Studiennotizen zum Engelschen Gesetz | Angewandte Ökonometrie

Der folgende Artikel enthält eine Studie zur Engel-Funktion in der Wirtschaft.

Engels Gesetze:

Das Verhältnis zwischen den Gesamtverbrauchsausgaben und den Ausgaben für einen bestimmten Posten zu einem bestimmten Zeitpunkt in den Stichprobenhaushalten wird als Engel-Funktion oder Engel-Kurve bezeichnet.

Die empirischen Ergebnisse der von Engel [Ernst Engel war deutscher Statistiker] durchgeführten Studie wurden 1895 veröffentlicht. Der Vorteil der Aufnahme von Querschnittsstudien besteht darin, dass die Preise der Waren zu einem bestimmten Zeitpunkt haushaltsübergreifend konstant sind.

Aus diesem Grund würde der Zusammenhang zwischen den Gesamtausgaben und den Ausgaben für einen bestimmten Posten für Querschnittsfamilien empirisch untersucht, um die Verbrauchsmuster zu untersuchen. Mit anderen Worten würde die Nachfrage nach bestimmten Artikeln nach Querschnittsfamilien untersucht, um die Reaktionsfähigkeit der Verbrauchsausgaben für bestimmte Artikel auf die Änderungen der Gesamtausgaben zu untersuchen.

Nach Engels Gesetz "sinkt der Anteil der Gesamtausgaben für Lebensmittel, wenn die Gesamtausgaben [als Stellvertreter für das Einkommen] weiter steigen."

Dieses Gesetz kann aus der folgenden Tabelle verstanden werden:

Die Anzahl der Artikel, die im Allgemeinen gekauft werden müssen, nimmt mit steigendem Einkommen weiter zu. Wenn das Einkommensniveau niedrig ist, wird nur ein Artikel gekauft und der Anteil an den Gesamtausgaben für den Artikel bleibt konstant. Wenn das Einkommen weiter steigt, würden die privaten Haushalte zusätzliche Güter kaufen. Dann würde der Anteil der Gesamtausgaben für den ersten Posten allmählich sinken.

Der Anteil der Gesamtausgaben für den Posten [der wesentlich oder luxuriös sein kann] nimmt mit der Zunahme der Gesamtausgaben ab / zu oder bleibt konstant. Somit sind die Ausgabenunterschiede zwischen den Haushalten erkennbar. Obwohl sich die Konsumausgaben für Güter von Haushalt zu Haushalt ändern, wären die Preise der Waren, die dem Querschnitt der Haushalte gegenüberstehen, im Allgemeinen konstant.

In der wirtschaftlichen Analyse lassen sich die Unterschiede in den Konsummustern der privaten Haushalte durch die Unterschiede in den Gesamtausgaben erklären. [Dies ist die Summe der Ausgaben für Lebensmittel und Nichtlebensmittel.] Abweichungen in den Konsummustern, die nicht durch erklärt werden Die Veränderungen der Gesamtausgaben sind auf nichtwirtschaftliche Faktoren wie Geschmacksveränderungen zurückzuführen.

Einer der Hauptgründe für solche Geschmacksänderungen ist die unterschiedliche Familiengröße. Daher besteht die Notwendigkeit, Änderungen der Familiengröße von Haushalten anzupassen, um die Auswirkungen der Familiengröße zusammen mit anderen wichtigen unabhängigen Variablen auf die Konsumausgaben zu erfassen.

Nach Engels zweitem Gesetz wird der Anteil der Gesamtausgaben für Kleidung und Wohnen bei steigenden Gesamtausgaben annähernd konstant bleiben.

Dieses Gesetz kann aus der folgenden Tabelle verstanden werden:

Nach Engels drittem Gesetz steigt der Anteil der Gesamtausgaben für die Erholung mit der Zunahme der Gesamtausgaben weiter an.

Dieses Gesetz kann aus der folgenden Tabelle verstanden werden:

Das Verhältnis zwischen Gesamtausgaben und Ausgaben für einen bestimmten Posten [Lebensmittel oder Nichtlebensmittel] wird als Engel-Funktion oder Engel-Gesetz oder Engel-Kurve bezeichnet.

Engels Funktion kann wie folgt ausgedrückt werden:

Y = f [X]

Wo,

Y = Ausgaben für einen bestimmten Gegenstand - [Lebensmittel oder Nichtlebensmittel]

X- Gesamtausgaben [Stellvertreter für Einnahmen]

Die Änderung von Y aufgrund der Änderung von X für ein bestimmtes Element wird als marginale Konsumneigung bezeichnet. Dies wird auch als Randeffekt bezeichnet.

Das Ansprechen von Y auf die Änderungen von X wird als Elastizität von Y in Bezug auf X bezeichnet und als Engel-Elastizität bezeichnet. Manchmal werden das Vorzeichen und die Größe der Engel-Elastizität berücksichtigt, um die Waren / Waren in Notwendigkeiten, Luxusartikel usw. zu klassifizieren.

Formen der Engelskurven:

In ökonometrischen Arbeiten werden Engel-Elastizitäten durch Anpassen verschiedener Formen von Regressionsgleichungen [Engel-Kurven] an Querschnittsdaten geschätzt.

Die wichtigsten Formen von Regressionsmodellen in den empirischen Studien sind:

1. Linear

2. Semi-Log

log von Y auf X

Y auf log X

3. Power-Funktion

oder logarithmisch linear

oder doppelt log

oder konstantes Elastizitätsmodell

4. Quadratisch

5. Cubic

6. Inverse

7. Log-Inverse

Das lineare Regressionsmodell:

Die Spezifikation einer einfachen linearen [erster Grad, dh Y = b 0 + b 1 X 1 + Fehler] Form der Engelfunktion lautet wie folgt:

Y = b 0 + b 1 X + Fehler (1)

Die Ableitung [Wie sich die abhängige Variable (Y) für eine kleine Änderung der unabhängigen Variablen (X) ändert] von Y in Bezug auf X, dY / dX ist b 1, was eine marginale Konsumneigung darstellt. Dies wird konstant und weniger als die Einheit sein.

Die Engel-Elastizität [e yx ] wird bei den Mittelwerten von Y und X wie folgt bewertet:

e yx = dY / dX * Mittelwert von X / Mittelwert von Y

= b 1 * Mittelwert von X / Mittelwert von Y

Daher wird dieser Wert als durchschnittliche Elastizität von Y in Bezug auf X bezeichnet. Manchmal wird die Engel-Elastizität bei verschiedenen Werten von X und Y bewertet. Daher ist die aus dem linearen Regressionsmodell geschätzte Elastizität variabel. Beträgt der Wert von e YX mehr als eins, steigt Y / X [Verhältnis der Ausgaben für den ersten Posten zu den Gesamtausgaben] mit der Zunahme der Gesamtausgaben weiter an.

Wenn es weniger als eine Einheit ist, sinkt Y / X mit dem Anstieg der Gesamtausgaben weiter. Wenn es eins ist, bleibt das Verhältnis von Y zu X [Y / X] mit der Zunahme der Gesamtausgaben konstant. Die Engel-Elastizität steht in direktem Zusammenhang mit der Erhöhung der Gesamtausgaben, ansonsten ist sie gleich und umgekehrt mit der Erhöhung der Ausgaben für den ersten Posten, ansonsten gleich.

Wenn die lineare Form der Regressionsgleichung [lineare Engelskurve] nicht für die Querschnittsbeobachtung geeignet ist, müssen die anderen Formen der Regressionsgleichungen [Modelle] angepasst werden. Bei verschiedenen Formen von Regressionsgleichungen [Engel-Kurven] ist die halblogarithmische Form der Regression weitgehend an die Querschnittsdaten angepasst.

Semi-Log-Regressionsmodell:

Die Spezifikation eines Semi-Logs [Eine der beiden Variablen [Y oder X] liegt in Log-Form vor] in Form einer Engel-Funktion lautet wie folgt:

[i] log Y = b 0 + b 1 X ………. (2)

Die Ableitung von log Y in Bezug auf X

[d log Y / dX = dY / Y / dX / 1 = dY / dX * 1 / Y], b 1 zeigt die proportionale Änderung von Y für eine Einheitsänderung von X.

Die Änderungsrate in Y pro Einheitsänderung in X,

dY / dX = b 1 Y, ist ein mpc [marginale Wirkung]

Die Engel-Elastizität aus dieser Funktion wird wie folgt geschätzt:

e YX = dY / dX * X / Y = b 1 Y. X / Y = b 1 X

Somit ist ein mpc unabhängig von den Änderungen in X und die Elastizität ist unabhängig von den Änderungen in Y. Daher sind sowohl mpc als auch die Engelelastizität im Regressionsmodell von log Y auf X variabel.

[ii] Y = b 0 + b 1 log X …………… .. (3)

Die Ableitung von Y in Bezug auf log X,

[dY / d log X = dY / 1 / dX / X = dY / 1 / dX / X = dY / dX / X / 1], b 1, zeigt die Änderungsrate in Y pro proportionale Änderung in X.

Die Änderungsrate in Y pro Änderungseinheit in X [mpc] beträgt:

dY / dX = b 1 / X

Die Engel-Elastizität aus dieser Funktion wird wie folgt geschätzt:

e YX = dY / dX.X / Y = b 1 / Y

Somit sind sowohl die mpc- als auch die engelelastizität variabel.

Wenn diese Form der Regressionsgleichung zum Querschnitt nicht geeignet ist, müssen die anderen Gleichungsformen versucht werden.

Double Log Regression Model [Potenzfunktion]:

Die Potenzfunktion, die auch als lineares oder konstantes Elastizitätsmodell mit doppeltem Logarithmus oder logarithmischem Logarithmus bezeichnet wird, ist in empirischen Studien beliebt, da der Regressionskoeffizient der unabhängigen Variablen uns direkt eine konstante Engel-Elastizität liefert, wie unten gezeigt:

Y = b 0 Xb1 ………………. (4)

Die Ableitung von Y in Bezug auf X,

dY / dX = b 1 Xb1-1

= b 1 b 0 Xb 1 X-1

= b 1 · b 0 Xb1 / X

= b 1 * Y / X, ist ein mpc, der sich mit der Änderung von Y oder X weiter ändert.

Die Engelselastizität dieser Funktion ist wie folgt konstant:

dY / dX.X / Y = b 1 Y / XX / Y = b 1

Somit ist die Engel-Elastizität unabhängig von Änderungen in X und Y.

Um nach der OLS-Methode abzuschätzen, wird die obige Potenzfunktion wie unten gezeigt in die logarithmische lineare [als doppelte logarithmische] Form umgewandelt:

log Y = log b 0 + b 1 log X ……………. (5)

Die Ableitung von log Y in Bezug auf log X [bekannt als engel elasticity],

dlog Y / dlog X = dY / Y / dX / X

= dY / YX / dX = dY / dX.X / Y ist b 1

Das ist eine Konstante. Wird diese Funktion für die Querschnittsdatenpunkte nicht als geeignet befunden, müssen die anderen Formen von Regressionsgleichungen [Engel-Funktionen] ausprobiert werden.

Die andere Form der Regressionsgleichung, die an die Querschnittsdaten angepasst werden kann, um die Engel-Elastizität abzuschätzen, ist die quadratische Form der Regressionsgleichung.

Quadratisches Regressionsmodell [Polynom-Regressionsmodell 2. Grades]:

Die Spezifikation einer quadratischen [Quadrat der unabhängigen Variablen [X] zusammen mit X wird als] Form der Engelsfunktion wie folgt sein:

Y = b 0 + b 1 X - b 2 X 2 ……………………… .. (6)

Oder

Y = b 0 - b 1 X + b 2 X 2 ………………………… (7)

Die Ableitung von Y in Bezug auf X,

dY / dX = b 1 - 2 b 2 X 2-1

= b 1 - 2 b 2 X ist ein mpc, der sich mit der Änderung von X weiter ändert. Wenn das Vorzeichen des Regressionskoeffizienten von X, b 1, positiv oder negativ ist, wird der Regressionskoeffizient von X 2, b 2, negativ oder positiv sein. Sie haben also entgegengesetzte Vorzeichen.

Die Engel-Elastizität [e YX ] wird wie folgt geschätzt:

e YX = dY / dX.X / Y = b 1 - 2 b 2 X. X / Y

= b 1 X - 2 b 2 X 2 / Y

Somit ist auch die Engel-Elastizität in der quadratischen Form der Gleichung variabel. Wenn die Vorzeichen von b und b ganz entgegengesetzt sind [+ und - oder - und +], erhalten wir entweder eine umgekehrte 'U'-förmige Kurve oder eine' U'-förmige Kurve.

Wenn die quadratische Gleichung nicht für die Querschnittsdatenpunkte geeignet ist, müssen die anderen Formen von Regressionsmodellen verwendet werden.

Kubisches Regressionsmodell [Polynom-Regressionsmodell 3. Grades]:

Die Spezifikation eines kubischen Regressionsmodells [mit höheren Potenzen der unabhängigen Variablen] lautet wie folgt:

Y = b 0 + b 1 X - b 2 X 2 b 3 X 3 ……………… (8)

Die Ableitung von Y in Bezug auf X (mpc) ist

dY / dX = b & sub1; X1-1 - 2b & sub2; X2-1 + 3b & sub3; X3-1

= b 1 - 2b 2 X + 3b 3 X2

Die Engelelastizität dieses Modells wird wie folgt geschätzt:

e yx = b 1 - 2b 2 X + 3b 3 X2. X / Y

= b 1 X - 2b 2 X2 + 3b 3 X3. 1 / Y

Inverses [reziprokes] Regressionsmodell:

Die Spezifikation einer inversen [unabhängigen Variablen [X], die invers [1 / X oder X-1] in die Form der Engel-Funktion des Modells eingibt, lautet wie folgt:

Y = b 0 + b 1 [1 / X]

Oder

Y = b 0 + b 1 X-1 ………… (9)

Die Ableitung von Y in Bezug auf X [mpc],

dY / dX = (-1) b 1 X -1-1 = -b 1 X-2 ist -b 1 / X2

Die Engelelastizität dieses Modells wird wie folgt geschätzt:

e yx = dY / dX * X / Y = - b 1 / X2 / * X / Y = - b 1 / XY

Wenn das Vorzeichen des Regressionskoeffizienten von 1 / X, b 1, positiv ist, sind die Vorzeichen von mpc und Engel-Elastizität negativ. Wenn das Vorzeichen des Regressionskoeffizienten von 1 / X, b 1 negativ ist, sind die Vorzeichen von mpc und Engel-Elastizität positiv.

Wenn sich das inverse [reziproke] Regressionsmodell nicht für Querschnittsdaten eignet, müssen die anderen Formen von Regressionsgleichungen [Engel-Funktionen] ausprobiert werden.

Log Inverse Regression Model:

Die Spezifikation einer logarithmischen inversen [abhängigen Variablen [K] wird in logarithmischer Form eingegeben, und eine unabhängige Variable [X] wird in inverser Form [1 / X oder X-1]] eingegeben.

log Y = b 0 + b 1 1 / X

oder

log Y = b 0 + b 1 X-1 …………… (10)

Die Ableitung von Y in Bezug auf X [mpc] ist:

d logY / dX = - 1. b 1 X -1-1 = - b 1 X-2

dY / Y.1 / dX = -b 1 X-2

dY / dX 1 / Y = - b 1 X -2 = - b 1 / X2

dY / dX = - b 1 Y / X2

Die Engelelastizität dieses Modells wird wie folgt geschätzt:

e yx = dY / dX.X / Y = - b 1 Y / X2. X / Y = - b 1 / X

Somit ändert sich mpc mit der Änderung von X und Y, und die Elastizität von engel ändert sich nur mit der Änderung von X. Im Falle der log-Funktion sind die Vorzeichen von mpc und Elastizität auch dann positiv oder negativ, wenn das Vorzeichen des Regressionskoeffizienten von 1 / X, b 1, negativ oder positiv ist. In Bezug auf die einfache Engelfunktion beschränkt sich die Diskussion auf die Schätzung der Elastizität der Ausgaben für einen Posten nur in Bezug auf die Gesamtausgaben.

In der Praxis ist der Gesamtaufwand jedoch nicht der einzige Faktor, der die Ausgaben für den Posten beeinflusst, sondern auch die Familiengröße.

Daher müssen sowohl die Gesamtausgaben als auch die Familiengröße in der engel-Funktion [Multiple Engel-Funktion] als unabhängige Variablen betrachtet werden, um die partiellen Elastizitäten der Ausgaben für den i-ten Posten in Bezug auf die Gesamtausgaben und die Familiengröße [in männlichen Erwachseneneinheiten] abzuschätzen. In empirischen Studien werden den Querschnittsdaten sowohl lineare als auch zweifache logarithmische Formen von Engelkurven angepasst.

Das zur Schätzung von geringfügigen und prozentualen Auswirkungen erforderliche Verfahren wird nachfolgend erläutert:

Modell mit multipler linearer Regression:

Die Spezifikation einer multiplen linearen Engelsfunktion [mit zwei unabhängigen Variablen] lautet wie folgt:

Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + e ……………………. (11)

Wo

Y = Ausgaben für den i-ten Posten

X 1 = Gesamtausgaben [Stellvertreter für Einnahmen]

X 2 = Familiengröße, gemessen in männlichen Erwachseneneinheiten

e = Zufallsvariable [Fehlerbegriff mit üblichen Annahmen]

Die partielle Ableitung von Y in Bezug auf X 1 [Konstanthalten von X 2 ],

∂Y / ∂X 1 = b 1 ist ein konstanter mpc.

Die partielle Ableitung von Y in Bezug auf X 2 [Konstanthalten von X 1 ],

∂Y / ∂X 2, = b 2 [Konstante] ist die Änderungsrate in Y pro Änderungseinheit in X 2 [Konstanthalten von X 1 ]

Die Engel-Elastizitäten [e Y.X1 und e Y.X2 ] aus einer multiplen linearen Regression werden wie folgt berechnet:

Die Teilelastizität von Y in Bezug auf den Gesamtaufwand,

e y x1 = ∂Y / ∂X 1 . X 1 / Y = b 1 · X 1 / Y

Die Elastizität von Y in Bezug auf die Familiengröße,

e y X2 = ∂Y / ∂X 2 . X 2 / Y = b 2 · X 2 / Y

In empirischen Studien werden die Ausgabenelastizitäten bei Mittelwerten von Y, X 1 und X 2 bewertet.

Daher wird die durchschnittliche Elastizität von Y in Bezug auf die Gesamtausgaben wie folgt sein:

e y x1 = b 1 * Mittelwert von X 1 / Mittelwert von Y

e Y.x2 = b 2 * Mittelwert von X 2 / Mittelwert von Y

Wenn die lineare Regressionsgleichung nicht gut zu den Querschnittsdaten passt, muss ein anderer Regressionsmodelltyp verwendet werden.

Lineares Regressionsmodell mit mehreren Protokollen:

In empirischen Studien wird häufig die Potenzfunktion verwendet, die auch als doppelt logarithmisches, logarithmisches lineares und konstantes Elastizitätsregressionsmodell bezeichnet wird, da die Regressionskoeffizienten der unabhängigen Variablen [X 1 und X 2 ] direkt die konstanten Elastizitäten ergeben.

Die Spezifikation einer Funktion mit mehreren Potenzen lautet wie folgt:

Y = b 0 X 1 b1 X 2 b2 ……………… (12)

Die partielle Ableitung von Y in Bezug auf X 1 ist

∂Y / ∂X = b 1 b 0 Xb1-1 X 2 b2

= b 1. b 0 X b 1 X 2 b 2 .X 1 -1

= b 1 b 0 X b 1 X 2 b 2 .1 / X 1

= b 1 Y / X 1

Dies wird als mpc bezeichnet und ändert sich mit den Änderungen in Y und X 1 .

Das Ansprechverhalten von Y in Bezug auf X 1, das die konstante Elastizität ist, wird wie folgt ausgedrückt:

y.x1 = ∂Y / ∂X 1 X 1 / Y

= b × Y / X 1 × 1 / Y = b 1

Die partielle Ableitung von Y in Bezug auf X 2 ist

∂Y / ∂X = b 2 b 0 X 1 b1 X 2 b2-1

= b 2 . b 0 Xb1 X 2 b2.X 2 -1

= b & sub2; b & sub0; X & sub1; b & sub1; X & sub2; b & sub2 ;. 1 / X 2

= b 2 Y / X 2

Dies wird als Änderungsrate in Y pro Änderung der Einheit in X 2 bezeichnet und ändert sich mit den Änderungen in Y und X 2 .

Das Ansprechverhalten von Y in Bezug auf X 2 wird wie folgt ausgedrückt:

y.x2 = ∂Y / ∂X 2 · X 2 / Y

= b 2 Y / X 2 . X 2 / Y = b 2, was ebenfalls konstant ist.

Zum Zweck der Schätzung nach der Methode der gewöhnlichen kleinsten Quadrate wird die obige Potenzfunktion wie folgt in ein logarithmisches lineares Modell umgewandelt:

log Y = log b 0 + b 1 log X 1 + b 2 log X 2 ………………. (13)

Die partielle Ableitung von log Y in Bezug auf log X 1

∂log y / ∂log X 1

= ∂Y / Y / ∂X 1 / X 1

= ∂Y / Y * X 1 / ∂X 1 = ∂Y / ∂X 1 . X 1 / Y = b 1,

ist die konstante Elastizität der Ausgaben für den jeweiligen Posten in Bezug auf die Gesamtausgaben.

Die partielle Ableitung von log Y in Bezug auf log X 2,

d log y / d log X 2

= dY / Y dX 2 / X 2

= dY / Y * X 2 / dX 2

= ∂Y / ∂X 2 · X 2 / Y = b 2,

Konstante Elastizität ist auch der Aufwand für den i-ten Posten in Bezug auf die Familiengröße. Sowohl im Potenzfunktions- als auch im logarithmischen linearen Modell sind die Regressionskoeffizienten von Gesamtausgaben und Familiengröße konstante Elastizitäten. Einer der Vorteile dieses Modells besteht darin, dass die Summe der partiellen Ausgabenelastizitäten in Bezug auf die Gesamtausgaben und die Familiengröße eine Vorstellung von der Art der Skaleneffekte bei den Konsumausgaben gibt.

Wenn die Summe von b 1 und b 2 = 1 ist, gibt es keine Skaleneffekte bei den Verbrauchsausgaben [lineare homogene Engel-Funktion]. Wenn die Summe von b 1 und b 2 > 1 ist, gibt es in Skaleneffekte Verbrauchsausgaben [Nichtlineare homogene Engel-Funktion]. Wenn die Summe von b 1 und b 2 <1 ist, gibt es Skaleneffekte bei den Verbrauchsausgaben [Nichtlineare homogene Engel-Funktion].

Keine Skaleneffekte implizieren, dass eine Erhöhung der Gesamtausgaben und der Familiengröße um ein Prozent zu einer Erhöhung der Ausgaben für den ersten Posten um denselben Prozentsatz führt.

Größenunterschiede implizieren, dass eine Erhöhung der Gesamtausgaben und der Familiengröße um ein Prozent zu einer Erhöhung der Ausgaben für den ersten Posten um mehr als ein Prozent führt.

Skaleneffekte implizieren, dass eine Erhöhung der Gesamtausgaben und der Familiengröße um ein Prozent zu einer Erhöhung des Verbrauchs pro Artikel um weniger als ein Prozent führt.

Pro-Kopf-Engel-Funktion [Eingeschränkte Engel-Funktion oder lineare homogene Engel-Funktion]:

Das Problem der Multikollinearität zwischen Gesamtausgaben und Familiengröße ist weit verbreitet. Um dieses Problem zu vermeiden, wird die folgende Pro-Kopf-Spezifikation der Engel-Funktion in empirischen Studien berücksichtigt.

[Y / X 2 ] = b 0 [X 1 / X 2 ] b1 ……………… .. (14)

Zum Zwecke der Schätzung wird das obige Regressionsmodell [Potenzfunktion] in eine logarithmische lineare Form transformiert, wie nachstehend gezeigt:

log [Y 1 / X 2 ] = log b 0 + b 1 log [X 1 / X 2 ]

log Y - log X 2 = log b 0 + b 1 log X 1 - b 1 log X 2

log Y = log b 0 + b 1 log X 1 - b 1 log X 2 + log X 2

= log b 0 + b 1 log X 1 + [1-b 1 ] log X 2

= log b 0 + b 1 log X 1 + b 2 log X 2

1 - b 1 = b 2

1 = b 2 + b 1

Wenn keine Skaleneffekte auftreten [∑ (b 1 + b 2 ) = 1], wird die obige Pro-Kopf-Spezifikation dem multiplen log-linearen Regressionsmodell vorgezogen. Einer der Vorteile der Pro-Kopf-Spezifikation besteht darin, dass der Grad des Problems der Multi-Kollinearität bis zu einem gewissen Grad verringert werden kann. Wenn keine Skaleneffekte auftreten, ist das auf der Pro-Kopf-Spezifikation basierende Regressionsmodell für Querschnittsdaten nicht geeignet.

Um Größenvorteile und Größenunterschiede bei den Verbrauchsausgaben zu berücksichtigen, wird die Funktion mit mehreren logarithmischen Linien bevorzugt. Es ist anzumerken, dass die obige Pro-Kopf-Spezifikation nur verwendet wird, wenn die Summe der Ausgabenelastizitäten für den ersten Posten in Bezug auf die Gesamtausgaben und die Familiengröße eins ist.

Abgesehen von den beiden oben genannten unabhängigen Variablen, Familiengröße und Gesamtausgaben, können auch die anderen Variablen wie Alter des Familienoberhauptes, Bildung des Familienoberhauptes usw. in die Engel-Funktion einbezogen werden, um deren Auswirkungen auf die Gesamtausgaben zu erfassen Verbrauchsausgaben für i-ten Posten.

Log Lineare Engel-Funktion mit einer Interaktionsvariablen: Differential Engel Elasticity:

Der Einfluss von qualitativen Variablen wie Region, Kastenbildung usw. zusammen mit einer quantitativen unabhängigen Variablen kann auch auf die Ausgaben für i-ten Posten untersucht werden, indem eine Interaktionsvariable (Produkt der Dummy-Variablen [Proxy für qualitative Variablen] und der quantitativen unabhängigen Variablen) eingeführt wird dh Gesamtausgaben) mit der folgenden Spezifikation.

log Y = log b 0 + b 1 D + b 2 log X + b 3 [D * log X] ………… .. (15)

Wo

Y = Ausgaben für i-te Posten [Lebensmittel oder Nichtlebensmittel]

X = Gesamtausgaben für Lebensmittel und Nichtlebensmittel

D = Dummy-Variable, die als Proxy für qualitative Variablen wie Bildung, Region, Kaste usw. dient, würde bei Vorhandensein des Attributs 1 und bei Fehlen des Attributs 0 annehmen.

Wenn D = 1 ist, lautet das logarithmische lineare Regressionsmodell wie folgt:

log Y = [b 0 + b 1 ] + [b 2 + b 3 ] log X ………………. (16)

Wo

Die Ableitung von log Y in Bezug auf log X ist ∂ log Y / ∂ log X, ist die konstante Engelelastizität [b 2 + b 3 ] bei Vorhandensein eines Attributs.

b 3 ist die differentielle Engel-Elastizität bei D = 1

ist der Differentialabschnitt, wenn D = 1 ist

Wenn D = 0 ist, lautet das logarithmische lineare Regressionsmodell wie folgt:

log Y = b 1 + b 2 log X …………………… .. (17)

Die Ableitung von log Y in Bezug auf log X, Y log Y / ∂ log X, ist die Engelelastizität [b 2 ] in Abwesenheit des Attributs [D = 0]. Wenn D = 1, wenn b 3 signifikant positiv ist, dann ist die Größe der Engelelastizität bei Vorliegen eines Attributs höher als die Größe der Engelelastizität bei Fehlen eines Attributs. Wenn b 3 signifikant negativ ist, ist die Größe der Engelelastizität im Vergleich zur Größe der Engelelastizität bei Fehlen eines Attributs geringer.

Wenn b 3 statistisch nicht signifikant ist, ist die Größe der Engelelastizität sowohl in Gegenwart als auch in Abwesenheit der Attribute identisch [stabil oder homogen]. Diese Regressionsgleichung [Modell] wäre in Gegenwart und Abwesenheit von Attributen üblich. Somit ist eine Wechselwirkungsvariable in der Engelfunktion nützlich, um die Verschiebung der Größe [Grad] der Engelelastizität abzutasten.

In den empirischen Studien kann daher eine Interaktionsvariable in der Menge der unabhängigen Variablen berücksichtigt werden. Mit dem Aufkommen von Softwarepaketen für die Ökonometrie können die verschiedenen Formen von Engelfunktionen leicht an die Querschnittsdaten angepasst werden. Die Wahl der engel-Funktion für die Analyse hängt von wirtschaftlichen, statistischen und ökonometrischen Kriterien ab.

Das wirtschaftliche Kriterium betrifft das Vorzeichen und die Größe der Engelelastizität. Das statistische Kriterium befasst sich mit der statistischen Signifikanz der Regressionskoeffizienten unabhängiger Variablen und der Anpassungsgüte. Das ökonometrische Kriterium befasst sich hauptsächlich mit dem Problem der Heteroskedasität, da Querschnittsdaten verwendet werden, um die Elastizitäten von Engeln abzuschätzen.

Lineare Engel-Funktion und Additionskriterium:

Einer der Vorteile der Anpassung des linearen einfachen Regressionsmodells für Lebensmittel und Nichtlebensmittel besteht darin, dass es das Additionskriterium erfüllt, dass die Summe der Ausgaben für alle Artikel gleich den Gesamtausgaben sein sollte [Gesamtausgaben (Stellvertreter für Einnahmen) wird erschöpft sein, wenn es sowohl auf Lebensmitteln als auch auf Non-Food-Artikeln auftritt]

Wenn zwei lineare Regressionsgleichungen für Lebensmittel und Nichtlebensmittel an die Querschnittsdaten angepasst werden, lauten die Gleichungen wie folgt:

Y r = b 0 + b 1 X ……………… (18)

Y nf = c 0 + c 1 X …………… .. (19)

Wo

Y f = Ausgaben für Lebensmittel

X = Gesamtausgaben [Summe der Nahrungsmittelausgaben und der Nicht-Nahrungsmittelausgaben mit ∑ (Y f + Y nf )], die in zwei Gleichungen die unabhängige Variable ist

Y nf = Ausgaben für Non-Food-Artikel

Die Summe der Zahlenwerte von b 1 und c 1 [konstante marginale Konsumneigung für Lebensmittel bzw. Nichtlebensmittel] ist immer gleich Eins, da die Ausgaben für Lebensmittel und Nichtlebensmittel gleich den Gesamtausgaben sind.

Es ist anzumerken, dass der Grad der Zuverlässigkeit der mpc- und engel-Elastizitäten direkt mit der Zunahme der Querschnittsbeobachtungen zusammenhängt. Dann werden die Schätzungen der Parameter der mpc- und engel-Elastizität den wahren Parametern sehr nahe kommen.

Engel-Funktionen - Schätzungen der wirtschaftlichen Beziehungen:

Die folgenden Daten [Tabelle 2.1] zu monatlichen Verbrauchsausgaben und Gesamtausgaben in Rupien, die in 25 Beispielhaushalten gesammelt wurden, werden zur Schätzung der Engelelastizitäten durch Anpassen verschiedener Formen von Engelfunktionen herangezogen.

Wo,

1. R 2 = [Erklärte Variation / Gesamtvariation] =

∑ (Trendwerte von Y i - Mittelwert von Y) 2 = / ∑ (Istwerte von Y - Mittelwert von Y) 2

2. Summe der Quadrate der Residuen = ∑ (Istwerte von Y - Trendwerte von Y) 2 = ∑e i 2

3. Standardfehler [SE] der Regression = Quadratwurzel von ∑e i 2 / nk

4. Durbin-Watson-Statistik (d) = ∑ (e t - e t-1 ) 2 / ∑e t 2

Die an die Querschnittsdaten angepassten Ergebnisse der einfachen linearen Engelfunktion [Tabelle 2.2] zeigen, dass der Regressionskoeffizient der Gesamtausgaben signifikant positiv ist.

Dies erklärt, dass die Änderungsrate der Konsumausgaben für Lebensmittel pro Einheit der Gesamtausgaben [marginale Konsumneigung] weniger als eins beträgt. Aus dieser Schätzung kann geschlossen werden, dass eine Erhöhung der Gesamtausgaben um eine Einheit zu einer Erhöhung der Konsumausgaben für Lebensmittel um 0, 87 Einheiten führt. Dieser Wert entspricht der Theorie.

Die bei den Mittelwerten von Y und X [Regressionskoeffizient multipliziert mit dem Verhältnis des Mittelwerts von X zum Mittelwert von Y: 0, 871705 * 3820, 840 / 3383, 920] geschätzte durchschnittliche Engelelastizität beträgt 0, 984. Aus diesem Wert kann gefolgert werden, dass ein Anstieg der Gesamtausgaben um ein Prozent zu einem Anstieg der Konsumausgaben für Lebensmittel um 0, 984 Prozent führt [was nahezu der Einheit entspricht], was ansonsten gleich ist.

Die an die Querschnittsdaten [Tabelle 2.3] angepassten Ergebnisse der logarithmischen linearen Engelfunktion [Tabelle 2.4] zeigen, dass der Regressionskoeffizient der logarithmischen Gesamtausgaben signifikant positiv und einheitlich ist.

Das ist 1.002. Dies ist als konstante Energieelastizität der Ausgaben für den Artikel in Bezug auf die Gesamtausgaben bekannt. Daraus kann gefolgert werden, dass eine Erhöhung der Gesamtausgaben um ein Prozent zu einer Erhöhung der Konsumausgaben für Lebensmittel um 1, 02 Prozent führt (was ungefähr einer Einheit entspricht).

Die an die Querschnittsdaten [Tabelle 2.3] angepassten Ergebnisse des Semi-Log-Regressionsmodells [Tabelle 2.5] zeigen, dass der Regressionskoeffizient der Gesamtausgaben signifikant positiv ist und einen Wert von 0, 000272 aufweist.

Dies erklärt, dass die proportionale Änderung von Y pro Änderungseinheit von X 0, 000272 beträgt. Der mpc [geschätzt auf den Mittelwert von Y: 0, 000272 * 3383, 90] ist kleiner als die Einheit, die 0, 92 beträgt. Die Engel-Elastizität von 1, 039 [0, 000272 * 3820, 840 = 1, 039] erklärt, dass ein Anstieg der Gesamtausgaben um ein Prozent zu einem Anstieg der Konsumausgaben um 1, 039 Prozent führt.

Die an die Querschnittsdaten angepassten Ergebnisse des Semi-Log-Regressionsmodells [Tabelle 2.6] zeigen, dass der Regressionskoeffizient des Log-Gesamtaufwands, die Änderungsrate von Y pro proportionale Änderung von X [b 1 ], dh 3054, 553, signifikant positiv ist .

Der Wert von mpc ist kleiner als die Einheit, die 0, 7994 beträgt [3054, 553 / 3820, 840]. Die Engel-Elastizität, die 0, 9027 beträgt [geschätzt auf den Mittelwert von Y: 3054, 553 / 3383, 920], erklärt, dass eine Erhöhung des Gesamtaufwands um ein Prozent zu einer Erhöhung von führt Verbrauchsausgaben für i-ten Posten um 0, 9027 Prozent.

Die Ergebnisse des inversen Regressionsmodells [Tabelle 2.8] basierend auf den in Tabelle 2.7 angegebenen Daten zeigen, dass der Regressionskoeffizient von MX negativ signifikant ist. Der mpc [geschätzt als Quadrat des Mittelwerts von X: dY / dX = -b 1 / X 2 = 7604940 / (3820, 840) 2 = 0, 5] ist kleiner als Eins. Die Engel-Elastizität beträgt 0, 588 [geschätzt auf das Produkt der Mittelwerte Y und X: 7604940 / [3383, 920 * 3820, 840].

Daraus lässt sich schließen, dass ein Anstieg der Gesamtausgaben um ein Prozent zu einem Anstieg der Konsumausgaben für Lebensmittel um 0, 588 Prozent führt. Es ist zu beachten, dass sowohl die aus dem inversen Regressionsmodell geschätzte mpc- als auch die engel-Elastizität im Vergleich zu den aus anderen Modellen erhaltenen Schätzungen relativ kleiner sind.

Die Ergebnisse des logarithmischen inversen Regressionsmodells [Tabelle 2.10] basierend auf den in Tabelle 2.9 angegebenen Daten zeigen, dass der Regressionskoeffizient von 1 / X negativ signifikant ist. Der mpc [geschätzt am Quadrat des Mittelwerts von X und des Mittelwerts von Y: 2715.653 * 3383.920) / (3820.840) 2 = 0.62947] ist kleiner als eins.

Die Elastizität [geschätzt auf den Mittelwert von X: 2715, 653 / 3820, 84] beträgt 0, 717148. Daraus lässt sich schließen, dass ein Anstieg der Gesamtausgaben um ein Prozent zu einem Anstieg der Konsumausgaben für Lebensmittel um 0, 717048 Prozent führt, ansonsten ist dies gleich.

Die Ergebnisse des quadratischen Regressionsmodells [Tabelle 2.12] auf der Grundlage der in Tabelle 2.11 angegebenen Daten zeigen, dass der Regressionskoeffizient von X bei einem Prozentniveau positiv und der von X 2 mäßig signifikant ist.

Der geschätzte mpc [1, 037 - (2 * 0, 0000185 * 3820, 84)] beträgt 0, 8956. Die geschätzte Engel-Elastizität beträgt 1, 011, was nahe an der Einheit liegt. Daraus lässt sich schließen, dass ein Anstieg der Gesamtausgaben um ein Prozent zu einem Anstieg der Konsumausgaben für Lebensmittel um 1, 17 Prozent führt.

Die in Tabelle 2.13 angegebenen Datenpunkte werden verwendet, um zu beweisen, dass die lineare Engelfunktion das Additionskriterium erfüllt.

Die Regressionsergebnisse der linearen Engelfunktionen, die für Lebensmittel [Tabelle 2.14] und Nichtlebensmittel [Tabelle 2.15] angepasst wurden, zeigen, dass die Summe der konstanten MPC für Lebensmittel und der konstanten MPC für Nichtlebensmittel [0, 871705 + 0, 128295] gleich der befriedigenden Einheit ist die summierende Norm.

Die Wahl der Regressionsergebnisse der Engel-Funktion für die Analyse, die Politikgestaltung und die Prognose hängt von wirtschaftlichen, statistischen [Vorzeichen und Größe der Koeffizienten], statistischen [Standardfehlern und Anpassungsgüte] und ökonometrischen [Annahmen der OLS-Methode] Kriterien ab.

Multiple und Pro-Kopf (linear und log linear) Engel-Funktionen:

Zur Schätzung der multiplen Engel-Funktion [sowohl lineare als auch logarithmische lineare Formen] werden die folgenden Querschnittsdaten verwendet: Monatliche Ausgaben für Lebensmittel, Familiengröße und monatliche Gesamtausgaben.

Die Regressionsergebnisse des multiplen linearen Engel-Modells basierend auf den in Tabelle 2.16 angegebenen Daten sind in Tabelle 2.17 dargestellt.

Die Regressionsergebnisse zeigen, dass der Koeffizient der monatlichen Gesamtausgaben hochsignifikant und positiv ist und der Koeffizient der Familiengröße ebenfalls positiv, aber mäßig signifikant ist. Somit beeinflussen die beiden im linearen Regressionsmodell enthaltenen Variablen die monatlichen Verbrauchsausgaben für Lebensmittel. Die Teilelastizität von Y in Bezug auf X1 [e y.x1 ], wobei X2 konstant gehalten wird, beträgt 0, 88, was zeigt, dass die durchschnittliche Elastizität kleiner als eins ist.

Die Teilelastizität von Y in Bezug auf X2 [e y.x2 ], wobei X1 konstant gehalten wird, beträgt 0, 14, was zeigt, dass die durchschnittliche Elastizität sehr gedrungen ist. Es ist zu beachten, dass sich die beiden unabhängigen Variablen X1 und X2 in die gleiche Richtung bewegen, was zum Problem der Multikollinearität führt [Korrelation zwischen X1 und X2]. Der Grad der Korrelation zwischen XI und X2 kann anhand der in der Tabelle angegebenen Werte beurteilt werden 2.18.

Der Grad der Korrelation zwischen X1 und X2 ist sehr hoch und zeigt das Vorhandensein einer hohen Multikollinearität zwischen ihnen. Um das Problem der Multikollinearität zu vermeiden, wurden die Pro-Kopf-Ausgabenvariablen [Verhältnisvariablen: Y / X2 und X1 / X2] berücksichtigt. Die Datenpunkte zu den Pro-Kopf-Variablen werden in Tabelle 2.19 generiert und bereitgestellt. Die Regressionsergebnisse der Pro-Kopf-Funktion sind in Tabelle 2.20 angegeben

The regression results [ table 2.20] based on per capita specification show that the regression coefficient of monthly per capita total expenditure is positively significant showing that a one unit increase in total per capita expenditure is associated with the increase of 0.86 units in monthly per capita expenditure on food items The average elasticity of per capita expenditure with respect to per capita total expenditure [e Y/x2 x1/x2 ] is 0.97.

It should be noted that the per capita specification can be considered only if there are economies of scale in consumption expenditure despite the fact that there is an advantage of avoiding the problem of multicollinearity between two independent variables. The data given in table 2.16 are considered for fitting the multiple log linear engel function by OLS method. The regression results of the same are given in table 2.21.

The regression results show that the coefficient of total expenditure, constant elasticity of Y with respect to X1, is positively significant and close to unity. The coefficient of family size, constant elasticity of Y with respect to X2, is positive but not significant. In the log linear multiple Engel function the coefficient of family size is positively insignificant. One of the likely reasons for such a perplexing result is the presence of sturdy correlation between X1 and X2 [Table 2.22].

Keeping the evidence of sturdy correlation between X1 and X2 [0.91] in view, the data on log per capita variables are generated [Table 2.23] for fitting per capita engel function. The regression results of the same are presented in table 2.24

The results based on the regression of per capita expenditure on per capita total expenditure [Table 2.24] show that the elasticity of per capita consumption expenditure on food items with respect to per capita total expenditure is positively significant and approximately unity thereby showing that a one percent increase in per capita consumption expenditure on food items leads to increase the per capita consumption expenditure by one percent.

 

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