Verbrauchergleichgewichtsformel | Mikroökonomie

In diesem Artikel werden wir anhand geeigneter Beispiele auf die Verbrauchergleichgewichtsformel eingehen.

Angenommen, die Nutzfunktion des Verbrauchers lautet:

U = f (q 1, q 2 ) [Gl. (6.1)]

Wobei U die Ordnungszahl ist und q 1 und q 2 Mengen der beiden Waren Q 1 und Q 2 sind, die der Verbraucher kauft. Es wird hier angenommen, dass die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von U wrt q 1 und q 2 existieren.

Angenommen, die Budgetbeschränkung des Verbrauchers lautet:

yo = p 1 q 1 + p 2 q 2 (6, 23)

Dabei ist yo der feste Einkommensbetrag, den der Verbraucher für die Waren Q 1 und Q 2 ausgibt, und p 1 und p 2 sind die angegebenen Preise der beiden Waren. Es ist beabsichtigt, hier die Bedingungen für das Nutzenmaximierungsgleichgewicht des Verbrauchers unter Berücksichtigung seiner Budgetbeschränkung abzuleiten.

Zu diesem Zweck kann die folgende Lagrange-Funktion gebildet werden:

V = f (q & sub1 ;, q & sub2;) + λ (yo - p & sub1; q & sub1; - p & sub2; q & sub2;) (6, 24)

wobei λ der unbestimmte Lagrange-Multiplikator ist.

Erstbestellungsbedingung für die Nutzenmaximierung:

In (6.24) ist V eine Funktion von q 1, q 2 und λ und die Bedingungen erster Ordnung (FOCs) der eingeschränkten Nutzenmaximierung würden erhalten, wenn die partiellen Ableitungen erster Ordnung von V wrt q 1, q 2 und λ gleich wären bis Null.

Daher sind diese FOCs:

Die Gleichungen (6.29) - (6.32) geben die verschiedenen Formen des LWL für die beschränkte Nutzenmaximierung an. Die linke Seite (LHS) von (6.29) - (6.31) gibt die numerische Steigung der Indifferenzkurve (IC) an, und die rechte Seite (RHS) gibt das Verhältnis der Preise der beiden Waren an numerische Steigung der Haushaltslinie.

Daher sind die FOCs gemäß (6.29) - (6.32) alle an der Tangentialität zwischen der Haushaltslinie und einem IC des Verbrauchers die erste Ordnung oder die notwendige Bedingung für die Nutzenmaximierung.

Das FOC für die Maximierung des Nutzens gemäß Gleichung (6.32) besagt, dass der Nutzen maximiert wird, wenn der Verbraucher sein Geld für die beiden Waren so ausgibt, dass die Änderungsrate des Nutzens oder die Zufriedenheit mit dem Geld, das für jedes Gut ausgegeben wird, möglicherweise erreicht wird das Gleiche.

Wenn er die Geldausgaben so auf die beiden Waren aufteilt, dass die Änderungsrate der Zufriedenheit in Bezug auf das Geld, das für ein Gut ausgegeben wird, höher ist als diejenige des anderen Gutes, kann der Verbraucher den Nutzen nicht maximieren indem er sein ganzes Geld für die beiden Güter ausgibt.

Jetzt müsste er mehr für das erstere Gute und weniger für das letztere ausgeben, bis die Änderungsrate der Zufriedenheit von dem ersteren Gut abnimmt und die von dem letzteren Gut zunimmt, damit die beiden gleich werden.

Schließlich ergibt sich aus den Gleichgewichtsbedingungen erster Ordnung (6.25) und (6.26) Folgendes:

Wenn die MU des Geldes, das für jedes Gut ausgegeben wird, gleich sind, entspricht dies den MU des Einkommens. Daher gibt (6.33) den Lagrange-Multiplikator A an, der als Grenznutzen des Einkommens interpretiert werden kann.

Da die MUs der Waren als positiv angenommen werden (für die Waren werden MIBs angenommen), ist auch die MU des Einkommens positiv. Beachten Sie auch, dass Gleichung (6.27) des FOC sicherstellt, dass die Budgetbeschränkung erfüllt wurde.

Zustand zweiter Ordnung :

Kommen Sie nun zum Zustand zweiter Ordnung (Second Order Condition, SOC) oder zu einem ausreichenden Zustand der Nutzenmaximierung.

Der SOC gibt an, dass die umrandete hessische Determinante D an dem Punkt der Tangentialität, an dem der FOC erfüllt wurde, größer als Null sein sollte:

Daher impliziert der SOC, dass die Ableitung der Steigung des IC positiv wäre, dh der IC wäre am Tangentialpunkt konvex zum Ursprung. Da jeder Punkt auf einem IC abhängig von der Neigung der Budgetlinie der Tangentialpunkt sein kann, impliziert der SOC tatsächlich, dass der IC über seine gesamte Länge hinweg konvex zum Ursprung sein sollte.

Es sei hier angemerkt, dass, da die zweite Ordnung oder die ausreichende Bedingung (6.35) für das Verbrauchergleichgewicht an jedem Punkt innerhalb des Bereichs einer regulären streng quasi-konkaven Funktion erfüllt ist, die Nutzfunktion (6.1) des Verbrauchers sein sollte eine regelmäßige streng quasi-konkave Funktion. Nur dann wäre die Bedingung zweiter Ordnung erfüllt.

Beispiel

Angenommen, die Nutzenfunktion ist U = q, q 2 und p = 2 (Rs) und p 2 = 5 (Rs), und das Einkommen des Verbrauchers für den Zeitraum ist y = 100 (Rs). Finden Sie die Warenkombination, die die Zufriedenheit des Verbrauchers in Abhängigkeit von seinem Budget maximiert. Finden Sie auch den Grenznutzen des Einkommens am Gleichgewichtspunkt,

Lösung:

Die Utility-Funktion wurde als gegeben

U = q 1 q 2 (i)

Daher wird von den FOCs erhalten, dass die nutzungsmaximierenden Mengen der Waren q 1 = 25 Einheiten und q 2 = 10 Einheiten sind.

Überprüfen Sie nun, ob diese Größen die Bedingung zweiter Ordnung (Second Order Condition, SOC) für die Nutzenmaximierung erfüllen. Dieser Zustand ist

Daher wird der durch (viii) gegebene SOC verifiziert. Schließlich sind die Gleichgewichtsgrößen q 1 = 25 Einheiten und q 2 = 10 Einheiten, und die MU des Einkommens wird bereits als λ = 5 erhalten, was eine Ordnungszahl ist.

Das Beispiel kann mit Hilfe von Abbildung 6.11 grafisch dargestellt werden. Die ICs in dem gegebenen Beispiel sind rechteckige Hyperbeln, wie aus der Nutzfunktion (i) ersichtlich ist. Zwei solche ICs, nämlich IC 1 und IC 2, sind in Abbildung 6.11 dargestellt.

Die Haushaltslinie gemäß Gleichung (ii) ist die Linie LM. Aus (ii) ergibt sich, dass der q 1 -Abschnitt der Haushaltslinie 50 Einheiten und der q 2 -Abschnitt der Haushaltslinie 20 Einheiten beträgt.

Das heißt, wenn der Verbraucher sein gesamtes Geld (100) für Q 1 bei p, = 2 ausgibt, kann er 50 Einheiten von Q 2 kaufen, und wenn er sein gesamtes Geld für Q 2 bei p 2 = 5 ausgibt, kann er wäre in der Lage, 20 Einheiten von Q 2 zu kaufen. Die numerische Steigung der Budgetlinie oder des Preisverhältnisses beträgt p 1 / p 2 = 2/5

Der FOC für das Verbrauchergleichgewicht ist am Punkt der Tendenz E erfüllt. An diesem Punkt ist MRS Q1, Q2 = ((U / ∂q 1 ) / (∂U / ∂q 2 ) = q 2 / q 1 = 10 / 25 = 2/5 war gleich dem Preisverhältnis p 1 / p 2 = 2/5. In Bezug auf den SOC ist die Ableitung der Steigung des IC bezüglich q 1 am Punkt E = d / dq 1 (-q 2 / q 1 ) = + 2q 2 / q 1 = positiv, dh der IC ist konvex zu der Ursprung am Punkt E und der SOC ist erfüllt.

 

Lassen Sie Ihren Kommentar