen von Grad 1 in p:

Der Eigentumsnachweis ist einfach. Der Anstieg von Preisniveau (p) und Einkommen (y) ist nahezu gleich. Daher wird es als homogen bis Grad eins bezeichnet.

Eigenschaft 6:

Konkav in p:

Angenommen, p1 und p2 werden als zwei positive Preisvektoren angenommen. Sei tϵ (0, 1) und pt = tp + (1-t) p2 eine beliebige konvexe Kombination von p1 und p2.

Die Ausgabenfunktion ist in Preisen konkav, wenn:

Jetzt konzentrieren wir uns darauf, was es bedeutet, die Ausgaben zu bestimmten Preisen zu senken. Angenommen, x1 minimiert die Ausgaben, um u zu erreichen, wenn die Preise p1 sind. In ähnlicher Weise minimiert x2 die Ausgaben, um u zu erreichen, wenn die Preise p2 sind. Daher ist x * der minimale Aufwand, um u zu erreichen, wenn die Preise p2 sind. Die Kosten von x1 zu Prozess p1 dürfen nicht höher sein als die Kosten zu Preisen p1 eines anderen Bündels x, das Nutzen u erzielt. Ebenso dürfen die Kosten für x2 zu Preisen p2 nicht höher sein als die Kosten für p2 eines anderen Bündels x, das den Nutzen u erreicht, wenn

Und

Für alle x, die u erreichen, müssen die Relationen auch für x * gelten. Dies liegt daran, dass x * auch u erreicht.

Um die Ausgaben zu maximieren, um Sie zu bestimmten Preisen zu erreichen, wissen wir, dass:

Und

Wenn t ≥ 0 und (1-t)> 0 ist, können wir das erste mit t, das zweite mit (1-t) multiplizieren und addieren. Wenn wir dann aus der Definition von pt ersetzen, erhalten wir,

In der obigen Gleichung ist die linke Seite eine konvexe Kombination der minimalen Ausgaben. Es ist notwendig, zu den Preisen p1 und p2 einen Nutzwert u zu erzielen. Das Dienstprogramm u muss bei Preisänderungen konstant sein. Die rechte Seite ist der minimale Aufwand, der erforderlich ist, um bei der konvexen Kombination dieser Preise einen Nutzen zu erzielen.

Gleichung (37) erklärt, dass:

Wir wollten aus den vorhergehenden Gleichungen zeigen, dass eine solche Funktion in p konkav ist.

Eigenschaft 7:

Hirten-Lemma:

e (p, u) ist in p bei (p0, u0) mit p0 »0 und differenzierbar

Um die obige Eigenschaft zu verwenden, können wir den Hüllkurvensatz verwenden. Aber jetzt unterscheiden wir es in Bezug auf pi. Es gibt uns folgende Gleichung.

Es ist erforderlich, weil xh (p, u) ≥ 0 ist. Es ist auch möglich, Eigenschaft 4 zu beweisen. Alle Eigenschaften der Ausgabefunktion sind gleich wichtig und helfen uns, die Ausgabefunktion im Detail zu verstehen.

Problem der Ausgabenminimierung:

Jeder Verbraucher versucht, die Gesamtausgaben zu minimieren, um den Nutzen zu erhöhen. Manchmal bevorzugen Verbraucher Ersatzstoffe, um die Ausgaben zu senken. Die meisten Ersatzprodukte sind zu niedrigeren Preisen erhältlich. Das Problem der Ausgabenminimierung (EMP) erläutert die Preis- und Nutzenfunktion. Es wird mit p »0 und u> ​​u (0) erklärt.

Es gibt unbegrenzte Wünsche für jeden Verbraucher. Es wird erklärt, weil das Mindestmaß an Wohlstand erforderlich ist, um Nutzen u zu erzielen. Manchmal wird es als Cutoff-Punkt verwendet, um einen minimalen Nutzen aus dem Vermögen zu erzielen. Wir können solche Grenzwerte für jede Familie beobachten. Es ist eine effiziente Nutzung der Kaufkraft der Familie, während die Rollen der objektiven Funktion und des Zwangs umgekehrt werden.

Wir nehmen an, dass u (.) Eine stetige Nutzfunktion ist. Es ist eine lokal nicht gesättigte Darstellung. Präferenzbeziehung ≥ definiert am Verbrauchssatz RL + . Aus Abbildung 2.7 geht hervor, dass das optimale Verbrauchsbündel x * das kostengünstigste Bündel ist. Es ermöglicht dem Verbraucher weiterhin, das Versorgungsniveau u zu erreichen. Der Verbraucher ist mit dem gewünschten Warenpaket maximal zufrieden.

Der geometrische Gesichtspunkt ist der Punkt in der Menge {xԑRL + : u (x) ≥ u}. Es liegt auf der niedrigstmöglichen Haushaltslinie, die dem Preisvektor p zugeordnet ist. Es ist in der Abbildung als x * Punkt dargestellt. Nehmen wir an, dass u (.) Eine stetige Nutzenfunktion ist, die eine lokal nicht gesättigte Präferenzrelation ≥ repräsentiert, die auf der Verbrauchsmenge x = RL + definiert ist . Der Preisvektor ist P.

Deshalb:

1. Wenn x * für das Problem der Maximierung der Versorgungsleistung optimal ist, wenn der Wohlstand w> 0 ist, ist x * für die EMP optimal, wenn das erforderliche Versorgungsleistungsniveau u (x *) ist. Das minimierte Ausgabeniveau im EMP ist genau w. Manchmal kann der Verbraucher die Ausgaben, die über seinem Vermögen liegen, nicht tätigen.

2. Angenommen, x * ist im EMP optimal, wenn das erforderliche Utility-Level u> u (0) ist, dann ist x * im UMP optimal, wenn der Reichtum px * ist.

Das minimierte Utility-Level in diesem UMP ist genau u.

Wenn wir den obigen Satz dann beweisen wollen, kann es wie folgt gezeigt werden:

(i) Angenommen, x * ist in der EMP nicht optimal mit der erforderlichen Nutzungsstufe u (x *). Dann gibt es ein x ', so dass

Durch lokale Nicht-Sättigung können wir schreiben, dass x ”sehr nahe an x ​​'liegt. Es bedeutet auch u (x ”)> u (x ') und px” <w.

Die obige Notation impliziert, dass x ”ϵB pw und u (x”)> u (x *). Es zieht die Optimalität von x * in der UMP zusammen. Das x * muss im EMP optimal sein, wenn das erforderliche Utility-Level u (x *) ist. Das minimierte Ausgabeniveau ist px *. Das x * löst den UMP, wenn der Reichtum w ist. In Walras Gesetz haben wir px * = w.

(ii) Wenn u> u (0) und x * '”0; daher px *> 0.

Wenn x * im UMP nicht optimal ist, wenn Vermögen px * ist. Es gibt ein x 'mit u (x')> u (x *) und p.x '≤ px *. Betrachten wir das Bündel x ”= ∝ x 'mit ∝ϵ (0, 1). Hier ist x ”eine verkleinerte Version von x 'durch Kontinuität von u (.). Wenn ∝ nahe genug bei 1 liegt, dann sind u (x”)> u (x *) und px ”<px *. Die obige Notation widerspricht der Optimalität von x * in der EMP. Daher muss x * im UMP optimal sein, wenn der Reichtum px * ist.

Das maximierte Utility-Level ist daher u (x *). Das erforderliche Utility-Level ist u, dann ist u (x *) = u. Nach Nutzenmaximierungsproblem bei p »0. Die Lösung des EMP liegt unter allgemeinen Bedingungen vor. Die beschränkte Menge muss nicht leer sein. Dies bedeutet, dass u (.) Für einige x Werte erreichen muss, die mindestens so groß sind wie u. Die Bedingung ist für jedes u> u (0) erfüllt, wenn u (.) Oben nicht begrenzt ist.


Hausarbeit # 6. Maßnahmen der Risikoaversion :

Wir geben verschiedene Axiome an, die das Wahlverhalten des Verbrauchers befriedigen. Wir können eine Darstellung des Dienstprogramms finden, die die erwartete Dienstprogrammeigenschaft hat. Der Verbraucher spielt immer und sein Verhalten ist durch den Gewinn nützlicher. Deshalb müssen wir seine Nutzenfunktion für Geld besonders darstellen. Um beispielsweise den erwarteten Nutzen eines Glücksspiels für die Verbraucher zu berechnen, haben wir die einfache Wahrscheinlichkeit als p 0 x x (1-p) 0 y angenommen. Jetzt können wir es als Nutzenfunktion als Pu (x) + (1-p) u (y) darstellen.

Die Verbraucher ziehen es vor, den erwarteten Wert der Lotterie zu erhalten. Die Nützlichkeit der Lotterie u (p 0 x) 0 y, wir sehen es einfach anders als pu (x) + (1-p) u (y).

Die Verbraucher ziehen es vor, den erwarteten Wert der Lotterie zu erhalten. Der Nutzen der Lotterie u (p 0 x ⊕ (1-p) 0 y) ist geringer als der Nutzen des erwarteten Wertes der Lotterie px + (1-p) y. Ein solches Verhalten wird als Risikoaversion des Verbrauchers bezeichnet. Es gibt zwei Arten von Verbrauchern. Sie sind risikoavers und Risikoliebhaber. Angenommen, ein Verbraucher ist risikoliebend. dann zieht er eine Lotterie ihrem erwarteten Wert vor. Die Vorlieben für solche Verbraucher sind unterschiedlich. Ihre Werturteile für den Gewinn verschiedener Lotterien sind unterschiedlich. Die Konkavität der erwarteten Nutzfunktion entspricht der Risikoaversion.

Ein risikoaverser Agent entscheidet, wie sein Gesamtvermögen zwischen Investitionen in einen Vermögenswert mit stochastischer Rendite (den risikoreichen Vermögenswert) und einen Vermögenswert mit deterministischer Rendite (den sicheren Vermögenswert) aufgeteilt wird, um den erwarteten Nutzen der Rendite zu maximieren. Wenn die Rendite des riskanten Vermögenswerts geringer ist als die des sicheren Vermögenswerts, konzentriert der Lügenagent seine gesamte Investition in den sicheren Vermögenswert. Wenn andererseits die durchschnittliche Rendite des riskanten Vermögenswerts höher ist als die sichere Rendite, investiert der Agent einen positiven Teil seines Vermögens in den riskanten Vermögenswert.

Nun ist es bequem, die Risikoaversion im folgenden Absatz zu messen. Je konkaver die zu erwartende Nutzfunktion ist, desto risikoaverser Verbraucher. Der Graph dieser Utility-Funktion in dieser Region muss unterhalb der Funktion liegen. Um die zweite Ableitung zu normalisieren, müssen wir sie durch die erste dividieren. Wir erhalten ein vernünftiges Maß. Es ist als Arrow-Pratt-Maß für die (absolute) Risikoaversion bekannt.

Ein Glücksspiel nach Zahlenpaaren (x 1, x 2 ), bei dem der Verbraucher x 1 erhält, wenn ein Ereignis (E) eintritt, und x 2, wenn ein Ereignis nicht eintritt (E). Wir definieren, dass die Akzeptanzmenge des Verbrauchers aus beiden Erwartungen besteht. Es ist eine einfache Wahrscheinlichkeitsfunktion. Der Verbraucher spielt dieses Glücksspiel oder es ist die Menge aller Glücksspiele. Der Verbraucher würde bei einem anfänglichen Wohlstandsniveau w akzeptieren. Wir gehen davon aus, dass der Verbraucher Lotterie aus seinem Vermögen kauft. Wenn der Verbraucher risikoavers ist, ist die akzeptable Menge eine konvexe Menge. Die Grenze dieses Satzes und des Satzes von indifferenten Glücksspielen kann durch eine implizite Funktion x 2 (x 1 ) gegeben sein.

Wenn das Verbraucherverhalten durch die Maximierung des erwarteten Nutzens beschrieben werden kann, muss x 2 (x 1 ) die Identität erfüllen.

Es wird wie folgt dargestellt:

Die Steigung der Akzeptanzgrenze wird auf (0, 0) gesetzt. Es kann gefunden werden, indem diese Identität in Bezug auf X 1 differenziert und diese Ableitung bei X 1 = 0 ausgewertet wird.

Angenommen, wir lösen die obige Gleichung für die Steigung der Akzeptanzmenge und stellen sie dann wie folgt fest:

Abbildung 2.10 zeigt, dass der erwartete Nutzen beider Lotterien 0, 5u (x) + 0, 5u (y) gleich ist. Wenn wir es mit u (0, 5x + 0, 5y) vergleichen, dann ist ein solcher Nutzen etwas größer als die gleiche Wahrscheinlichkeit von x und y.

Der Nutzen von x und y ist unterschiedlich. In Bezug auf den Reichtum ist der Nutzen der y-Lotterie viel größer als der der x-Lotterie. Es ist der Verbraucher, der über die Auswahl der beiden Lotterien entscheidet.

Abbildung 2.11: Kompromiss zwischen Lotterien und Verbrauchern Abbildung 2.11 zeigt, dass die Steigung der Annahme auf (0, 0) festgelegt ist und eine Quote ergibt. Gleichzeitig gibt es uns die Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten zu zeichnen. Wir müssen die Chancen finden, zu denen ein Verbraucher bereit ist, eine kleine Anzahl von Ereignissen zu akzeptieren. Wir können dies mit Hilfe von zwei Verbrauchern und Wahrscheinlichkeiten beweisen. Angenommen, es gibt zwei Verbraucher mit identischen Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis E. Wir können ferner sagen, dass der Verbraucher i risikoaverser ist als der Verbraucher j.

Wenn die Akzeptanzmenge des Verbrauchers i in der Akzeptanzmenge des Verbrauchers j enthalten ist, handelt es sich um eine globale Aussage zur Risikoaversion. Dies bedeutet, dass der Verbraucher j jedes Glücksspiel akzeptiert, das er akzeptiert. Nehmen wir an, wenn wir uns selbst in Glücksspiele stecken, erhalten wir ein nützlicheres Maß. Der Verbraucher i ist lokal risikoaverser als der Verbraucher j, dann ist die Akzeptanzmenge von i in der Akzeptanzmenge von j in der Nachbarschaft des Punktes (0, 0) enthalten.

Indem wir die Identität noch einmal in Bezug auf x 1 differenzieren und die resultierende Ableitung bei Null auswerten, erhalten wir die folgende Gleichung:

Wir können die Tatsache verwenden, dass x ' 2 (0) = -p / (1-p), wir haben:

Die obige Gleichung ist ein Anteil des Arrow⎯Pratt-Maßes. Es handelt sich um eine lokale Risikoaversion, die bereits im obigen Absatz definiert ist. Ein Verbraucher j wird bei kleinen Glücksspielen ein höheres Risiko eingehen als Agent i. Ist aber nur möglich, wenn ich ein größeres Arrow-Pratt-Maß für die lokale Risikoaversion habe. Risikoaversion hat viele Anwendungen. Der Verbraucher reduziert immer das Risiko, um die wirtschaftlichen Gewinne zu verbessern.


 

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